1、- 1 -内江铁路中学高三上入学考试数学试题一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1计算 （i 为虚数单位）等于（ ）A1i B1i C1+i D 1+i2若平面向量 =（1，2） ， =（2，y）且，则 ，则| |=（ ）A B C 2 D 53设 a，b 为实数，命题甲：ab0，命题乙： abb 2，则命题甲是命题乙的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其主视图如图所示，该四棱锥侧面积等于（ ）A 20 B5 C 4（ +1） D 45已知函数 f（x）= x2+cosx，f（x）
2、是函数 f（x）的导函数，则f（x）的图象大致是（ ）A B C D6阅读程序框图，如果输出 i=5，那么在空白矩形框中填入的语句为（ ）A S=2*i+4 B S=2*i1 C S=2*i2 D S=2*i7 （x 2+2） （ 1） 5的展开式的常数项是（ ）A 2 B 3 C2 D38某班 5 名学生负责校内 3 个不同地段的卫生工作，每个地段至少有 1 名学生的分配方案共有（ ）A 60 种 B 90 种 C 150 种 D 240种9把函数 y=cos（ 2x）的图象向右平移 ，得到函数f（x）的图象，则函数 f（x）为（ ）- 2 -A周期为 的奇函数 B周期为 的偶函数C周期为
3、2 的奇函数 D周期为 2 的偶函数10设点 P 在曲线 y=x2上，点 Q 在直线 y=2x2 上，则 PQ 的最小值为（ ）A B CD11过双曲线 =1（a0，b0）的左焦点 F（c，0） （c0）作圆 x2+y2= 的切线，切点为 E，延长 FE 交双曲线右支于点 P，若 E 为线段 PF 的中点，则双曲线的离心率等于（ ）A BCD12若存在 x0N +，nN +，使 f（x 0）+f（x 0+1）+f（x 0+n）=63 成立，则称（x 0，n）为函数 f（x）的一个“生成点” 已知函数 f（x）=2x+1，xN 的“生成点”坐标满足二次函数 g（x）=ax 2+bx+c，则使函数
4、 y=g（x）与 x 轴无交点的 a 的取值范围是（ ）A 0 B C D 0 或 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分13已知幂函数 y=f（x）的图象过点 ，则 log2f（2）=_14已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离分别为 a 海里和 2a 海里，灯塔 A 在观察站C 的北偏东 20，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40，则灯塔 A 和 B 的距离为_海里15设 O 为坐标原点，点 ，若 M（x，y）满足不等式组 ，则的最小值是_16已知数列a n满足 a1=a，a n+1=1+
5、，若对任意的自然数 n4，恒有 a n2，则 a 的取值范围为_三、解答题（本大题共 6 小题，满分 70 分，解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （10 分）已知集合 A=x|x25x+40，集合 B=x|2x29x+k0（）求集合 A； （）若 BA，求实数 k 的取值范围- 3 - 4 -18 （12 分）函数 f（x）=cos（x+） （0 ）的部分图象如图所示（）写出 及图中 x0的值；（）设 g（x）=f（x）+f（x+ ） ，求函数 g（x）在区间 上的最大值和最小值19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，四边形 ABCD 是菱形，AC=2
6、，BD=2 ，E 是 PB 上任意一点（）求证：ACDE；（）已知二面角 APBD 的余弦值为 ，若 E 为 PB 的中点，求 EC 与平面 PAB 所成角的正弦值- 5 - 6 -20 （12 分）已知定义 x1，1在偶函数 f（x）满足：当 x0，1时，f（x）=x+2，函数 g（x）=ax+52a（a0） ，（1）求函数 f（x）在 x1，1上的解析式：（2）若对于任意 x1，x 21，1，都有 g（x 2）f（x 1）成立，求实数 a 的取值范围- 7 -21.（12 分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：（1）投资股市：投资结果 获利 40% 不赔不赚 亏损 20%概 率（
7、2）购买基金：投资结果 获利 20% 不赔不赚 亏损 10%概 率 p q（）当 时，求 q 的值；（）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于 ，求 p 的取值范围；（）丙要将家中闲置的 10 万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知 ， ，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由- 8 -22 （12 分）已知函数 f（x）=x+xlnx，h（x）=xlnx2（）试判断方程 h（x）=0 在区间（1，+）上根的情况（）若 kZ，且 f（x）kxk 对任意 x
