1、使用蒙特卡罗光子模拟法对发光二极管的分析Song Jae Lee蒙特卡洛光子模拟法基于对芯片内光子的统计追踪，已经作为一种成熟的 LED 分析法在大多数情况下被使用。同时，这种分析法还包含有对经常用于提高光输出功率的表面结构的实际建模。这种方法凭借其独特的灵活性适用于模拟各种结构和尺寸芯片的诸多重要参数，如光子输出耦合效率，光子的精确运行数据，光子输出分布格局。据推测，这种方法可以很容易的被用来拓展 LED 灯和 LED 组件的发展。2001 美国光学学会卷期号：230.3670, 230.02301.介绍因为一些发光二极管（LED）的发光效率已经大大超过未过滤的白炽灯，广泛认为LED技术将在
2、发光领域取代白炽灯 1。LED技术因此可以总的视为成熟。然而，LED的设计却仍然主要仰赖直觉，而且很可能没有被充分优化；光输出功率还有很大的提高空间。在LED中，在有源区产生的光子一般随机定向，并且，芯片耦合输出的大小很容易受到光子发射方向的影响。因而，从某种意义上说，LED的分析和设计相比于光子运行模式由腔体模式所精确确定的激光二极管（LD）的分析和设计，可能不是一个简单的任务。通常，LED使用逃逸锥面模型进行分析 2,3。然而，这种模型仅限于定性分析。此外，这种方法有诸多的限制条件，尤其是当芯片的几何结构较复杂时。例如，使用非共振腔LED时，粗糙的表面或变形的芯片几何形状，都不易用逃逸锥法
3、分析 4-6。本文我们将探讨可以克服逃逸锥面模型的种种限制并可以适用于几乎所有几何形状芯片的蒙特卡洛光子模拟法方法。事实上，蒙特卡洛光子模拟法经过广泛的验证，在过去的几十年中，它被广泛的用于解决各种问题，例如在放射性材料中的中子传递问题和半导体材料中的电子传递问题 7。蒙特卡洛光子模拟法独特的通用性使得修改LED的分析和设计变的更为简单。基本上，蒙特卡洛光子模拟法是基于芯片中光子的统计规律，并且模拟结果通常具有相当的可行性。此外，蒙特卡洛光子模拟法还可以脚容易的合并复杂的光子传播模型。在我们的分析中包含有光子在一种特殊表面纹理上的反射模型，这种表面纹理常常用于高亮LED以提高光耦合输出和光提取
4、效率。我们相信具有独特通用性的蒙特卡洛光子模型法将使LED灯和LED器件的设计变的更为简单。2.LED结构分析的原理典型的LED灯和LED器件的概略结构如图1所示。光子在有源区激发后，除非在内部被吸收，否则会入射到芯片外壁，如图2(a)所示。光子反射系数 TE和 TM（分别为横向电场和横向磁场极化方向）由下式给出：其中，n s和n e分别为芯片半导体材料和密封环氧树脂的折射率， i和 t分别为光子入射角和折射角。角 i和 t相互之间符合斯涅耳定律：实际上，大多数 LED 中，n s 通常要大于 ne。因此，如果入射角 i 大于临界角 c，此时， TE 和 TM 的幅值相一致，意味着出现所谓的全
5、内反射。 TE光子和 TM 光子的透过率分别为 TE 和 TM，由下式给出：其中 RTE=|TE|2 和 RTM =|TM|2 分别为偏振光 TE 和 TM 的光反射系数。在 LED 中，偏振光的光子在到达壁垒时一般是随机的。因为任意的光子极化方向可以表达为 TE 极化方向和 TM 极化方向的线性组合，任意极化方向的光子的反射率 R 可以由下式得:其中， TM 是 TM 的极化因子，由极化向量在入射面上的投影得到。图 2（b）说明典型情况下光子透射率为变量，而光子反射角 i 为函数。请注意，由于布儒斯特角现象，TM 极化的透射率总是大于 TE极化。较大幅度的光子传输窗口在入射角到 c 之间，
6、c 将会导致逃逸锥的出现。如图 3(a)。如果不同半导体材料层之间的折射率差异较小，LED 芯片可以被认为大致具有相同的折射率 ns。这样，六个逃逸锥（芯片的每个面有一个）具有相同的立体角 c,又下式表示:在芯片为具有扁平表面的长方或立方形时，光子一旦从溢出锥发射出来就会不断的发生全内反射，被困在椎体内，如图 3(b)。被困住的那部分光子， trap，可以由下式大致得出：在AlGaAs和InGaAlP系统中， trap大约为70%，n e1.5，n s3.5；在InGaN系统中 trap大约为40% 。有这样大的一部分被困光子最终被吸收掉，外部量子效率将受到严重限制。使得被困光子发射出逃逸锥的
