1、- 1 -2018 年春期四川省棠湖中学高二年级零诊模拟考试理科数学一选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.详解： 选 D.点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.2. 已知集合 ，B=2，0，1，2，则 A B=A. 0，1 B. 0，1，2 C. 1，2 D. 2，0，1，2【答案】B【解析】分析：化简集合 A，求出 A、B 的交集即可详解：A=x|x 22x0=x|0x2，B=2，0，1，2，则 AB=0，1，2，故选
2、：B点睛：本题考查了集合的交运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题3. 函数 的图像大致为A. B. - 2 -C. D. 【答案】B【解析】分析：判断 f（x）的奇偶性，再根据 f（x）的符号得出结论详解：f（x）定义域为 R，且 f（x）= =f（ x） ，f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除 A；又当 x0 时， 110 x ，f（x）0，排除 D，当 x 时，f（x） ，排除 C，故选：B点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称
3、性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.4. 已知向量， 满足 ， ，则A. 10 B. 12 C. 14 D. 16【答案】C【解析】分析：根据向量的数量积公式计算即可详解：向量 ， 满足| |=2， =6，则 （2 ）=2 =8+6=14，故选：C点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式 ；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.5. 双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为- 3 -A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由双曲线的离心率为 ，求出
4、a=b，由此能求出此曲线的渐近线方程详解：双曲线 的离心率为 ， = ，解得 a=b，该双曲线渐近线方程为 y=x故选：B点睛：本题考查双曲线渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线简单性质的合理运用6. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和” ，如 在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先确定不超过 30 的素数，再确定两个不同的数的和等于 30 的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：不超过 30 的素数有
5、2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共 10 个，随机选取两个不同的数，共有 种方法，因为 ，所以随机选取两个不同的数，其和等于 30 的有 3 种方法，故概率为 ，选 C.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.7. 已知 是定义域为 的奇函数，满足 若 ，则- 4 -（ ）A. B. 0 C.
6、 2 D. 50【答案】C【解析】分析：根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是 4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可详解：f（x）是奇函数，且 f（1x）=f（1+x） ，f（1x）=f（1+x）=f（x1） ，f（0）=0，则 f（x+2）=f（x） ，则 f（x+4）=f（x+2）=f（x） ，即函数 f（x）是周期为 4 的周期函数，f（1）=2，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（12）=f（1）=f（1）=2，f（4）=f（0）=0，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+02+0=0，则=504f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（2017）+f（20
7、18）=f（1）+f（2）=2+0=2，故选：C点睛：本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键8. 已知 ， 是椭圆 的左，右焦点， 是 的左顶点，点 在过 且斜率为 的直线上， 为等腰三角形， ，则 的离心率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：先根据条件得 PF2=2c,再利用正弦定理得 a,c 关系，即得离心率.详解：因为 为等腰三角形， ，所以 PF2=F1F2=2c,由 斜率为 得， ，- 5 -由正弦定理得 ,所以 ，选 D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根据 的关系