8、1 恒成立，求 k 的最大值（）记 a1+a2+an= ，若 ai=2ln2+3ln3+klnk（k3，kN *） ，证明1（nk，nN *）- 9 -内江铁路中学高三上入学考试数学参考答案一、选择题：CBADA DBCAD CB二、填空题：13 14 a 15 16 （0，+）三、解答题（本大题共 5 小题，满分 60 分，解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）17解：（1）x 25x+40，1x4，A=1，4；（3 分）（2）当 B=时，=818k0，求得 k （6 分）当 B时，有 2x29x+k=0 的两根均在1，4内，设 f（x）=2x 29x+k，则 解得 7k （9 分）综上，
9、k 的范围为7，+） （10 分）18解：（） =cos（0+） 的值是 =cos（x 0+ ）2 =x 0+ ，可得 x0的值是 （5 分）（）由题得= =因为 ，所以 所以 当 ，即 时，g（x）取得最大值 ；当 ，即 时，g（x）取得最小值 （12 分）19 （I）证明：PD平面 ABCD，AC平面 ABCD PDAC又ABCD 是菱形，BDAC，BDPD=DAC平面 PBD，DE平面 PBDACDE（6 分）（II）解：分别以 OA，OB，OE 方向为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设 PD=t，则- 10 -由（I）知：平面 PBD 的法向量为 ，令平面 PAB 的法向量为 ，则
10、根据得 因为二面角 APBD 的余弦值为 ，则 ，即 ， （9 分）设 EC 与平面 PAB 所成的角为 ， ， （12 分）20解：（1）设 x1，0，则x0，1，结合函数 f（x）是1，1上的偶函数，所以 f（x）=f（x）=x+ ，所以 （2）对任意的 x1，x 21，1，都有 g（x 2）f（x 1）成立，则只需 g（x） minf（x）max，又因为 y=f（x） ，x1，1是偶函数，所以 f（x）的值域就是 f（x）在0，1值域而当 x0，1时，f（x）=x+2 ，令 t= ，原函数化为 y=t 2+2t+2=（t1） 2+3，t1， ，显然 t=1 时 f（x） max=3，又因
11、为 g（x） min=3a+5，则由题意得 ，解得 0 即为所求21.（）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利” 、 “不赔不赚” 、 “亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以 p+ +q=1又因为 ，所以 q= （3 分）（）解：记事件 A 为“甲投资股市且盈利” ，事件 B 为“乙购买基金且盈利” ，事件 C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利” ，则 ，且 A，B 独立由上表可知， ，P（B）=p所以= = - 11 -因为 ，所以 又因为 ，q0，所以 所以 （8 分）（）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记 X 为丙投资股票的获利金额（单位：万元） ，所以随机变
12、量 X 的分布列为：X 4 0 2P 则 10 分假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记 Y 为丙购买基金的获利金额（单位：万元） ，所以随机变量 Y 的分布列为：Y 2 0 1P则 因为 EXEY，所以丙选择“投资股市” ，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大（12 分）22解：（1）由题意 h（x）=xlnx2（x1） ，则 h（x）=1所以函数 h（x）在（1，+）上单调递增因为 h（3）=1ln30，h（4）=22ln20，所以方程 h（x）=0 在（1，+）上存在唯一实根 x0，且满足 x0（3，4） ；（4 分）（2）因为 f（x）=x+xlnx，可知 k 对任意 x1 恒成立
13、，即 k 对任意 x1 恒成立令 g（x）= ，求导 g（x）=由（1）知，h（x）=xlnx2，h（x）=0 在（1，+）上存在唯一实根 x0，且满足 x0（3，4）当 1xx 0时，h（x）0，即 g（x）0当 xx 0时，h（x）0，即 g（x）0所以函数 g（x）= 在（1，x 0）上单调递减，在（0，+）上单调递增因之， min=g（x 0）= ，从而 k min=x0（3，4） ，故整数的最大值为 3；（8 分）（3）证明：由（2）可知，xlnx2x3（x1） ，取 x=k（k2，kN *） ，则有：2ln2223，3ln3233，klnk2k3，- 12 -将上式各式子相加得：2ln2+3ln3+klnk2（2+3+4+k）3（k1）=k 22k+1=（k1） 2，即 ，可得， ，从而有：= = （12 分）