7、方法之一是使芯片表面粗糙化，如图3(c) 4,8。光子经过粗糙表面的入射后其将会表现出随机轨迹，其中的一些就有可能离开芯片，无论其飞行方向是怎样的。在LED灯中，LED芯片处于被圆顶形的折射率为n e的环氧密封材料包裹住的状态。在这种情况下，光子的输出耦合效率 c可以由下式大约表示：其中， trap是光子离开芯片进入环氧树脂的概率，函数:是正入射光子在环氧树脂空气界面的透射率。正入射情况非常的合理，尤其是当环氧树脂密封圆顶的尺寸远大于芯片和加上反射罩时。而事实上，大多数的LED灯正是这样的。但，即使逃脱锥的概念提供了关于光子的耦合输出过程的一般想法，这种概念在大量分析结构时仍有显著的限制。最令
8、人感到麻烦的效果是光子被欧姆损耗电极所屏蔽，这种屏蔽取决于光子的运行方向。并且，即使在一个逃逸锥内，这种屏蔽也会使光子的耦合输出概率呈现显著变化。此外，这种屏蔽对逃逸锥的影响程度极易受到光子在有源区的产生位置的影响。因此，用逃逸锥概念来判断光子耦合输出功率并不是一个轻松的工作，并且经常会出现重大错误。3.蒙特卡洛光子模型在LED中，芯片表面的光学反馈效果是基本上可以忽略的，因此，大多数自发发射激发的光子是不连续的。我们完全可以在大多数情况下将不连续的光子看作粒子，而不是波。自发发射的不连续光子将会在随机方向上自由运行直到有发生将其运行阻断的事件。这些事件中最重要的也许是散射，吸收和有源区的再发
9、射（光子循环），其他半导体层内的吸收，菲涅尔反射或不同折射率介质材质接触面的传递。在这项研究中我们将只考虑内部光子吸收和菲涅尔反射或在分界面上的传递。在半导体晶体质量相对较好的情况下，由晶体缺陷造成的光子散射可以基本忽略。同样的，在有源区的光子循环效应也可以忽略，尤其是当有源区的体积相对于芯片的整体较小时，正如大多数的高亮LED。蒙特卡洛光子模型所做出的最重要的推断是在有源区的一点激发的某个光子的平均行为和在同一点激发的大量独立光子所展现出的行为是一致的。这种情况下他们的方向仍是随机的。这样，在蒙特卡洛光子模型中必不可少的一步是建立一个可以跟踪单个光子的过程。基本上，光子的跟踪过程是由预测光子
10、在每次自由运行过程的结尾的行为来实现的，并且每次使用具有同样概率分布函数的随机数作为特定的运行阻断事件。下面的描述是蒙特卡洛光子模型中的重要一步。首先我们介绍一个概念：光子状态 P。它有两个值：P=1 （光子存在）P=0 （光子被吸收）光子刚从有源区发出时其状态 P=1，并将持续为1 直到光子被吸收。当光子被吸收后， P=0。并且光子追踪也到此结束。除此之外，我们可以使用一种强度概念，例如，指定光子刚发出时为单位强度I=1。然而，在这种情况下，光子追踪应该持续到光子彻底衰减为I=0或耦合出芯片，这会使模拟的时间出现显著增长。另外一个单个光子强度分配的问题是单个光子不能被部分吸收导致单个光子出现
11、分数。这样，虽然两种方法在对最终的结果预测上没有发现明显的不同，但光子状态概念比光子强度概念更为优越。除了光子状态函数 P外，有必要指出初试极化向量 e0，位置矢量r0和速度向量 0，由下式表示：其中， ， ， 是直角坐标系里的单位向量；e ox，e oy和e oz是极化向量x y z沿坐标轴的投影；x 0，y 0，z 0是有源区内光子发生的坐标；c是光速；n是光子运行所在的介质的折射率； 0和 0是球坐标下的方向角。角0和 0应该使在同一位置 r0所发出的大量光子在所有的方向上具有一致的指向。当光子到达各层之间的分界面时，其自由行程被打断。除非他被吸收掉，否则将会进入下一层，即在（n-1）层
12、从新的界面位置r n+1发出，可以由下式表示：其中，r n， n， n分别表示第n次发出时的初始位置、初始速度和持续时间。然而，现实中总会有光子在运行过程中被吸收的概率。很显然这种吸收概率与运行传递损失A n有关：其中l n是第n次运行的路径长度， n是光子运行所在层介质的光子吸收系数。在蒙特卡洛光子模型中，光子总是以单个光子的形式被跟踪，飞行传递损失A n可以解释为光子在第n 层运行过程中的存活概率。基于这种解释，光子是否被吸收或存活可以由随机数 p来确定，其分布与光子的状态相一致：P=1 p n （光子存在） (19) AP=1 p n （光子被吸收） (20)A在式（19）中没有被吸收的
