1、- 1 -安徽省蚌埠市 2019 届高三年级第一次教学质量检查考试数学（文）试题一、选择题（本大题共 12 小题）1.已知全集 2，3， ，集合 ，集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 3，【答案】B【解析】【分析】由补集的定义求得得 ，进而由交集的定义可得结果【详解】因为全集 ，集合 ，则 ，又因为集合 ，所以 ；故选 B【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 且不属于集合 的元素的集合.2.已知复数 z 满足 ，其中 i 是虚数单位，则复数 z 在复平面内对应的点位于 A. 第一象限
2、B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数 ，从而得答案【详解】 ,则在复平面内对应的点的坐标为 ，位于第一象限故选 A- 2 -【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.如图是一个边长为 3 的正方形二维码，为了测算图中黑色部
3、分的面积，在正方形区域内随机投掷 1089 个点，其中落入白色部分的有 484 个点，据此可估计黑色部分的面积为 A. 4 B. 5 C. 8 D. 9【答案】B【解析】【分析】由几何概型中的随机模拟试验可得： ，将正方形面积代入运算即可【详解】由题意在正方形区域内随机投掷 1089 个点，其中落入白色部分的有 484 个点，则其中落入黑色部分的有 605 个点，由随机模拟试验可得： ，又 ，可得 ，故选 B【点睛】本题主要考查几何概型概率公式以及模拟实验的基本应用，属于简单题，求不规则图形的面积的主要方法就是利用 模拟实验，列出未知面积与已知面积之间的方程求解.4.命题 存在常数数列不是等比
4、数列，则命题 为 A. 任意常数数列不是等比数列 B. 存在常数数列是等比数列C. 任意常数数列都是等比数列 D. 不存在常数数列是等比数列【答案】C【解析】- 3 -【分析】根据特称命题“ ”的否定为全称命题“ ”即可得结果.【详解】因为特称命题的否定是全称命题，否定特称命题时，一是要将存在量词改写为全称量词，所以命题 存在常数数列不是等比数列的否定命题 为任意常数数列都是等比数列，故选 C【点睛】本题主要考查特称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，
5、而一般命题的否定只需直接否定结论即可.5.已知双曲线的渐近线方程为 ，一个焦点 ，则该双曲线的虚轴长为 A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C【解析】【分析】根据焦点 可得 ，结合渐近线方程中的 关系；联立可得 、 的值，从而可得答案【详解】因为双曲线的渐近线方程为 ， 一个焦点 ，所以 ， 联立 、 可得： ， ， ，该双曲线的虚轴长 2，故选 C【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，涉及双曲线的焦点、渐近线方程，属于中档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系
6、，挖掘出它们之间的内在联系.6.已知角 满足 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D- 4 -【解析】【分析】由已知利用诱导公式可求 ， ，再由二倍角公式化简，即可得结果【详解】 ，故选 D【点睛】本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题三角函数求值有三类，(1)“给角求值” ；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角” ，使其角相同或具有某种系；(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值” ，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角7.设向量 ， ，且 ，则 m 等于 A. 1 B. 2 C. 3 D
7、. 4【答案】B【解析】【分析】分别求出 关于 的表达式，解方程即可得结果.【详解】由题意，可知：， ， ， 解得： 故选 B【点睛】本题主要考查向量线性运算的坐标表示以及向量的模计算，意在考查对基础知识的掌握与应用，属基础题- 5 -8.要得到函数 的图象，只需将函数 的图象 A. 向右平移 个单位 B. 向左平移 个单位C. 向右平移 个单位 D. 向左平移 个单位【答案】D【解析】【分析】直接利用三角函数图象的平移变换法则求解即可【详解】因为 ，所以得到函数 的图象，只需将函数 的图象向左平移 个单位,故选 D【点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌
8、握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.9.设函数 是定义 在上的偶函数，且 ，若 ，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性求出 和 的值即可得到结论【详解】 是定义 在上的偶函数， ，即 ，则 ，故选 D- 6 -【点睛】本题主要考查函数值的计算，以及函数奇偶性的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题10.已知 ， 是椭圆 的左右焦点，点 M 的坐标为 ，则 的角平分线所在直线的斜率为 A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先推导出 轴，从而 ， ，点 关于 的角平分线 对称的点
9、在线段 的延长线上，求得 ，可得 的坐标，由此能求出线段 的中点 ,进而可得结果【详解】 ， ， 是椭圆 的左右焦点，轴， ，点 关于 的角平分线 对称的点 在线段 的延长线上，又 ， ，线段 的中点 ，的角平分线 的斜率 故选 A【点睛】本题主要考查椭圆的方程、椭圆的定义以及椭圆的简单性质，考查了斜率公式的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，是中档题11.某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，三棱锥表面上的点 M 在俯视图上的对应点为 A，三棱锥表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则线段 MN 的长度的最大值为 - 7 -A. B. C. D. 【答案】D【
