1、储油罐的变位识别与罐容表标定摘要：储油罐变位与否直接影响着对油位高度的测量结果，从而影响油罐内储油的量，为了避免由于储油罐变位带来的不良影响，本文对储油罐的变位识别及罐容表的标定进行了分析和讨论。对于问题一，为了讨论罐体变位对罐容表的影响，我们对原题中所给图 4 ，a进行坐标标注，通过积分的方法得出在油罐纵向倾斜前提下储油罐最右端油位高度b不为零、油位高度为零，以及罐内只有右上角没有油时的罐内油的体积 与油位高度V的函数关系式，然后通过计算机模拟的方法拟合出误差关系式，并对原函数关系式h做出修正，从而定量地对影响情况作出分析；最后，我们将等步长高度值代入已修正过的方程以给出罐体变位后油位高度间
2、隔为 1cm 的罐容表标定值。对于问题二，首先对题中所给图 2 和图 3 进行坐标标注，通过积分方法列出上b述三种情况下罐内油的体积 与油位高度 及变位参数 的函数关系式，然后用近Vh，似积分的方法简化方程并将原题附件二中所给的部分数据代入方程，采用网格法思想用计算机编写 C+程序求解出变位参数 的值，分别为 ，进一步完善， 2,方程，接着根据所列方程代入不同高度值给出罐体变位后油位高度间隔为 的罐容cm10表标定值。最后，将计算得出的数据与实际检测出的数据进行比较，并进行误差分析，经分析可得：计算值与测量值相比较的误差在允许范围内，说明题中所建模型是基本正确的，同时所选取的方法也是基本可靠的
3、。关键字：储油罐,变位识别,罐容表标定, 网格法 一、 问题的重述1.1问题的提出通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。其中，储油罐的正面示意图如下图1所示，侧面示意图如下图2所示：油油浮子出油管油位探测装置注油
4、口检查口地平线2m 6m1m 1m3 m油位高度图 1 储油罐正面示意图油位探针图 2 无偏转倾斜的正截面图油位探针油位探测装置地 平 线 油 3m1.2 需要解决的问题用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为 =4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变
5、位参数（纵向倾斜角度 和横向偏转角度 ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。二、 模型假设： 假设不考虑油罐厚度1： 假设附件中所给的数值皆正确有效2： 假设第一问中小椭圆形储油罐为标准的两端平头的椭圆柱体3： 假设第二问中储油罐为标准的主体为圆柱体，两端为球冠体的储油罐4三、 符号说明-罐内油的体积V-问题二中左边球冠体中油的体积1头-问题二中中间圆柱体中油的体积身-问题二中右边球冠体中油的
6、体积2头V-油罐的柱体长度0l-油罐纵向倾斜的角度-油罐横向偏转的角度-油罐倾斜时所建立的坐标系（具体图形如模型建立过程中所示）zyx,-油罐倾斜时油位探针所探的油的深度0h-问题一中油罐横卧时，底面椭圆的长半轴a-问题一中油罐横卧时，底面椭圆的短半轴b-问题二中圆柱横截面的半径R-问题一中罐内油所占油罐的长度L-问题二中罐内油所占油罐的长度p-问题一中罐内油的高度H-问题二中罐内油的高度K-拱凸度f四、 问题分析4.1、问题一的分析问题一中要求我们建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。为了能够全面的讨论该问题，我们需要分别从在变位前提下
7、储油罐最右端油位高度不为零、油位高度为零，以及罐内只有右上角没有油的三种情况讨论罐内油的体积 与油位高度 的关系，但这种情况下算出的结Vh果不一定会与实际测量值相吻合，因此我们还需要对计算得出的数据和实际测量数据进行拟合，并得出相应的误差项，然后对原关系式加以修正，再利用修正后的关系表达式进行影响评价和罐容表的重新标定。4.2、问题二的分析与问题一相比，问题二多出了横向的偏转，变量也增加了一个 角，这样就增加了问题的复杂性和难度，但两者在解题方法上具有相似之处，对于问题二，我们同样是要先建立上述三种情况下储油罐内油的体积与油位高度及变位参数的函数关系式，并根据所给数据经过处理后编程求解出变位参
8、数的值，然后采用与问题一相同的方法计算得出罐体变位后油位高度间隔为 的罐容表标定值。最后，采用误差分析的方cm10法来判定模型的正确性与方法的可靠性。五、 模型的建立与求解5.1、模型一的建立与求解5.1.1、模型的建立首先，对原题图四中小椭圆油罐进行坐标标注：对于油罐正面示意图以最下面离地最近的一条线为 轴，以过左端椭圆的短长轴的线为 轴，以过两线交点且垂直于两z y线的直线为 轴建立坐标系，侧平面图如下图 3 所示，正平面图在下面具体分情况讨x论。图 3 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图yoxdy0hb2aa在此坐标下椭圆形的表达式为 16.022byax所以 2.可得 dybaxdyS226