13、光子将在新的位置r n+1发生反射或透射。新的运行速度 n+1由另一个符合以下条件的随机数 f所确定： n+1= ref f R (光子反射) (21) n+1= tr f R (光子透射) (22)其中，R， ref， tr分别为界面位置r n+1的光子反射系数，菲涅尔反射速度和透射速度。同样的，无论光子是反射或透射，新的极化向量 en+1也被相应确定。光子有时会进入电极下的欧姆区。光子在欧姆区中的吸收是一个复杂的过程，通常欧姆区的深度和它的吸收系数都和极大地取决于材料的结构。然而，欧姆区通常都是较浅的，因此，在本文中我们设定光子在欧姆区中的吸收总的归结为一个总吸收概率A ohm，同时，参数
14、A ohm极大地取决于材料的结构。在这种设定下，光子进入欧姆区后的状态P可以由符合以下条件的随机数 ohm确定：P=1 ohm ohm （光子存在） (23) AP=1 ohm ohm （光子被吸收） (24) A图4为在有源区指定位置产生的光子的跟踪流程图。在有源区指定点发出的光子的精确运行过程一般是关于光子初始运行方向角 0和 0的函数。因此，我们可以通过求得在某一点生成的覆盖所有方向的足够大量光子的平均特性来估计在这一点随机生成的光子所具有的特性。例如，我们可以通过测定在某一点r 0产生的大量覆盖所有方向的光子中耦合输出光子的比例来得到这点的光子耦合输出效率。4.材质表面模型正如上文所述
15、，芯片表面织构化可以让光子轨迹随机化，是一种提高光子耦合输出的重要方法，并被广泛应用于高亮LED。因此，建立一个表面织构化的可行性模型将非常重要。理论上，如果可以得到织构化表面的详细显微结构，就可以使用同一个蒙特卡洛过程得到光子的精确运行轨迹。然而，精确的显微结构特征，包括特定空间维度的细节，都取决于许多不同的限制因素。如，材料的结构系统和复杂的织构化过程。在本文中，我们设想一种相当灵活的织构化表面模型，以适应现实情况。在提高光子耦合输出的过程中，织构化表面的最终作用是使光子在织构化表面轨迹随机化，这样，无论光子的初始发射方向是怎样的，都会有一定概率到达逃逸锥。在这种情况下，无需考虑光子与与织
16、构化表面的相互作用。因此，从LED分析的角度来说，可以只集中考虑与织构化表面发生作用而具有随机方向的光子。在我们的织构化表面模型中，我们首先假设光子入射点中心的微分区域足够宽，可以容纳入射光子，而正常情况下，微分表面的方向是随机的。在这种情况下，只要一般的d S方向给定，我们就可以找到光子的反射或投射方向，就像在非织构化表面芯片腔中使用菲涅尔反射理论一样容易。因此，微分表面正常情况下的随机方向可以直接与光子的随机轨迹相关联。另一个假设是微分表面d S的一般方向符合随机分布函数 N(n)。这里， i是参考方向与d S的垂直方向所成的角，称作局部正交方向角。参考方向的一个合理的选择是参考方向垂直于
17、非织构化参考平面。图五所示是光子在非织构化参考平面以入射角 i入射到微分表面d S。我们必须确定局部正交方向角n以追踪光子入射到d S的情况。在现实中， n有两度的自由度，可以被分解为角 ni和 nt，换言之，角被分别投影到入射面和另一个同时垂直于入射面和光子入射方向的面。我们注意到入射面由参考面和光子入射方向的法线决定。在这里，我们介绍角 ni的概率分布函数Ni和 nt的概率分布函数 Nt，由下式给出：其中，k i和k t为待定常数，n st为织构指数，与表面随机纹理有关。随着n st的增加，表面将变得更为平坦，而概率分布函数 Ni(ni)和N t(nt)将会在垂直参考平面方向上出现急剧高峰
18、。例如，n st=的极端情况就相当于非织构化参考面。在模拟中，我们可以根据织构化表面的显微细节来调整织构指数n st从而只需简单的增加或减少n st就可以更好的适应给定的情况。我们注意到，入射到d S的光子和入射到d S的、横截面的光子成比例。在入射面上d S的横截面的尺度将随函数C i(i， ni)简化：其中（ ni-i）是入射面上的入射角。显然， 光量子在以角 i入射时被一在入射平面上以角 ni倾斜的微分平面d S挡住的概率P i由下式给出同样的，垂直面上d S的横截面尺度可以由函数C t(i， ni)简化：光量子在以角 i入射时被一在垂直面上以角 nt倾斜的微分平面d S挡住的概率 Pt
