1、1计数原理与二项式定理A 组大题保分练1设集合 A， B 是非空集合 M 的两个不同子集，满足： A 不是 B 的子集，且 B 也不是A 的子集(1)若 M a1， a2， a3， a4，直接写出所有不同的有序集合对( A， B)的个数；(2)若 M a1， a2， a3， an，求所有不同的有序集合对( A， B)的个数解：(1)110.(2)集合 M 有 2n个子集，不同的有序集合对( A， B)有 2n(2n1)个当 AB，并设 B 中含有 k(1 k n， kN *)个元素，则满足 AB 的有序集合对( A， B)有 (2k1) 2k 3 n2 n个nk 1Cknnk 0Cknnk 0
2、Ckn同理，满足 BA 的有序集合对( A， B)有 3n2 n个故满足条件的有序集合对( A， B)的个数为 2n(2n1)2(3 n2 n)4 n2 n23 n.2记 1,2， n 满足下列性质 T 的排列 a1， a2， an的个数为 f(n)(n2， nN *)性质 T：排列 a1， a2， an中有且只有一个ai ai1 (i1,2， n1)(1)求 f(3)；(2)求 f(n)解：(1)当 n3 时，1,2,3 的所有排列有(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，其中满足仅存在一个 i1,2,3，使得 ai ai1 的排列有(
3、1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，所以 f(3)4.(2)在 1,2， n 的所有排列( a1， a2， an)中，若 ai n(1 i n1)，从 n1 个数 1,2,3， n1 中选 i1 个数按从小到大的顺序排列为 a1， a2， ai1 ，其余按从小到大的顺序排列在余下位置，于是满足题意的排列个数为 C .i 1n若 an n，则满足题意的排列个数为 f(n1)综上， f(n) f(n1) f(n1)2 n1 1.n 1i 1Ci 1n从而 f(n) ( n3) f(3)2 n n1.23 1 2n 31 23(2018南京、盐城一模)已知 nN *， nf
4、(n)C C 2C C rC C nC C .0n1n 1n2n r 1n rn n 1n n(1)求 f(1)， f(2)， f(3)的值；2(2)试猜想 f(n)的表达式(用一个组合数表示)，并证明你的猜想解：(1)由条件， nf(n)C C 2C C rC C nC C ，0n1n 1n2n r 1n rn n 1n n在中令 n1，得 f(1)C C 1.011在中令 n2，得 2f(2)C C 2C C 6，得 f(2)3.0212 122在中令 n3，得 3f(3)C C 2C C 3C C 30，得 f(3)10.0313 1323 233(2)猜想 f(n)C (或 f(n)C
5、 )n2n 1 n 12欲证猜想成立，只要证等式 nC C C 2C C rC C nC C 成n2n 1 0n1n 1n2n r 1n rn n 1n n立法一：(直接法)当 n1 时，等式显然成立当 n2 时，因为 rC rnrn！r！ n r ！ n！ r 1 ！ n r ！ n nC ， n 1 ！ r 1 ！ n r ！ r 1n故 rC C ( rC )C nC C .r 1n rn rn r 1n r 1n r 1n故只需证明 nC nC C nC C nC C nC C .n2n 1 0n 10n 1n 11n r 1n r 1n n 1 n 1n即证 C C C C C C
6、C C C .n2n 1 0n 10n 1n 11n r 1n r 1n n 1 n 1n而 C C ，故即证 C C C C C r 1n n r 1n n2n 1 0n 1n 1n 1n 1nC C C C .r 1n n r 1n n 1 1n由等式(1 x)2n1 (1 x)n1 (1 x)n可得，左边 xn的系数为 C .n2n 1而右边(1 x)n1 (1 x)n(C C xC x2C xn1 )0n 1 1n 1 2n 1 n 1(C C xC x2C xn)，0n 1n 2n n所以 xn的系数为 C C C C C C C C .0n 1n 1n 1n 1n r 1n n r
7、 1n n 1 1n由(1 x)2n1 (1 x)n1 (1 x)n恒成立可得成立综上， f(n)C 成立n2n 1法二：(构造模型)构造一个组合模型，一个袋中装有(2 n1)个小球，其中 n 个是编号为 1,2， n 的白球，其余( n1)个是编号为 1,2， n1 的黑球现从袋中任意摸出n 个小球，一方面，由分步计数原理其中含有 r 个黑球( n r)个白球)的 n 个小球的组合的个数为 C C ，0 r n1，由分类计数原理有从袋中任意摸出 n 个小球的组合rn 1 n rn的总数为 C C C C C C C C .0n 1n 1n 1n 1n r 1n n r 1n n 1 1n另一
8、方面，从袋中(2 n1)个小球中任意摸出 n 个小球的组合的个数为 C .n2n 1故 C C C C C C C C C ，余下同法n2n 1 0n 1n 1n 1n 1n r 1n n r 1n n 1 1n一法三：(利用导数)由二项式定理，得(1 x)nC C xC x2C xn.0n 1n 2n n两边求导，得 n(1 x)n1 C 2C x rC xr1 nC xn1 .1n 2n rn n3，得 n(1 x)2n1 (C C xC x2C xn)(C 2C x rC xr1 0n 1n 2n n 1n 2n rn nC xn1 )n左边 xn的系数为 nC .n2n 1右边 xn的