8、消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.9. 设抛物线 C： y2=4x 的焦点为 F，过点（2，0）且斜率为 的直线与 C 交于 M， N 两点，则 =A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】D【解析】分析：首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点 ，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得 ，最后应用向量数量积坐标公式求得结果.详解：根据题意，过点（2，0）且斜率为 的直线方程为 ，与抛物线方程联立 ，消元整理得： ，解得 ，又 ，所以
9、 ，从而可以求得 ，故选 D.点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出 ，之后借助于抛物线的方程求得 ，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点 M、N 的坐标，应用韦达定理得到结果.- 6 -10. 设函数 ，若 为奇函数，则曲线 在点 处的切线方程为A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由奇函数的定义，可得 f（x）=f（x） ，可得 a=0，f（x）=x 3+x，求出导数，可得切线的斜率和切点，由斜截式方程可
10、得切线的方程详解：函数 f（x）是奇函数，可得 f（x）=f（x） ，即有 = ，可得 a=1，即 f（x）= ，导数为 f（x）= +1，可得曲线 y=f（x）在 x=0 处的切线斜率为 k=3，切点为（0，0） ，即有曲线 y=f（x）在 x=0 处的切线方程为 y=3x故选：D点睛：与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略已知切点求切线方程解决此类问题的步骤为：求出函数 在点 处的导数，即曲线 在点 处切线的斜率；由点斜式求得切线方程为 已知斜率求切点已知斜率 ，求切点 ，即解方程 .求切线倾斜角的取值范围先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决11. 已知正
11、方体的棱长为 2，每条棱所在直线与平面 所成的角相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：利用正方体棱的关系，判断平面 所成的角都相等的位置，然后求解 截此正方体所得截面面积的最大值详解：正方体的所有棱中，实际上是 3 组平行的棱，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时， 截此正方体所得截面面积的最大，- 7 -此时正六边形的边长 ， 截此正方体所得截面最大值为：6 = 故选：A点睛：本题考查直线与平面所成角的大小关系，考查空间想象能力以及计算能力，属于难题解题关键是平面 与平面 A 平行.12. 已
12、知函数 有唯一零点，则 a=A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：通过转化可知问题等价于函数 y=1（x1） 2的图象与 y=a（ + ）的图象只有一个交点求 a 的值分 a=0、a0、a0 三种情况，结合函数的单调性分析可得结论详解：因为 f（x） =8+2（x2） 2+a（ + ）=0，所以函数 f（x）有唯一零点等价于方程 82（x2） 2= a（ + ）有唯一解，等价于函数 y=82（x2） 2的图象与 y= a（ + ）的图象只有一个交点当 a=0 时，f（x）= 8 ，此时有两个零点，矛盾；当 a0 时，由于 y=82（x2） 2在（，2）上递增、在（2，+）上递减，且
13、a（ + ）在（，2）上递增、在（2，+）上递减，- 8 -所以函数 y=82（x2） 2的图象的最高点为 A（2，8） ，y= a（ + ）的图象的最高点为 B（2，2a） ，由于 2a08，此时函数 y=82（x2） 2的图象与 a（ + ）的图象有两个交点，矛盾；当 a0 时，由于 y=82（x2） 2在（，2）上递增、在（2，+）上递减，且 y= a（ + ）在（，2）上递减、在（2，+）上递增，所以函数 y=82（x2） 2的图象的最高点为 A（2，8） ，y= a（ + ）的图象的最低点为 B（2，2a） ，由题可知点 A 与点 B 重合时满足条件，即 2a=8，即 a= ，符合条
14、件；综上所述，a= ，故选：A点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解二填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13. 若 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为_【答案】 . 【解析】分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=3x4y 的最小值详解：由 z=3x4y，得 y= x ，作出不等式对应的可行域（阴影部
15、分） ，- 9 -平移直线 y= x ，由平移可知当直线 y= x ，经过点 B（1，1）时，直线 y= x 的截距最大，此时 z 取得最小值，将 B 的坐标代入 z=3x4y=34=1，即目标函数 z=3x4y 的最小值为1故答案为：1点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14. ( + )(2 - )5的展开式中 3 3的系数为_【答案】40.
