1、 临清三中数学组 编写人：魏延杰 32 简单的三角恒等变换【教学目标】会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆） ，使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。【教学重点、难点】教学重点：引导学生以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。【教学过程】复习引入：复习倍角公式 2S、 C、 2T先让学生默写三个倍
2、角公式，注意等号两边角的关系，特别注意 2C。既然能用单角表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？半角公式的推导及理解 ： 例 1、 试以 表示 cos222in,cos,tan解析：我们可以通过二倍角 和 来做此题 （二倍角12cosin公式中以代 2， 代）解：因为 ，可以得到 ；2cos1in2cssin因为 ，可以得到 1oc两式相除可以得到 22sinsta1coc点评：以上结果还可以表示为：ssin21coco1costan2并称之为半角公式（不要求记忆） ，符号由 角的象限决定。降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明。代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，
3、三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点。变式训练 1：求证sinta21coi积化和差、和差化积公式的推导（公式不要求记忆）：例 2：求证：（） ；1sincosinsi2（） iico2解析：回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式，观察公式与所证式子的联系。证明：（）因为 和 是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边sinsin着手； sinsicosisisincosin两式相加得 ；2iini即 ；1sincosisi（）由（）得 ；设 ，n2sinco,那么 ,2把 的值代入式中得 , sin2sinco
4、s2点评：在例证明中用到了换元思想， （）式是积化和差的形式， （）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式变式训练 2：课本 p142 2（2 ） 、3（3 ）例、求函数 的周期，最大值和最小值sincosyx解析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值。解： ，13si3cs2incos2in3yxxx所以，所求的周期 ，最大值为，最小值为 T点评：例是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用sinyAx变式训练 3：课本 p142 4、 （1 ） （2） （3 ）探究：求 y=a
5、sinx+bcosx 的周期，最大值和最小值小结：我们要对三角恒等变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用作业布置：课本 p143 习题 3.2 A 组 1、 （1 ） （5） 3 、5 临清三中数学组 编写人：魏延杰 32 简单的三角恒等变换（导学案）课前预习学案一、预习目标：回顾复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式，预习简单的三角恒等变换。二、预习内容：1、回顾复习以下公式并填空：Cos(+)= Cos(-)=sin(+)= sin(-)=tan(+ )= tan(-)=sin2 = tan2=cos2=2、阅看课本 P139-141 例 1、2
6、、3。三、提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点 疑惑内容课内探究学案一、学习目标：会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，会推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆） ，进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。学习重点：以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。学习难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。二、学习过程：探究一：半角公式的推导（例 1）请同学们
7、阅看例 1，思考以下问题，并进行小组讨论。1、2 与 有什么关系？ 与 /2 有什么关系？进一步体会二倍角公式和半角公式的应用。2、半角公式中的符号如何确定？3、二倍角公式和半角公式有什么联系？4、代数变换与三角变换有什么不同？探究二：半角公式的推导（例 2）请同学们阅看例 2，思考以下问题，并进行小组讨论。1、两角和与差的正弦、余弦公式两边有什么特点？它们与例 2 在结构形式上有什么联系？2、在例 2 证明过程中，如果不用（1）的结果，如何证明（2）？3、在例 2 证明过程中，体现了什么数学思想方法？探究三：三角函数式的变换（例 3）请同学们阅看例 1，思考以下问题，并进行小组讨论。1、例
8、3 的过程中应用了哪些公式？ 2、如何将形如 y=asinx+bcosx 的函数转化为形如 y=Asin( x+) 的函数？并求y=asinx+bcosx 的周期，最大值和最小值三、反思、总结、归纳：sin/2= cos/2= tan/2=sincos = cossin= coscos= sinsin=sin+sin= sin-sin =cos+cos= cos-cos =四 、 当 堂 检 测 ：课本 p143 习题 3.2 A 组 1、 （3） （7 ）2、 （1 ）B 组 2课后练习与提高一、选择题：1已知 cos（+）cos（ ）= ，则 cos2sin 2 的值为（ ）31A B C D32 31322在ABC 中，若 sinAsinB=cos2 ，则ABC 是（ ）CA等边三角形 B等腰三角形C不等边三角形 D直角三角形3 sin+sin= （coscos） ，且 （0，） ， （0，） ，则 等于（ ）3A B C D323332二、填空题4 sin20cos70+sin10sin50=_5已知 = ，且 cos+cos= ，则 cos（+ ）等于_3231三、解答题6已知 f（x） = + ，x（0 ，） 21sin5（1 ）将 f（x）表示成 cosx 的多项式；（2 ）求 f（x）的最小值