9、.0*2下面，我们分情况建立当倾斜角为 时的容积与油位高度的关系式：当 时，具体情况如下图 4 所示1tan*2tan*102lbhl z0h0lb21lo图 4 小椭圆油罐正面示意图 油油浮子出油管油位探针 注油口 2y图中， ， ， （下同） 。ml4.01l5.2ml5.20以平行于左侧面的横截面为底面，沿 轴方向的线的长度为高求罐内油的体积zdySV由以上讨论可得 tan0 221 6.0*zlh dyby所以 zyybVlzlh 01tan 221 .：当 时，具体情况如下图 5 所示：2tan*20lh图 5 小椭圆油罐正面示意图意图z0h0l2b21lo 油油浮子出油管油位探针
10、注油口Ly此时油罐的容油量可认为是长为 ，高为 的油罐，按tan01hlLtan*zLH照前述方法可以求出 ：V dzybhlzL tan0tan*0 221 6.03：当 时，具体情况如下图 6 所示：tan*210lbh图 6 小椭圆油罐正面示意图意图z0h0l2b21lo 油油浮子 L出油管油位探针 注油口y用于上面相同的方法可得体积的表达式为： 0110tan2tan 221 6.0*ta2lhbzl dyzblbV4：两种特殊情况由于油罐是倾斜放置的，因此当测得 时，油罐内并非无油， 时，油0hbh20罐也非全满，由于 很小，在实际应用中，此种情况不需作特殊考虑。tan综上所述，储油
11、罐内油的体积与油位高度的函数关系式可表述为： tan*2,6.0*2tan2 tan*,. tan*2t,6.0*2 10tan 2201tan0tan2 102ta 201101 lbhdzybhbl lzdylbhlbVlhbhlzLlzl5.1.2、模型的求解在(1)中代入无变位进油和有变位进油时的油位高度，采用网格法思想利用计算机进行 编程求解（程序见附件）可得对应的油的体积，无变位油时的油量如表C（1）所示，有变位时的油量如表（2）所示。 （注：由于数据较多，我们这里取前四十一个）表（1）无变位时所计算出的的油量值流水号 计算所得油量 流水号 计算所得油量 流水号 计算所得油量11
12、322.883 26 1099.05 41 1875.1912 374.633 27 1150.81 42 1926.9513 426.365 28 1202.55 43 1978.6814 478.132 29 1254.29 44 2030.4315 529.852 30 1306.03 45 2082.216 581.606 31 1357.77 46 2133.9517 633.352 32 1409.49 47 2185.6718 685.081 33 1461.24 48 2237.4319 736.847 34 1512.98 49 2289.1620 788.578 35 15
13、64.74 50 2340.8921 840.329 36 1616.49 51 2392.6722 892.056 37 1668.2423 943.802 38 1719.9824 995.542 39 1771.7325 1047.3 40 1823.46表（2）有变位时所计算出的油量值流水号 计算所得油量 流水号 计算所得油量 流水号 计算所得油量220 1485.33 235 2253.12 250 2992.92221 1536.46 236 2304.12 251 3044.56222 1592.25 237 2352.55 252 3089.99223 1645.52 238
14、2403.12 253 3141.18224 1697.78 239 2452.61 254 3190.06225 1750.26 240 2498.27 255 3234.38226 1797 241 2549.03 256 3284.45227 1849.19 242 2599.93 257 3334.93228 1900.43 243 2645.06 258 3379.34229 1953.12 244 2696.65 259 3423.87230 1999.19 245 2749.2 260 3473.5231 2053.08 246 2799.24232 2103.61 247 28
15、47.59233 2148.83 248 2896.22234 2202.65 249 2942.435.1.3、误差分析及模型修正1：误差分析将计算出的油量值与实际测量的值进行比较可得两者之间存在误差且计算值小于实际测量值，所以具体误差 可表示为：%10*|实 际 测 量 值计 算 值实 际 测 量 值 针对所求出的数据，可将其与对应的测量出的油量累加值代入上式进行误差计算。用 对数据进行求解计算，可得无变位时计算所得的油量值与实际测量值之间的平excl均误差为： %4.3无 变 位无变位时计算所得的油量值与实际测量值之间的平均误差为： 7.3有 变 位2：模型的修正我们将计算值与实际测量值
16、之间的差值随油位高度变化的情况进行模拟，并拟合出两者之间的关系表达式，具体图形如下面图 7 所示误 差 项 模 拟 图y = -0.0004x2 + 0.5842x - 124.12R2 = 0.955301020304050607080901000.00 200.00 400.00 600.00 800.00 1000.00 1200.00油 位 高 度计算值与测量值的差值系 列 1多 项 式 (系 列 1)图 7 计算值与实际测量值之间的差值与油位高度间的关系拟合图由拟合图可得误差关系式为12.458.04.2xy其中 代表油量差值， 代表油位高度。yx所以，修正后的容积表达式可以写为：1
