江苏省2019高考数学二轮复习 专题二 立体几何 2.1 小题考法—立体几何中的计算达标训练（含解析）.doc

1、1立体几何中的计算A 组抓牢中档小题1. 若圆锥底面半径为 1，高为 2，则圆锥的侧面积为 _.解析：由题意，得圆锥的母线长 l ，所以 S 圆锥侧 rl1 12 22 5 5.5答案： 52已知正六棱柱的侧面积为 72 cm2，高为 6 cm，那么它的体积为_cm 3.解析：设正六棱柱的底面边长为 x cm，由题意得 6x672，所以 x2，于是其体积V 226636 cm3.34 3答案：36 33已知球 O 的半径为 R， A， B， C 三点在球 O 的球面上，球心 O 到平面 ABC 的距离为R， AB AC BC2 ，则球 O 的表面积为_32 3解析：设 ABC 外接圆的圆心为

2、O1，半径为 r，因为 AB AC BC2 ，所以 ABC 为3正三角形，其外接圆的半径 r 2，因为 OO1平面 ABC，所以 OA2 OO r2，232sin 60 21即 R2 2 22，解得 R2 16，所以球 O 的表面积为 4 R264.(32R)答案：644. 已知一个棱长为 6 cm 的正方体塑料盒子(无上盖)，上口放着一个半径为 5 cm 的钢球，则球心到盒底的距离为_cm.解析：球心到正方体的塑料盒上表面(不存在)所在平面的距离为 4，所以球52 32心到盒底的距离为 4610(cm)答案：105(2018扬州期末)若圆锥的侧面展开图是面积为 3 且圆心角为 的扇形，则此2

3、3圆锥的体积为_解析：设圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线为 l，则由 l23，得 l3，12 23又由 l2 r，得 r1，从而有 h 2 ，所以 V r2h .23 l2 r2 2 13 223答案： 2236. 一块边长为 10 cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点 P 为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形2容器当 x6 cm 时，该容器的容积为_cm 3.解析：由题意知，这个正四棱锥形容器的底面是以 6 cm 为边长的正方形，侧面高为 5 cm，则正四棱锥的高为 4 cm，所以所求容积 V 62448 cm 3.52

4、(62)2 13答案：487已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为_解析：由正方体的表面积为 18，得正方体的棱长为 .3设该正方体外接球的半径为 R，则 2R3， R ，32所以这个球的体积为 R3 .43 43 278 92答案：928设棱长为 a 的正方体的体积和表面积分别为 V1， S1，底面半径和高均为 r 的圆锥的体积和侧面积分别为 V2， S2，若 ，则 的值为_V1V2 3 S1S2解析：由题意知， V1 a3， S16 a2， V2 r3， S2 r2，由 ，即13 2 V1V2 3 ，得 a r，从而 .a313 r3 3 S1

5、S2 6a22 r2 62 32答案：329已知正方形 ABCD 的边长为 2， E， F 分别为 BC， DC 的中点，沿 AE， EF， AF 折成一个四面体，使 B， C， D 三点重合，则这个四面体的体积为_解析：设 B， C， D 三点重合于点 P，得到如图所示的四面体 PAEF.因为 AP PE， AP PF， PE PF P，所以 AP平面 PEF，所以 V 四面体PAEF V 四面体 APEF S PEFAP 112 .13 13 12 13答案：1310(2018常州期末)已知圆锥的高为 6，体积为 8，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，3得到的圆台体积是 7，则该圆台的高为_解

6、析：设截得的小圆锥的高为 h1，底面半径为 r1，体积为 V1 r h1；大圆锥的高13 21为 h6，底面半径为 r，体积为 V r2h8.依题意有 ， V11， 13 r1r h1h V1V13 r21h113 r2h3 ，得 h1 h3，所以圆台的高为 h h13.(h1h) 18 12答案：311.如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面为直角三角形， ACB90， AC6， BC CC1 ， P 是 BC1上一动点，则 CP PA1的最2小值是_解析：连结 A1B，沿 BC1将 CBC1展开，与 A1BC1在同一个平面内，如图所示，连结 A1C，则 A1C 的长度就是所求的最小值

7、因为 A1C16， A1B2 ， BC12，所以 A1C BC A1B2，所以10 21 21 A1C1B90.又 BC1C45，所以 A1C1C135，由余弦定理，得 A1C2 A1C CC 2 A1C1CC1cos A1C1C36226 50，所以 A1C5 ，即21 21 2 (22) 2CP PA1的最小值是 5 .2答案：5 212(2018苏中三市、苏北四市三调)现有一正四棱柱形铁块，底面边长为高的 8 倍，将其熔化锻造成一个底面积不变的正四棱锥形铁件(不计材料损耗)设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为 S1， S2，则 的值为_S1S2解析：设正四棱柱的高为 a，所以底面边长为 8