9、系数为C C 2C C rC C nC C C C 2C C r 1nn 2nn 1n rnn r 1n n1n 1n0n 2n1nC C nC C C C 2C C r C C nC C .rnr 1n nn 1n 0n1n 1n2n r 1n rn n 1n n由恒成立，得 nC C C 2C C r C C nC C .n2n 1 0n1n 1n2n r 1n rn n 1n n故 f(n)C 成立n2n 1法四：(构造模型)由 nf(n)C C 2C C rC C nC C ，0n1n 1n2n r 1n rn n 1n n得 nf(n) nC C ( n1)C C C C nC C
10、( n1)C C Cn 1n n n 2n n 1n 0n1n 0n1n 1n2nC ，n 1n n所以 2nf(n)( n1)(C C C C C C ) ( n1)0n1n 1n2n n 1n n(C C C C C C )，n1n n 1n 2n 1nn构造一个组合模型，从 2n 个元素中选取( n1)个元素，则有 C 种选法，现将 2nn 12n个元素分成两个部分 n， n，若( n1)个元素中，从第一部分中取 n 个，第二部分中取 1 个，则有 C C 种选法，若从第一部分中取( n1)个，第二部分中取 2 个，则有 C C 种选法，n1n n 1n 2n，由分类计数原理可知 C C
11、 C C C C C .n 12n n1n n 1n 2n 1nn故 2nf(n)( n1)C ，n 12n所以 f(n) C .n 12n 2n ！ n 1 ！ n 1 ！ 2n 1 ！n！ n 1 ！ n2n 14(2018苏锡常镇调研(二)已知函数 f(x)( x )2n1 (nN *， xR)5(1)当 n2 时，若 f(2) f(2) A，求实数 A 的值；5(2)若 f(2) m (mN *,0 .C2n 1 n 1 ！解：(1)由题意知 p2 ，即 p2的值为 .2A2A3 23 23(2)证明：先排第 n 行，则最大数在第 n 行的概率为 ；nn n 12 2n 1去掉第 n
12、行已经排好的 n 个数，则余下的 n 个数中最大数在第 n1 行的概率为n n 12 n n 12 ；n 1n n 12 2n故 pn .2n 1 2n 23 2n 1 n 1 n3 2n n 1 ！由于 2n(11) nC C C C C C C C C C ，0n 1n 2n n 0n 1n 2n 1n 2n 2n 1故 ，即 pn .2n n 1 ！ C2n 2 n 1 ！ C2n 1 n 1 ！3(2018苏州暑假测试)设集合 M1,0,1，集合 An( x1， x2， xn)|xi M， i1,2， n，集合 An中满足条件“1| x1| x2| xn| m”的元素个数记为 S .n
13、m(1)求 S 和 S 的值；2 42(2)当 mn 时，求证： S 3n2 m1 2 n1 .nm解：(1) S 8， S 32.2 42(2)证明：设集合 P0， Q1,1若| x1| x2| xn|1，即 x1， x2， x3， xn中有 n1 个取自集合 P,1 个取自集合 Q，故共有 C 21种可能，即为 C 21，n 1n 1n同理，| x1| x2| xn|2，即 x1， x2， x3， xn中有 n2 个取自集合 P,2 个取自集合 Q，6故共有 C 22种可能，即为 C 22，n 2n 2n若| x1| x2| xn| m，即 x1， x2， x3， xn中有 n m 个取自
14、集合 P， m 个取自集合 Q，故共有 C 2m种可能，即为 C 2m，n mn mn所以 S C 21C 22C 2m，nm 1n 2n mn因为当 0 k n 时，C 1，所以 C 10，kn kn所以 S C 21C 22C 2mnm 1n 2n mnC 20(C 21C 22C 2m)(C 1)2 m1 (C 1)2 n0n 1n 2n mn m 1n n(C 20C 21C 22C 2mC 2m1 C 2n)(2 m1 2 m2 2 n)0n 1n 2n mn m 1n n(12) n(2 n1 2 m1 )3 n2 n1 2 m1 .所以当 mn 时， S 3n2 m1 2 n1
15、.nm4(2018常州期末)对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式如：考察恒等式(1 x)2n(1 x)n(1 x)n(nN *)，左边 xn的系数为 C ，而n2右边(1 x)n(1 x)n(C C xC xn)(C C xC xn)， xn的系数为 C C 0n 1n n 0n 1n n 0nnC C C C (C )2(C )2(C )2(C )2，因此可得到组合恒等式 C (C1nn 1n n 0n 0n 1n 2n n n2)2(C )2(C )2(C )2.0n 1n 2n n(1)根据恒等式(1 x)m n(1 x)m(1 x)n(m， nN *)，两边 xk(其中kN， k m， k n)的系数相同，直接写出一个恒等式；(2)利用算两次的思想方法或其他方法证明：78
