1、学校： 临清一中 学科：数学 编写人：杜学云 2.3 数学归纳法课前预习学案一、预习目标： 理解数学归纳法原理及其本质，掌握它的基本步骤与方法能较好地理解“归纳奠基”和“归纳递推”两者缺一不可。二、预习内容：提出问题：问题 1：前面学习归纳推理时，我们有一个问题没有彻底解决即对于数列 ，已知 ， ( n=1,2,3)，通过对 n=1,2,3,4 前 4 项的归纳，猜想出其通项公式，但却没有进一步的检验和证明问题 2：大家玩过多米诺骨牌游戏吗？这个游戏有怎样的规划？(多媒体演示多米诺骨牌游戏)这是一个码放骨牌游戏，码放时保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下只要推倒
2、第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下最后，不论有多少块骨牌都能全部倒下讨论问题：问题 1、问题 2 有什么共同的特征？其结论成立的条件的共同特征是什么结论成立的条件：结论对第一个值成立；结论对前一个值成立，则对紧接着的下一个值也成立上面两个条件分别起怎样的作用？它们之间有怎样的关系？我们能否去掉其中的一个？你能举反例说明吗？在上述两个条件中，第一个条件是归纳递推的前提和基础，没有它，后面的递推将无从谈起；第二个步骤是核心和关键，是实现无限问题向有限问题转化的桥梁与纽带如在前面的问题 1 中，如果 不是 1，而是 2，那么就不可能得出 ，因此第一步看似
3、简单，但却是不可缺少的而第二步显然更加不可缺少这一点在多米诺骨牌游戏中也可清楚地看出解决问题：由上，证明一个与自然数 n 有关的命题，可按下列步骤进行：(1)证明当 n 取第一个值 ( )时命题成立；(2)假设 n=k(k , )时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立由以上两个步骤，可以断定命题 对从 开始的所有正整数 n 都成立这种证明方法叫做数学归纳法，它是证明与正整数 n(n 取无限多个值)有关、具有内在递推关系的数学命题的重要工具三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点 疑惑内容课内探究学案一、 学习目标（1）了解由有限多个特殊事例得出的
4、一般结论不一定正确。（2）初步理解数学归纳法原理。（3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。（4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。二、学习过程：例 1、证明等差数列通项公式 ：dnan)1(解析：（1）让学生理解数学归纳法的严密性和合理性；（2）掌握从 到时等式左边的变化情况。证明：(1) 当 n1 时等式成立； (2) 假设当 n k 时等式成立, 即 , 则 = , dkak)1(dak1 dk1)(1即 n k1 时等式也成立由 （1）、（2）可知， 等差数列的通项公式 对任何 n 都成立nn)(1 *N点评：利用数学归纳法证明和正整数相关的命题时，要注意
5、以下三句话：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。变式训练 1 .在数列 中, 1, (n ), 先计算 ， ， 的na1na1*2a34值，再推测通项 的公式, 最后证明你的结论n例 2、 用数学归纳法证明( )解析：（1）进一步让学生理解数学归纳法的严密性和合理性，从而从感性认识上升为理性认识；（2）掌握从 到 时等式左边的变化情况，合理的进行添项、拆项合并项等。证明：（1） 时：左边 ，右边 ，左边=右边，等式成立。来源:Zxxk.Com右 边61)(2)1(kk当 时等式也成立。由 （1）、（2）可知，对一切 ，原等式均成立点评：利用数学归纳法证明和正整数相关的命题时，要注意
6、以下三句话：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。变式训练 2：用数学归纳法证明：135（2 n1） 2反思总结：1归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明；2数学归纳法作为一种证明方法，用于证明一些与正整数 有关数学命题，它的基本思想是递推思想，它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可；3递推归纳时从 到 ，必须用到归纳假设，并进行适当的恒等变换。 注意明等式时第一步中 时左右两边的形式，第二步中 时应增加的式子；第二步中证明 命题成立是全局的主体，主要注意两个“凑”：一是“凑” 时
7、的形式（这样才好利用归纳假设），二是“凑”目标式。当堂检测：1观察式子： 213， 2153， 22174， ，则可归纳出式子为（ ） 22()31n 12 2211(2)3n 答案：2用数学归纳法证明：首项是 ，公比是 q 的等比数列的通项公式是1a，前 n 项和公式是1nqa ).1(snn课后练习与提高一、选择题1用数学归纳法证明 过程中，由 n=k 递推)14(3)12(531222 nn到 n=k+1 时，不等式左边增加的项为 （ ） A. B. C. D. 2)(k2)(k2)(k2)(k2凸 n 边形有 f(n)条对角线，凸 n+1 边形对角线 的条数 f(n+1)为 （ ）A.
8、 f(n)+n+1 B. f(n)+n C. f(n)+n-1 D. f(n)+n-23用数学归纳法证明不等式 的过程中，由)2(41322nnnn=k 递推到 n=k+1 时，不等式左边 （ ） A.增加了一项 )1(2kB.增加了一项 )(C.增加了“ ”，又减少了“ ”)1(2k1kD.增加了“ ”，又减少了“ ”)(二、填空题4已知数列 ，计算得 ，由此)1(,4321,n ,43,2,1ss可猜测 _ns5若 f(k)= 则 = + _4132,21k)(f(kf三、解答题6由下列不等式： ， 3， 1372 ， 125 ，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明参考答案：1. C 2. C 3. C 4. 5.1n212k6解：根据给出的几个不等式可以猜想第 个不等式，即一般不等式为：11()232nN用数学归纳法证明如下：（1 ）当 时， ，猜想成立；（2 ）假设当 nk时，猜想成立，即 11232k ，则当 时， 1 1111 2322 kkkkkk ，即当 n时，猜想也正确，所以对任意的 nN，不等式成立