17、2.458.04.02 hV5.1.4、罐容表的重新标定针对修正后的公式，根据原题附件 1 中的信息，我们从高度 41.129 开始，每隔cm代入一个油位高度值，一直计算到 100.129 ，利用计算机 编程求解可得出cm1 cmC一系列的对应体积如下表（3）所示（高度的单位为 体积的单位为 ）cmL表（3）重新标定后的罐容表高度 体积 高度 体积 高度 体积 高度 体积41.129 1058.882 56.129 1709.957 71.129 2370.832 86.129 2999.00742.129 1101.074 57.129 1754.189 72.129 2414.194 87
18、.129 3038.65943.129 1143.495 58.129 1798.45 73.129 2457.406 88.129 3077.94144.129 1186.147 59.129 1842.732 74.129 2500.437 89.129 3116.86345.129 1228.999 60.129 1887.014 75.129 2543.299 90.129 3155.38446.129 1272.05 61.129 1931.285 76.129 2585.961 91.129 3193.50647.129 1315.272 62.129 1975.547 77.12
19、9 2628.412 92.129 3231.19848.129 1358.664 63.129 2019.759 78.129 2670.644 93.129 3268.45949.129 1402.195 64.129 2063.931 79.129 2712.646 94.129 3305.26150.129 1445.867 65.129 2108.052 80.129 2754.407 95.129 3341.58351.129 1489.659 66.129 2152.094 81.129 2795.899 96.129 3377.41452.129 1533.56 67.129
20、2196.056 82.129 2837.121 97.129 3412.73653.129 1577.552 68.129 2239.927 83.129 2878.062 98.129 3447.52854.129 1621.624 69.129 2283.679 84.129 2918.694 99.129 3481.75955.129 1665.765 70.129 2327.321 85.129 2959.016 100.129 3515.4215.2、模型二的建立与求解5.2.1、模型的建立首先，对题中图 2 和图 3（ ）中的油罐纵、横面进行坐标标注：对于油罐纵向倾b斜变位示意图
21、以最下面离地最近的一条线为 轴，以过油罐最左端一点且垂直于 轴的z z线为 轴，以过两线交点且垂直于两线的直线为 轴建立坐标系，其纵向偏转倾斜后的y x示意图如下面图 8 所示，侧平面倾斜后的示意图如下图 9 所示，然后对罐内油的体积和油位高度的关系进行分情况讨论。1：当 时，具体情况如下图 8 所示：tan*2tan*13kRhk图 8 储油罐纵向倾斜变位后示意图图 9 横向偏转倾斜后正截面图地 平 线 地平线垂直线x0h油位探针 odyy其中， （下同） 。mkkm1,6,2,143由图可知： cos*01h圆柱的横截面圆的表达式为：22Ryx做一个平面 | 平面，该平面与油面相交，则油面
22、的面积为（即图 9 阴影部分面积）xoy： tancos0 222kzh dyS储油罐中油的总的体积等于左边球冠体中油的体积、中间圆柱体中油的体积以及右边球冠体中油的体积之和，即 21头身头 V3k2k地平线 油油浮子 出油管油位探测装置 注油口 检查口 水平线油位探针 zy1hR24k1o1）圆柱体中的容油量：因为 dzySV2身所以结合以上所求可得其中91tancos0 22dzyRkzh身 21k2）油罐较低一端凸头部分的容油量：由于 较小，故得近似计算公式如下：f3121*,RfmV头其中 为相对高度且1m，Rkh2tancos0121k为拱突度且f 3.012kf3）油罐较高一端凸头
23、部分的容油量：由于 较小，故得近似计算公式如下：f322*,RfmV头其中 为相对高度且2mRkh2tancos302根据参考文献1可得： 22 212212arcsin1441arcsi*443, hhf dyfyfffhvh根据参考文献3可得： 22212222 12arcsin1441arcsin*4,3),( hhfdyfyffhvffh RFf综上所述可得： 21头头身 V：当 时，具体情况如下图 10 所示：2tan*31kh地平线图 10 储油罐纵向倾斜变位后示意图油位探针 z2k油油浮子 出油管油位探测装置 注油口 检查口 水平线 y1hR24k1o3k此时圆柱体的容油量的长为