10、解析】【分析】画出几何体的直观图，判断 的位置，然后结合直观图可求线段 的长度的最大值【详解】由三视图可知，该三棱锥的底面是直角三角形，一条侧棱与底面垂直（ 平面 ） ，为几何体的直观图如图， 在 上， 重合，当 与 重合时，线段 的长度的最大值为 故选 D【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.12.已知函数 ，则满足 的实数
11、 的取值范围是 A. B. C. D. - 8 -【答案】A【解析】【分析】设 ，利用换元法求解 的范围，可得 的范围，解不等式组即可求解实数 的取值范围.【详解】设 ，即求解函数，可得 或 ,解得： ；即 ；由函数 ，或 ,解得： 或 ，所以实数 的范围是 ，故选 A【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，常见题型：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 的形式时，应从内到外依次求值(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出
12、相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围二、填空题（本大题共 4 小题）13.曲线 在 处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】求出函数的导数，计算 ， 的值，由点斜式求出切线方程即可【详解】 ， ，- 9 -故切线方程是： ，即 ，故答案为 【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出 在 处的导数，即 在点 出的切线斜率（当曲线在 处的切线与 轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为 ） ；（2）由点斜式求得切线方程 .14.若 x，y 满足约束条件 ，则 的最小值为_【答案】【解析】【分析】画出可行域，
13、通过向上平移基准直线 到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数 在点 处取得最小值，且最小值为 .【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画图可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.15.如图所示，正方体 的棱长为 2，E，F 为 ，AB 的中点，M 点是正方形- 10 -内的动点，若 平面 ，则 M 点的轨迹长度为 _【答案】【解析】【分析】取 的中点 ， 的中点
14、 ，连接 ， ， ， 可得：四边形 是平行四边形，可得 .同理可得 可得面面平行，进而得出 点轨迹【详解】如图所示，取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ， ， 可得：四边形 是平行四边形， .同理可得： 平面 平面 ，点是正方形 内的动点，若 平面 .点 在线段 上点的轨迹长度 故答案为 【点睛】本题考查了面面平行的判定定理与线面平行的判断,属于中档题证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.利用面面平行的性质，即两平面平行，在
15、其中一平面内的直线平行于另一平面.- 11 -16.在 中，角 的对边分别为 ，点 为 中点，若 且 ，则 的最大值为_【答案】36【解析】【分析】直接利用 和平面向量的的运算法则，结合基本不等式的应用求出结果【详解】在 中，角 的对边分别为 ，点 为 中点，由于 且 ，则 ，所以 ，整理得： ，所以 ，故 的最大值为 36，故答案为 36【点睛】本题主要考查向量的线性运算以及数量积的运算法则，基本不等式的应用，属于综题向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式 ；二是向量的平方等于向量模的平方 .三、解答题（本大题共 7 小题）17.已知数列 前 项和为 ， 且 求 ， ；求数列 的
16、通项公式【答案】 （1） ， （2）【解析】【分析】且 ， 时 ， ， 解得 ， 时 ， 同理可得 ；时 ， ， 化为 可得 从而可得出【详解】 且 ，- 12 -时， ， ，时， ，解得 时， ，化为： ，时也成立【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的通项公式及其性质，属于中档题已知数列前项和，求数列通项公式，常用公式 ，将所给条件化为关于前 项和的递推关系或是关于第 项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用 与通项 的关系求 的过程中，一定要注意 的情况.18.如图，在四棱锥 中， 交于点
17、， ， ， 底面 求证： 底面 ；若 是边长为 2 的等边三角形，求 点到平面 的距离【答案】 （1）见证明；（2）【解析】【分析】先推导出 ， ，由线面垂直的判定定理能证明 平面 ； 以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量垂直数量积为零列方程- 13 -可得平面 的法向量，从而能求出 点到平面 的距离【详解】证明： 在四棱锥 中， 交于点 O， ， ，底面 ABCD，又 ，平面 PBD以 O 为原点，OD 为 x 轴，OC 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，交于点 O， ， ， 是边长为 2 的等边三角形， ， ， ，0， ， 0， ， ， 0
18、， ，0， ， 0， ， ，设平面 PBC 的法向量 y， ，则 ，取 ，得 ，点到平面 PBC 的距离 .【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查向量法求点到平面的距离的求法，考查线面垂直的判定定理，是中档题解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.19.2018 年 年月某市邮政快递业务量完成件数较