19、由下式给出：角 ni和 nt由两个随机数 ni和 nt确定，其关系为： 随着d S上正交角 ni和 nt的获得，追踪入射到d S上的光子轨迹所必须的反射速度 ref和透射速度 tr都可以求得。5模拟结果图6为一个LED芯片使用蒙特卡洛模拟后的结果。其中最重要的参数为水平形变角 h和垂直形变角 v。 h=900和 v=00的情况和传统的矩形芯片相一致。当 h不是90 0时，芯片的水平平面将变形为菱形。在这种情况下，大多数的平行于水平面运行的电子会到达逃逸锥，如图6(b)所示。同样的，当选择适当的垂直平面变形角 v时，大多数垂直方向运行的电子也会较易的找到逃逸锥。显然，如果水平面和垂直面都相应的变
20、形，则大多数在有源区发出的光子无论其运行方向，都会避过大多数的矩形芯片内的反射，使光子耦合输出效率大幅提高。 5图6(a)所示的结构同时使用了用于高亮LED的底部电极。此时，射入开放欧姆区的光子一般会被安装芯片的镀银金属引线框所反射回，并有一定的概率耦合出芯片，从而提高光子的耦合输出效率。 10无论在AlGaAs系统还是InGaAlP系统中，折射率n 和吸收系数可以被假设：上下两层n=3.4 ，=8cm -1；活跃层 n=3.6，=200cm -1；吸收基n =3.6，=8000cm -1；环氧封装层 ne=1.5。很少被人注意到的是，由于材料的不同，光子在欧姆区中的吸收会有很大的不同。在本文
21、中我们假设AlGaAs和InGaAlP 系统中的欧姆电极 Aohm=0.5。需要注意的是，欧姆吸收在宽能隙半导体如GaN中要明显小于AlGaAs或InGaAlP中，所以，A ohm应该相应的调整。 9除非专门指定，否则典型的矩形芯片设计的限制条件如下：最上层厚度t u=60m，活性层厚度ta=0.5m，最下层厚度 tl=120m，吸收基厚度 ts=0m，芯片尺寸dc=250m，顶电极直径 de=100m，光栅底部电极开放部分 be=0.5，织构化表面指数n st=20。在菱形芯片中，为了可以公正的比较两种结构，我们将芯片尺寸调整为d c，使芯片表面区域和矩形芯片相同。图7表示在传统的矩形芯片中
22、，光子耦合输出效率 c(x，y) 是光子在活性区激发位置的函数。光子在活性区中央激发时有很大的可能性会被顶部损耗电极遮挡，导致 c(x，y) 降低。由于 c(x，y)取决于光子激发位置，光子耦合效率 cavg可以通过先把 c(x，y)和电流密度J(x，y)加权，在平均到整个活性区空间来求的。然而，活性区电流密度J 取决于诸多参数，如电极的设计和芯片各半导体层的厚度及电阻率，这些参数都难以获得。在本文中，平均电子耦合输出效率cavg近似等于有源区某些典型点光子耦合输出效率的简单平均，如图8所示。图中，阴影椭圆是顶电极在有源区平面上的投影，实心小圆点标示出用以求得光子耦合输出效率 c(x， y)
23、平均值的点。图9说明，在直角坐标系中，光子耦合输出效率是限制层厚度t u的函数。随着t u的增加，明显的，侧面逃逸锥中的电子将和顶损耗电极发生更少的相互作用。这样一来，众所周知，平均光子耦合输出效率 cavg将会有显著增加。 3,10但是，如果限制层厚度有太多增加，芯片内光子传输损耗将相应增加。这样，光子耦合输出效率将会饱和。图10显示，无论是矩形芯片还是异形芯片，光子耦合输出效率是表面织构化指数n st的函数。正如上文所说，在织构化表面模型中，随着n st的减小，表面随机增加。我们注意到，正如预想中的，尽管在异型芯片中光子耦合输出效率和表面织构化指数几乎没有关联，但在矩形芯片中，随着n st