8、a，根据体积相等，且底面积相等，所以正四棱锥的高为 3a，则正四棱锥侧面的高为 5 a，所以 3a 2 4a 2S1S2 .48a24128a5a 25答案：2513已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为 4 ，过圆锥的两条母线作截面，截2面为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为_解析：如图，设底面半径为 r，由题意可得：母线长为 r.又侧面展24开图面积为 r2 r4 ，所以 r2.又截面三角形 ABD 为等边三角形，故12 2 2BD AB r，又 OB OD r，故 BOD 为等腰直角三角形设圆锥底面中心到截面的距离2为 d，又 VOABD VABOD，所以 dS ABD AOS OB

9、D.又 S ABD AB2 82 ， S34 34 3OBD2， AO r2，故 d .2223 233答案：23314. 底面半径为 1 cm 的圆柱形容器里放有四个半径为 cm 的实心铁球，四个球两两12相切，其中底层两球与容器底面相切现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水_cm 3.解析：设四个实心铁球的球心为 O1， O2， O3， O4，其中 O1， O2为下层两球的球心，O1O2O3O4为正四面体，棱 O1O2到棱 O3O4的距离为 ，所以注水高为 1 .故应注水体积为22 22 4 3 .(122) 43 (12) (13 22)答案： (13 22)B 组力争难度小

10、题1.(2018天津高考)已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点 E， F， G， H， M(如图)，则四棱锥 MEFGH 的体积为_解析：如图，连结 AD1， CD1， B1A， B1C， AC，因为 E， H 分别为AD1， CD1的中点，所以 EH AC， EHAC，因为 F， G 分别为 B1A， B1C 的中点，所以12FG AC， FG AC，所以 EH FG， EH FG，所以四边形 EHGF 为平行四12边形，又 EG HF， EH HG，所以四边形 EHGF 为正方形，又点 M 到平面EHGF 的距离为 ，所以四棱锥

11、 MEFGH 的体积为 2 .12 13 22 12 112答案：1122.(2018苏州期末)鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，5其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经 90榫卯起来若正四棱柱的高为 5，底面正方形的边长为 1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为_(容器壁的厚度忽略不计，结果保留 )解析：设球形容器的最小半径为 R，则“十字立方体”的 24 个顶点均在半径为 R 的球面上，所以两根并排的四棱柱体组成的长方体的八个顶点在这个球面上球的直径就是长方体的体对角线的长度，所以

12、2R ，得 4R230.从而 S 球面12 22 52 304 R230.答案：303已知三棱锥 PABC 的所有棱长都相等，现沿 PA， PB， PC 三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为 2 ，则三棱锥 PABC 的体积为6_解析：由条件知，表面展开图如图所示，由正弦定理得大正三角形的边长为 a22 sin 606 ，从而三棱锥的所有棱长均为 36 2，底面三角形 ABC 的高为 ，故三棱锥的高为 2 ，所求2326 18 6 3体积为 V (3 )22 9.13 34 2 3答案：94(2018渭南二模)体积为 的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体

13、积为43_解析：设球的半径为 R，由 R3 ，得 R1，所以正三棱柱的高 h2.设底面边43 43长为 a，则 a1，所以 a2 .所以 V 2 326 .13 32 3 12 3 3答案：6 35.如图所示，在直三棱柱中， AC BC， AC4， BC CC12，若用平行于三棱柱 A1B1C1ABC 的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小值为_解析：用过 AB， AC 的中点且平行于平面 BCC1B1的平面截此三棱柱，可以拼接成一个边长为 2 的正方体，其表面积为 24；用过 AB， BC 的中点且平行于平面 ACC1A1的平面截此三棱柱，可以

14、拼接成一个长、宽、高分别为 4,1,2 的长方体，其表面积为 28；用过 AA1， BB1， CC1的中点且平行于平面 ABC 的平面截此三棱柱，可以拼接成一个长、宽、高分别为 4,2,1 的长方体，其表面积为 28，6因此所求的长方体表面积的最小值为 24.答案：246.如图，在棱长为 4 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F 分别为棱AA1， D1C1上的动点，点 G 为正方形 B1BCC1的中心则空间四边形 AEFG 在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为_解析：四边形 AEFG 在前、后面的正投影如图，当 E 与 A1重合， F 与 B1重合时，四边形 AEFG 在前、后面的正投影的面积最大值为 12；四边形 AEFG 在左、右面的正投影如图，当 E 与 A1重合，四边形 AEFG 在左、右面的正投影的面积最大值为 8；四边形 AEFG 在上、下面的正投影如图，当 F 与 D 重合时，四边形 AEFG 在上、下面的正投影的面积最大值为 8.综上所述，所求面积的最大值为 12.答案：127