16、【解析】分析：根据（2xy） 5展开式的通项公式求出 x2y3和 x3y2项，再求（x+y）（2xy） 5的展开式中 x3y3系数详解：（2xy） 5展开式的通项公式为：Tr+1= （2x） 5r （y） r=25r （1） r x5r yr令 5r=2，得 r=3；令 5r=3，得 r=2；（x+y） （2xy） 5的展开式中 x3y3系数为：22（1） 3 +23（1） 2 =40故答案为：40点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 r1 项，再由特定项的特点求出 r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由
17、通项写出第 r1 项，- 10 -由特定项得出 r 值，最后求出其参数.15. 已知圆柱的高为 ，它的两个底面的圆周在直径为 4 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为_【答案】4 .【解析】分析：根据题意画出图形，结合图形求出该圆柱底面圆半径 r，再计算该圆柱的体积详解：如图所示，圆柱的高为 ，它的两个底面的圆周在直径为 4 的同一个球的球面上，该圆柱底面圆周半径为 r= = ，该圆柱的体积为：V=Sh= =4 故答案为：4 点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距
18、离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 16. 在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上若 = + ，则 + 的最大值为_【答案】【解析】分析：如图：以 A 为原点，以 AB，AD 所在的直线为 x，y 轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点 P 的坐标为（ cos+1， sin+2） ，根据 = +，求出 ，根据三角函数的性质即可求出最值详解：如图：以 A 为原点，以 AB，AD 所在的直线为 x，y 轴建立如图所示的坐标系，- 11 -则 A（0，0） ，B（
19、1，0） ，D（0，2） ，C（1，2） ，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上，设圆的半径为 r，BC=2，CD=1，BD= = BCCD= BDr，r= ，圆的方程为（x1） 2+（y2） 2= ，设点 P 的坐标为（ cos+1， sin+2） ， = + ，（ cos+1， sin+2）=（1，0）+（0，2）=（，2） ， cos+1=， sin+2=2，+= cos+ sin+2=sin（+）+2，其中 tan=2，1sin（+）1，1+3，故 + 的最大值为 3，故答案为：3点睛：本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点 P 的坐标，- 12
20、 -考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题三.解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17. 设函数 ，其中 .已知 .（）求 ；（）将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再将得到的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，求 在 上的最小值.【答案】(1) .(2) .【解析】试题分析：（）利用两角和与差的三角函数化简得到 由题设知 及 可得.（）由（）得从而 .根据 得到 ，进一步求最小值.试题解析：（）因为 ，所以
21、由题设知 ，所以 ， .故 ， ，又 ，所以 .- 13 -（）由（）得所以 .因为 ，所以 ，当 ，即 时， 取得最小值 .【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.18. 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气
22、温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20，25） ，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 10，15） 15，20） 20，25） 25，30） 30，35） 35，40）天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。（）求六月份这种酸奶一天的需求量 X（单位：瓶）的分布列；（）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元） ，当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？【
23、答案】(1)分布列见解析.(2) n=300 时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为 520 元.【解析】 （1）这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶，当且仅当最高气温低于 25，由表格数据知，最高气温低于 25 的频率为 ， 所以这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶- 14 -的概率的估计值为 0.6.（2）当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，若最高气温不低于 25，则 Y=6 450-4 450=900； 若最高气温位于区间 20,25） ，则 Y=6 300+2（450-300）-4 450=300；若最高气温低于 20，则 Y=6 200+2（450-200）-4 450= -
24、100.所以， Y 的所有可能值为 900,300，-100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于 20，由表格数据知，最高气温不低于 20 的频率为，因此 Y 大于零的概率的估计值为 0.8.【名师点睛】古典概型中基本事件数的探求方法：（1）列举法.（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.19. 如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA底面 ABC， .点 D，E，N 分别为棱PA，PC，BC 的中点，M 是线段 AD 的中点，PA=
