1、1天津市七校（静海一中，杨村中学，宝坻一中，大港一中等）2019 届高三上学期期中联考数学（理）试题第卷（选择题，共 40 分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接根据交集的定义即可求出结果.【详解】集合 ， ，则 ，故选 D.【点睛】本题考查了集合的交集的运算，属于基础题2.已知命题 ：“ ”，则命题 的否定为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定【详解】由全称命题的否定为特称命题可得命题 ：“ ”的否定为
2、 ，故选 C【点睛】本题考查命题的否定，注意全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，考查转化思想，属于基础题3.设 ，则“ ”是“ ”的( )A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件2【答案】A【解析】【分析】运用绝对值不等式的解法和余弦函数的图象和性质，化简两已知不等式，结合充分必要条件的定义，即可得到结论【详解】 ，则 ，可得“ ”是“ ”的充分不必要条件，故选 A.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，同时考查余弦函数的图象和性质，运用定义法和正确解不等式是解题的关键，属于基础题4.把函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的
3、图象，则 的图象的一条对称轴可以是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用函数 的图象变换规律，求得 的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论【详解】将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，令 ，解得 ，故 的图象的对称轴方程是 ，结合所给的选项，故选 B【点睛】本题主要考查函数 的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，在平移过程中（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（3）由3的图象得到 的图象时，需平移的单位数应为 ，而不是 5.函数 的单调递增区间是A
4、. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由 可得 或 ，要求函数 的单调递增区间，只要求解在定义域上的单调递增区间即可【详解】由 可得 或 在 单调递增，而 是增函数，由复合函数的同增异减的法则可得，函数 的单调递增区间是 ，故选 D.【点睛】本题考查对数函数的单调性和应用，与对数函数相结合时需注意函数的定义域，求复合函数 的单调区间的步骤：（1）确定定义域；（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；（3）分别确定两基本初等函数的单调性；（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间.6.已知函数 ，记 ，则 的大小关系为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，分析
5、可得 为偶函数且在 上为增函数，由对数函数及指数函数的性质比较可得 ，结合函数的单调性分析可得答案【详解】函数 ，其定义域为 ，且 ，则 为偶函数，当 时， ，则函数 在 上单调递增， ， ，4 ，则即 ，则 ，故选 B.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，指数、对数幂的大小比较，关键是分析函数的奇偶性与单调性，属于中档题.7.对实数 ，定义运算“ ”： 设函数 . 实数 互不相等，且 ，则 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由新定义写出分段函数，由题意作函数的图象，由二次函数的对称轴得 ，由此利用函数的图象可求 的范围.【详解】由 ，得 ，作函数
6、的图象如下图： 互不相等，且 ，可设 ， ， ，由图象得 ，且 ， ，故选 B【点睛】本题考查分段函数及运用，考查数形结合的思想方法和运用，注意通过图象观察，考查运算能力，属于中档题58.已知在平面四边形 中， ， ， , ， ，点为边 上的动点，则 的最小值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】以 为原点，以 所在的直线为 轴，以 所在的直线为 轴，求出 ， ， 的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出【详解】如图所示，以 为原点，以 所在的直线为 轴，以 所在的直线为 轴，过点 作 轴，过点 作 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，设 ， ，
7、， ， ，当 时，取得最小值为 ，故选 C.【点睛】本题主要考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的能力，向量的坐标表示，二次函数最值的求法，向量数量积的坐标表示，建立适当的坐标系将几何知识代数化是解题的关键，也是常用手段，属于中档题6第卷（非选择题，共 110 分）二、填空题：本大题共有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9.已知 ，则 _.【答案】【解析】【分析】原式分母看做“ ”，利用同角三角函数间的基本关系化简，将 的值代入计算即可求出值【详解】 ，原式 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题.10.