24、 ，高为 。Ptan02hktan*t1zkhK求储油罐内油的体积的方法同 1，得： tantan*t0 2221hkzk dzyRV身其中 ，3121*,Rf头 ktancos0121k其中322,fhV头 Rh2t3023：当 时，具体情况如图 11 所示：RhkR2tan*21地平线图 11 储油罐纵向倾斜变位后示意图油位探针 z2k油油浮子 出油管油位探测装置 注油口 检查口 水平线 y1hR24k1o3k求储油罐内油的体积的方法同 1，得： 32020tancostans 2202tancoskhRzk dyzRhRkaV其中 ，3121*,f头 2t*0121k其中322,RfhV
25、头 Rkhtancos3024：两个特殊情况由于油罐是倾斜放置的，因此当测得 时，油罐内并非无油， 时，油1bh21罐也非全满，由于 ， 很小，在实际应用中，此种情况不需作特殊考虑。tancos5.2.2、模型的求解1：针对所建立的模型，采用网格法的思想编写 C+程序（程序见附件） ，将从开始采集到一次性注油所观测到的数据代入方程中，可解得最优变位参数为： 02将解出的参数代入原方程，对方程加以完善。2：针对完善后的方程将从开始采集到一次性注油之间的油位高度每隔 代入一cm10个数值利用计算机编程求解（程序见附件）可得出一系列的对应体积如下表（5）所示表（4）罐体变位后油位高度间隔为 10cm
26、 的罐容表标定值油位高度（ ）cm对应容积 L油位高度（ ）cm对应容积（ ）L46.974 4965.98 156.974 32579.856.974 6881.29 166.974 35399.966.974 8982.24 176.974 38201.676.974 11241.3 186.974 40969.586.974 13635 196.974 43687.796.974 16142.5 206.974 46340.1106.974 18744.07 216.974 48910.1116.974 21423.8 226.974 51380126.974 24162.9 236.9
27、74 53731136.974 26945.8 246.974 55943146.974 29756.6 256.974 57992.95.2.3、模型的检验将原题附件二中所给的从一次性注油到采集结束所给的油位高度值代入方程，求解出相对应的油量容积，与实际测量值进行计算机拟合可以得到如下拟合图（如图 12所示）变 位 后 容 积 的 计 算 值 与 测 量 值 的 拟 合 图0.0010000.0020000.0030000.0040000.0050000.0060000.0070000.00300 333 366 399 432 465 498 531 564 597 630 663 696
28、 729 762 795流 水 号油量值 测 量 值计 算 值图 12 变位后相同油位高度下油量测量值与计算值的拟合图从图中可以直观地看出计算值和测量值的吻合度是很高的，同时从数据对比中也可以得出在变位参数 的前提下油量的计算值比测量值平均低 左右，002, L10但相比较于储油罐中所存的油量，这个误差在可以接受的范围之内，由此可以证明所建模型为正确的，且方法也具有很高的可靠性。六、 误差分析 6.1、问题一的误差分析如模型建立与求解过程中的误差分析所示。 6.2、问题二的误差分析问题二中的积分较为复杂，也很难积出来，为解决这个问题，我们采用了近似积分的方法，适当地降低了复杂度，但同时提高了答
29、案的不确定度（具体的模型验证如建模过程中的模型检验所示） 。6.3、综合误差分析题目中误差的产生的原因是多方面的,但主要有以下几个方面1： 截断误差在题目中我们所用的求解数学模型所用的数值计算方法是一种近似方法,由此产生的数学模型的解与实际问题的解之间存在截断误差2：观测误差数学模型中包含的某些参数(如时间,长度,点位等)往往通过观测而获得,本题中，我们忽略了储油罐壁的厚度问题，使得计算值要比实际值偏大，从而导致出现观测误差.3：舍入误差这部分是由于计算机的字长有限,参加计算的数据以及运算结果在计算机上存放产生的计算误差七、 模型的评价7.1、模型一的评价1：模型一中我们分情况针对罐体变位对罐
30、容表的影响做出评价，讨论较为全面。2：采用先将多组数据代入公式求解，然后进行误差分析并通过计算机模拟对所建模型加以修正的方法，能较准确地反映影响情况，具有说服力。3：题目中采用近似积分的算法对所建模型进行求解，本身就带有一定的误差。7.2、模型二的评价1：模型二中，我们将题目进行分类分情况讨论，较为全面地将储油罐内油的容量与油位高度的关系刻画出来。2：与问题一类似，采用近似积分的方法存在一定的误差，但误差可以保持在可以接受的范围之内。7.3、综合评价两个模型中采用相同的建模方法，保证了整体过程的一致性；但在两个模型中都忽略了储油罐中油量很少和很多的情况，增大了模型误差。更重要的是，将储油罐壁的厚度忽略不计可以起到简化模型的作用，使积分更容易，但这样处理会加大所求结果的误差。八、 参考文献1李致荣，椭圆柱体卧式油罐容积的计算， 数学的实践与认识 ，1977,2-17-262管冀年 赵海，卧式储油罐灌内油品体积标定的使用方法，维普资讯网，20103付昶林，倾斜油罐容量的计算，黑龙江八一农垦大学，1981,43-524陈纪修， 数学分析 ，高等教育出版社，2004