25、AC=4，AB=2.（）求证：MN平面 BDE；（）求二面角 C-EM-N 的正弦值；（）已知点 H 在棱 PA 上，且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为 ，求线段 AH 的长.【答案】(1)证明见解析.(2) .- 15 -(3) 线段 AH 的长为 或 .【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用向量法证明 即可.(2)第（2）问，直接利用向量法求解. (3)第（3）问，直接利用向量法求出直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值，解方程即可.试题解析：（1）如图，以 A 为原点，分别以 方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Axyz，依题意可得 A(0,0,0
26、)，B(2，0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，D(0,0,2)，E(0,2,2)，M(0,0，1)，N(1,2,0)(1)证明： (0,2,0)， (2,0，2)设 n(x，y，z)为平面 BDE 的法向量，则即不妨设 z1，可得 (1,0,1)又 (1,2，1)，可得 0.因为 MN平面 BDE，所以 MN平面 BDE.(2)易知 (1,0,0)为平面 CEM 的一个法向量设 (x 1，y 1，z 1)为平面 EMN 的一个法向量，则因为 (0，2，1)， (1,2，1)，所以不妨设 y11，可得 (4,1，2)- 16 -因此有 cos ， ，于是 sin ， 所以二面角 CE
27、MN 的正弦值为 .(3)依题意，设 AHh(0h4)，则 H(0,0，h)，进而可得 (1，2，h)，(2,2,2)由已知，得|cos ， |整理得 10h221h80，解得 h ，或 h .所以，线段 AH 的长为 或 .点睛：本题的难点主要是计算，由于空间向量的运算，所以大家在计算时，务必仔细认真.20. 已知椭圆 C： （ab0） ，四点 P1（1,1） ，P2 （0,1） ，P3（1， ） ，P4（1，）中恰有三点在椭圆 C 上.（）求 C 的方程；（）设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1，证明：l 过定点.【答案
28、】(1) .(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据 ， 两点关于 y 轴对称，由椭圆的对称性可知 C 经过 ，两点.另外由 知， C 不经过点 P1，所以点 P2在 C 上.因此 在椭圆上，代入其标准方程，即可求出 C 的方程；（2）先设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1， k2，- 17 -再设直线 l 的方程，当 l 与 x 轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l： （ ） ，将 代入 ，写出判别式，利用根与系数的关系表示出 x1+x2， x1x2，进而表示出 ，根据 列出等式表示出 和 的关系，从而判断出直线恒过定点.试题解析：（1）由于 ， 两点关于 y 轴对称，
29、故由题设知 C 经过 ， 两点.又由 知， C 不经过点 P1，所以点 P2在 C 上.因此 ，解得 .故 C 的方程为 .（2）设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1， k2，如果 l 与 x 轴垂直，设 l： x=t，由题设知 ，且 ，可得 A， B 的坐标分别为（ t，） ， （ t， ）.则 ，得 ，不符合题设.从而可设 l： （ ）.将 代入 得由题设可知 .设 A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） ，则 x1+x2= ， x1x2= .而- 18 -.由题设 ，故 .即 .解得 .当且仅当 时， ，欲使 l： ，即 ，所以 l 过定点（2， ）点睛:椭圆的对称
30、性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简.21. 已知函数（）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；（）若 在 上恒成立，求实数的取值范围；（）若数列 的前 项和 ， ，求证：数列 的前 项和.【答案】(1) .(2) .(3)证明见解析.- 19 -解析：（）因为 ，所以 ， ，切点为 .由 ，所以 ，所以曲线 在
31、 处的切线方程为 ，即（）由 ，令 ，则 （当且仅当 取等号）.故 在 上为增函数.当 时， ,故 在 上为增函数，所以 恒成立，故 符合题意；当 时，由于 ， ，根据零点存在定理，必存在 ，使得 ，由于 在 上为增函数，故当 时， ,故 在 上为减函数， 所以当 时， ,故 在 上不恒成立，所以 不符合题意.综上所述，实数的取值范围为（III）证明：由由（）知当 时， ，故当 时， ， 故 ，故 .下面证明：因为而，- 20 -所以， ，即：点睛：本题考查了利用导数的几何意义求出参数及证明不等式成立，借助第二问的证明过程，利用导数的单调性证明数列的不等式，在求解的过程中还要求出数列的和，计算
32、较为复杂，本题属于难题。请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线 ,曲线 上任意一点到极点 的距离等于它到直线的距离.(I)求曲线 的极坐标方程;（）若 是曲线 上两点，且 ,求 的最大值.【答案】(1) .(2) .【解析】分析：设点 ，根据曲线 上任意一点到极点 的距离等于它到直线的距离，即可求得曲线 的极坐标方程；(II)根据 可设 ，利用极坐标方程求出 ，再根据三角函数的图象及性质即可求得最大值 .详解：()设点 是曲线 上任意一点，则 ,即 .(II) 设 ,则点睛：本题主要考查求极坐标方程及极坐标方程的应用.在参数方求最值问题中，可根据题设条件列出三角函数式，借助于三角函数的图象与性质，即可求最值，注意求最值时，取得的条件能否成立.23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 .(I)求 的最小值 ;(II)若 均为正实数，且满足 ,求证: .【答案】(1) .(2)证明见解析.- 21 -试题解析：（1）因为函数 ，所以当 时，；当 时， ；当 时， ，综上， 的最小值 .（2）据(1)求解知 ，所以 ，又因为 ，所以，即 ，当且仅当 时，取“=” 所以，即 .