24、的减少，光子耦合输出效率有明显增加。这个事实说明，织构化表面使光子轨道随机化的概率完全被形变腔所产生的光子轨迹的宏观变化所压倒。此外，在形变腔中，光子轨迹事实上是可以控制的，而不是随机化，这样，光子在耦合运行期间就可以到达逃逸锥。结果是，传统矩形芯片的耦合输出效率提高了约100% 。最近，惠普的Krames et al.6发明了一种非共振截断倒金字塔结构，和图5所示的几何结构模型非常相似。他们的外量子效应达到了令人映像深刻的55% ，使传统的矩形芯片外量子效应提高了近100%。 10这也说明了，我们的模拟结果大致正确。在下文中，除非另外说明，否则表面织构化指数n st=20。当n st=20时
25、，传统的矩形芯片（ h=900， v=00）的耦合输出可以达到25%，与实验数据相接近。5,10图11说明，光子耦合输出效率是水平面倾斜角 h的函数。随着 h减小，水平面捕获的光子也相应减小，导致光子耦合输出效率增加。同样的，如图12所示，光子耦合输出效率也会随着垂直面倾斜角 v的增加而增加。然而，当 v为负角度时，耦合效率下降。 v为负时，光子从倾斜的侧壁上反射回时大多数会向下运动，其中一些会被底部欧姆电极吸收，导致光子耦合输出效率下降。倾斜的侧壁也会影响很少一部分从顶部输出的光子，正如图13 所示。正如预测的，当v为正时，顶部输出有少量增加。然而，在 v为负角度时，相当一部分光子从侧壁反射
26、回后射入底部电极，随后，被反射回顶层。结果，极少的顶输出将不会减少太多。输出光子的空间分布会受到形变腔的显著影响。图14所示为侧壁的耦合输出光子在水平平面的空间分布。从水平面的分布情况来看，我们可以设想一个直径为r c的圆柱面围绕着芯片。在这种情况下从侧壁耦合输出的光子大多数都将射到这个面上。光子在圆柱面上的入射点投影到水平面上，且入射光子的强度是方位角 的函数。这里角是参考方向和芯片中心与投影的之间连线的夹角。注意，在菱形芯片中，光子分布趋势在水平面的次对角线方向上有一个峰值，并且和矩形芯片会有明显不同。在表面织构化指数nst=20时，输出光子的方向也将会随机化，导致强度模式出现一个敏感的角
27、关系。在LED灯中，大多数的耦合输出光子将会从金属反射罩向上反射。这样，水平面的强度分布将会提供设计金属反射罩和环氧树脂密封镜片的重要信息。一个简单的反射罩如图1(c)所示，看起来像一个被切去顶端的锥形。可以由下式表达：其中，是圆锥顶角的一半，z 1和z 2分别为锥顶到锥底和上边缘的距离。图15 所示为一个LED 灯在远场垂直平面上的强度分布，其中，金属反射罩安装在一个无限大的球形环氧树脂镜片的中央。6.结论最后，蒙特卡洛光子模型已经被更多的用在LED的量化研究和设计上。无论传统矩形芯片还是菱形芯片，模拟结果都直观有效。其中一些与实验结果有相当的吻合度。 5,6,10蒙特卡洛光子模型建立在总体
28、可行的设想上，所以，当诸如折射率和各层的吸收系数等数据合理时，取得的结果也高度精确。另外，我们加入了一种织构化表明的实践模型，这种织构化常在晶圆切割流程中用于芯片处理。模拟结果显示，在常用的矩形芯片中，光子耦合输出效率将随表面粗糙程度或随意程度而明显增加。然而，当腔的形变度足够的时候，表面织构化的效果就微不足道了，即便这样，和矩形结构加织构化表面相比，耦合输出效率有了100%的大幅提高。这个结果表明形变腔外壁产生的光子宏观轨迹的改变在提高光子耦合输出效率上对由织构化表面改变光子围观轨迹所产生的影响具有压倒性优势。蒙特卡洛光子模型以其独特的通用性适用于多种芯片结构，并提供了诸如光子耦合输出效率，
29、光子运行的详细统计数据和光子输出分布等重要参数。根据光子强度分布的例子推断，我们可以很容易的将蒙特卡洛模型用于LED灯，包括反射罩，环氧树脂密封镜片和LED封装。作者在此感谢Korean Ministry在信息和通讯方面提供的基础研究程序。参考文献：1. T. Mukai, M. Yamada, and S. Nakamura, “InGaN-based uvyblueygreenyamberyred LEDs,” in Light-Emitting Diodes: Research,Manufacturing, and Applications III, I. T. Ferguson, E.
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