8、已知函数 若 在 上是增函数，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据函数在 上单调递增，得出函数在各分段单调递增，列出不等式组，即可得到实数的取值范围.【详解】函数 若 在 上是增函数，可得 ，解得 ，即实数的取值范围是 ，故答案为 .【点睛】本题考查分段函数的单调性的应用，不等式组的求法，注意在临界位置函数值的大小，属于基础题11.在 中， 为边 延长线上一点且不与 重合，若 ，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】7根据题意，由 是 延长线上一点，根据向量的线性运算可得 ，结合向量共线定理得到 .【详解】 又 ， ，由题意得 ， ，故答案为 .【点睛】本题主要考查了平面
9、向量基本定理的应用，向量共线定理的应用，属于基础题.12.在平面四边形 中， ，则_.【答案】【解析】【分析】结合图形在 中，利用正弦定理先求出 ，在 中利用余弦定理求出结果【详解】如图所示：四边形 中， ， ， ， ， ，在 中，利用正弦定理： ，解得： ，则： ，在 中，利用余弦定理： ，解得 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题13.已知定义在 上的函数 在 上是减函数，且 是偶函数，则关于 的不等式 的解集为_.8【答案】【解析】【分析】由题意可得函数 关于直线 对称，进而可得 在 上为增函数，据此可得，变形
10、可得 ，解可得 的取值范围，即可得答案【详解】根据题意， 是偶函数，则函数 关于直线 对称，又由函数 在 上是减函数，则其在 上为增函数，变形可得： ，即 ，解可得： ，即不等式的解集为 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查关于抽象函数的不等式问题，一元二次不等式的解法，涉及抽象函数的奇偶性与单调性的性质，充分利用数形结合思想将题意等价转化为 是解题的关键，属于基础题14.已知函数 ， ，若 在区间 内没有零点，则 的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】化简变形 ，根据三角函数的性质求出 的零点，根据条件得出区间 内不存在整数，再根据 可得 为 或 的子集，从而得出 的范围【详解】 令 ，可得
11、 ， 令 ，解得 ，函数 在区间 内没有零点，区间 内不存在整数9又 ， ，又 ， 或 或 ，解得 或 的取值范围是 ，故答案为 【点睛】本题主要考查了通过降幂公式化简三角函数，正弦函数的性质，函数零点的计算，解题的关键是将题意转化为集合间的关系，得到不等关系，属于中档题三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数 .（1）求 的最小正周期；（2）求 在区间 上的最大值和最小值.【答案】 （1） ； （2） .【解析】【分析】（1）将降幂公式后与辅助角公式化简可得 ，由周期公式求周期；（2）求出函数在区间 上的单调性，再结合端点处的函数值
12、得答案【详解】 （1）, 的最小正周期为 .（2） 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数. 又 , 的最小值为 ，最大值为 .【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换的应用，考查 型函数的图象和性质之周期与最值，属于中档题16.已知函数 .（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；10（2）若函数 只有一个零点，求的取值范围.【答案】 （1） ； （2） 或 .【解析】【分析】（1）求出 的导数，可得切线的斜率和切点，可得所求切线方程；（2）根据导数与 0 的关系得到函数的单调性和极值， 有极大值 ，极小值 ，由数形结合可得的取值范围.【详解】 （1）当 时， ， ， ， ， 切线方程为 ，即
13、 .（2） ，令 ，解得随 的变化， ， 的变化如下表0+ 0 - 0 + 极大值 极小值 当 时， 有极大值当 时， 有极小值 ,函数 只有一个零点, 或 ， 即 或 .【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值，考查方程思想和转化思想、运算能力，属于中档题；求切线方程的步骤：第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程，属于基础题.17.在平面直角坐标系 中，已知向量 .（1）若 ，求 的值；11（2）若与 的夹角为 ，求 的值.【答案】 （1） ； （2） .【解析】【分析】（1）根据 可得 ，结合 的取值范围可得 的值；（2）根据和 的夹角
14、可求出 ，结合两角和的余弦公式即可得最后结果.【详解】 （1） ， ,又 ， .（2） , ， ， = .【点睛】本题主要考查向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算，以及向量数量积的计算公式，两角和的余弦公式，属于中档题.18.已知 分别为 内角 所对的边，且 .（1）求 ；（2）若 ， 的面积为 ，求 的值.【答案】 （1） ； （2） .【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知等式将边化为角，结合 ，可求 ，由 可得的值；（2）由题意根据三角形面积公式可求 ，根据余弦定理即可求得 的值12【详解】 （1）由正弦定理得 ， 又 ，又 ， .（2）由题意 ，解得 ,由余弦定理得 ， ， ，所
15、以 .【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题19.已知函数 ，为自然对数的底数.（1）讨论 的单调性；（2）若存在 使得 成立，求的取值范围.【答案】 （1）见解析；（2） .【解析】【分析】（1）求出函数的导数，对讨论，分为 和 两种情形，通过导数与 0 的关系可判断单调区间；（2）将题意转化为 , ，设 ， ，求得 即为所求的的范围【详解】 （1） 的定义域为 ，且 ，当 时， ， 在 上是减函数，当 时， 时 ， 时 ，在 上是减函数，在 上是增函数. 13（2）由题意 ，即 , ，设 ， ， ， 当 时， ，
16、当 时， 在 上为增函数，在 上为减函数， ， ， 【点睛】本题主要考查导数的运用：求单调区间和最值，考查能成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段通过分离参数可转化为 或 能成立，即或 即可，利用导数知识结合单调性求出 或 即得解，属于中档题20.已知函数 的极小值为 .（1）求的值；（2）任取两个不等的正数 ，且 ，若存在正数 ，使得 成立，求证： .【答案】 （1） ； （2）见解析.【解析】【分析】（1）求函数的导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可得到结论；（2）求出 后把用 ， 表示，再把 与 作差后构造辅助函数，求导后得到构造的辅助函数的最小值大于 0，从而得到 ，运用同样的办法得到 ，最后得到要证的结论.【详解】 （1）显然 ， ， 令 ，解得 .当 时，若 ， 为减函数；14若 ， 为增函数, 在 处取得极小值， 解得 当 时与题意不符，综上， .（2）由（1）知 ， ， , ，即 .= .设 ，则再设 ，则 ， 在 上是减函数 ，即 ，又 ，即 ， ， ,同理可证得 , .【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，由 ，得函数单调递增， 得函数单调递减；解题的关键亦为其难点即通过构造函数 和，利用函数的单调性和极值证明不等式，是一道难度较大的综合题型15