19、2017 年月 月同比增长 ，如图为该市 2017 年 月邮政快递业务量柱状图及 2018 年 月邮政快递业务量饼图，根据- 14 -统计图，解决下列问题年 月该市邮政快递同城业务量完成件数与 2017 年 月相比是有所增大还是有所减少，并计算，2018 年 月该市邮政快递国际及港澳台业务量同比增长率；若年平均每件快递的盈利如表所示：快递类型 同城 异地 国际及港澳台盈利 元 件 5 25估计该市邮政快递在 2018 年 月的盈利是多少？【答案】 （1）增长， ；（2） 万元.【解析】【分析】比较两年的邮政快递同城业务量完成件数，从而可得 2018 年 月该市邮政快递同城业务量完成件数与 20
20、17 年 月相比是有所增大，利用增长率公式能求出 2018 年 月该市邮政快递国际及港澳台业务量同比增长率； 求出 年 月该市邮政快递同城业务量完成件数、国际及港澳台业务量完成件数、异地业务量完成件数，由此能估计该市邮政快递在 2018 年 月的盈利【详解】 由题意得：2018 年 月该市邮政快递同城业务量完成件数为 万件，2018 年 月该市邮政快递同城业务量完成件数为：万件，年 月该市邮政快递同城业务量完成件数与 2017 年 月相比是有所增大2017 年 月该市邮政快递国际及港澳台业务量完成件数为 万件，- 15 -2018 年 月该市邮政快递国际及港澳台业务量完成件数为：万件，年 月该
21、市邮政快递国际及港澳台业务量同比增长率为：年 月该市邮政快递同城业务量完成件数为：万件，2018 年 月该市邮政快递国际及港澳台业务量完成件数为：万件，2018 年 月该市邮政快递异地业务量完成件数为：万件，估计该市邮政快递在 2018 年 月的盈利是：万元 【点睛】本题主要阅读能力、建模能力，考查柱状图、饼图的性质等基础知识，属于中档题与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.20.已知抛物线 ，直线 与 相交所得的长为 8求 的值；过原点 O 直线
22、与抛物线 交于 点，与直线 交于 H 点，过点 H 作 轴的垂线交抛物线于 点，求证：直线 过定点【答案】 （1） （2）见证明【解析】【分析】直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理根据弦长公式列方程即可求出 的值； 由 可得 ，设 ，求出点 的坐标，利用两点式可表示出直线 的方程，从而可求得直线过定点【详解】 由 ，消 x 可得 ，- 16 -， ，弦长为 ，解得 或 舍去 ，由 可得 ，设 ，直线 OM 的方程 ，当 时，代入抛物线方程 ，可得 ，直线 MN 的斜率 ，直线 MN 的方程为 ，整理可得 ，故直线 MN 过点 【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，弦长公式，直线过定点，属于
23、中档题判断- 17 -直线过定点主要形式有：（1）斜截式， ，直线过定点 ；（2）点斜式直线过定点 .21.已知函数 当 时，求函数 单调区间；若 恒成立，求 的值【答案】 （1） 在 递减，在 递增；（2）【解析】【分析】代入 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； 通过讨论 的范围，问题转化为 ， 利用两次求导求出 的范围，或 ，利用两次求导求出 的范围，可分别求出 的范围，综合两种情况取交集即可【详解】 时， ，故 ，令 ，解得： ，令 ，解得： ，故 在 递减，在 递增；若 恒成立，即 ，时， ，问题转化为 ，令 ，则 ，令 ， ，则 ， ，故 在 递减，
24、 ，故 在 递增， ，故 ， 在 递减，- 18 -而 时， ，故 ，故 ，时，显然成立，时， ，问题转化为 ，令 ，则 ，令 ， ，则 ， ，故 在 递减， ，故 在 递减， ，故 ， 在 递减，而 时， ，故 ，故 ，综上： 【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立( 即可)或 恒成立（ 即可） ； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值 或 恒成立； 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.22.在直角坐标系 xOy 中，曲线 的参数方程为： （
25、 为参数） ，以坐标原点 O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 求 的极坐标方程；若直线 与曲线 相交于 M，N 两点，求 【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】直接利用转换关系，把参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换即可； 直- 19 -线的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义，即可求出结果.【详解】 曲线 的参数方程为： （ 为参数 ，转换为直角坐标方程为： ，转换为极坐标方程为： 直线 的极坐标方程为 转换为参数方程为： (t 为参数)把直线的参数方程代入 ，得到 ， 和 为 M、N 对应的参数 ，故： ， 所以
26、 【点睛】本题考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：代入消元法；加减消元法；乘除消元法；三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将 和 换成 和 即可23.已知函数 当 时，求不等式 的解集；若不等式 在 恒成立，求 a 的取值范围【答案】 （1） ；（2） 或 【解析】【分析】代入 的值，对 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果； 问题转化为 或 在 恒成立，求出 的范围即可【详解】 时， ，时， ，不成立，时， ，解得： ，故 ，- 20 -时， ，解得： ，故 ，综上：不等式的解集是 ；若不等式 在 恒成立，则 在 恒成立，故 或 在 恒成立，故 或 【点睛】本题考查了解绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题以及转化思想，是一道常规题绝对值不等式的常见解法：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想- 21 -
