1、- 1 -2017-2018 学年下学期友好学校期末联考试题高一理科数学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 把 38 化为二进制数为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：运用十进制转化为二进制法则将 38 化为二进制数详解： 将得到的余数从后向前依次排列得到的数为故选点睛：本题主要考查了十进制向 进位制的转换，主要采用了除 取余法来得到，然后根据余数的结果，从后向前排成一列得到结论，属于基础题2. 若角 的终边过点 ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】分
2、析：利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得要求的式子的值详解： 角 的终边过点 ，则故选点睛：本题主要考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题，结合诱导公式运用定义即可求出结果。3. 已知 ，那么 是( )A. 第三或第四象限角 B. 第二或第三象限角C. 第一或第二象限角 D. 第一或第四象限角【答案】A- 2 -【解析】由题意知， ， 则 或 ，所以角 在第二或第四象限，故选 C.4. 某公司现有职员 160 人，中级管理人员 30 人，高级管理人员 10 人，要从其中抽取 20 个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，则职员、中级管理人员和高级管理人员各应该抽取的人数为( )A
3、. 8，15，7 B. 16，2，2 C. 16，3，1 D. 12，3，5【答案】C【解析】试题分析：职员、中级管理人员和高级管理人员各应该抽取 人，人， 人，故选 C.考点：分层抽样.5. 下列各组向量中，可以作为基底的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根据平面的基底的定义，逐一判定两个向量是否是共线的，得到答案.详解：由题意，A 中，由向量 ，则 共线，所以不能作为基底；B 中，向量 满足 ，所以 共线，所以不能作为基底；D 中，向量 满足 ，所以 共线，所以不能作为基底；C 中，向量 是坐标系内不共线的两个向量，所以可作为平面的一个基底，故选 C.点睛：本题主要考
4、查了向量的共线定理的应用，其中熟记平面的基底的定义和平面向量的共线定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6. 已知定义在 上的偶函数 在 上单调递增，若 ，则不等式 成立的概率是( )A. B. C. D. 【答案】B- 3 -【解析】分析：根据题意，由函数的奇偶性和单调性分析可以将 ，转化为 ，求解不等式的解集，再由长度比的几何概型，求解概率即可.详解：由题意，定义在 上的偶函数 在 上单调递增，则不等式 ，等价于 ，解得 ，即不等式 的解集为 ，所以当 时，不等式 对应的概率为 ，故选 B.点睛：本题主要考查了函数性质的应用和几何概型的概率求解问题，其中正确理解题意，求得不等式的解集
5、是解答的关键，着重考查了转化思想方法的应用，以及分析问题和解答问题的能力.7. 设 是不共线的两个向量，已知 ， ，则( )A. 三点共线 B. 三点共线C. 三点共线 D. 三点共线【答案】D【解析】分析：利用向量的运算，求得 ，得 ，即可得到 三点共线.详解：由题意 ，则 ，即 ，所以 ，所以 三点共线.点睛：本题主要考查了向量的线性运算，以及向量的共线定理的应用，其中根据向量的线性运算得到 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 8. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )- 4 -A. 7 B. 10 C. 9 D. 11【答案】C【解析】分析：根据给定的程序框图，逐一循环计算
6、，即可求得结果.详解：由题意，执行上述程序框图可得：第一次循环： ，不满足判断条件， ；第二次循环： ，不满足判断条件， ；第三次循环： ，不满足判断条件， ；第四次循环： ，不满足判断条件， ；第四次循环： ，满足判断条件，输出 ，故选 C.点睛：识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合9. 函数 的最小值和最大值分别为( )A. B. C
7、. D. 【答案】A【解析】分析：运用二倍角公式，得到关于 的二次函数，配方整理，求解二次函数的最值，即可得到答案.- 5 -详解：由题意，函数 ，当 时， ，当 时， ，故选 A.点睛：本题主要考查了三角函数的值域及二次函数的图象与性质的应用，解答中容易忽视正弦函数的取值范围导致错解，高考对三角函数的考查一直以中档试题为主，着重考查了推理与运算能力.10. 已知 ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由条件利用诱导公式求得 ，再利用同角三角函数的基本关系求得的值.详解：因为 ，所以 ，则 ，故选 B.点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱
8、导公式和同角三角函数的基本关系式化简三角函数式是解答的关键，特别属于符号的选取，这是解答的一个易错点，属于基础题，着重考查了推理与运算能力.11. 通过实验，得到一组数据如下： ，已知这组数据的平均数为 6，则这组数据的方差为( )A. 3.2 B. 4 C. 6 D. 6.5【答案】C【解析】分析：利用平均数的公式，求得 ，得到数据 ，再利用方差的计算公式，即求解数据的方差.详解：由题意，一组数据 的平均数为 6，即 ，解得 ，所以数据 的方差为 ，故选 C.- 6 -点睛：本题主要考查了数据的数字特的计算，其中熟记数据的平均数的公式和数据的方差的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能
9、力，属于基础题.12. 定义在 上的偶函数 满足 ，且在 上是减函数，若 是锐角三角形的两个内角，则下列各式一定成立的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由 求出函数 的周期，由周期性和条件可得 在上的单调性，进而由函数的奇偶性和周期性得到函数在 上的单调性，根据锐角三角形的条件和诱导公式、以及正弦函数的单调性判断出 和 的大小，根据 的单调性，即可得到结论.详解：由 得，函数 为周期为 ，因为函数 在 为单调递减函数，所以函数 在 为减函数，又由函数 为偶函数，所以函数 在 为单调递增函数，因为锐角三角形，所以 ，且 都为锐角，所以 且 都为锐角，由 在 上为单调递增函数
10、，所以 ，所以 ，故选 C.点睛：本题主要考查了正弦函数的单调性及锐角三角形的性质、函数的基本性质的综合应用，其中解答中正确应用函数的基本性质，合理作出运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化思想方法的应用.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 若三点 共线，则实数 的值为_【答案】【解析】分析：根据三点 共线，可知 ，由斜率的定义，代入点坐标化简可得关于 的方程，解方程即可得到答案详解： ，- 7 -三点共线，即 ，解得点睛：本题是一道关于三点共线的题目，利用直线的斜率相等进行解答，属于基础题，难度不大。14. 已知变
11、量 之间的一组数据如表：0 1 2 31 3 5 7则 与 的线性回归直线必过点_【答案】【解析】分析： 与 的线性回归直线必过样本中心点，计算这组数据的样本中心点，作出和 平均值，即可得到答案详解：由题意可知， 与 的线性回归直线必过样本中心点，与 的线性回归直线必过点点睛：本题主要考查了线性回归方程，掌握求线性回归方程的方法是本题关键。15. 记函数 的定义域为 .若在区间 上随机取一个数 ，则 的概率为_【答案】【解析】分析：求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式计算即可详解：函数则 ，即解得的定义域- 8 -在区间 上随机取一个数 ，则 的概率为点睛：本题结合定义域来求几何型概率，先
12、求出函数的定义域，然后再计算概率，本题较为简单。16. 已知向量 ，则 _【答案】【解析】根据题意得到 故答案为： .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 如图，根据函数的图象，求函数 的解析式.【答案】【解析】分析：根据图象的最高点确定三角函数的振幅，根据半个周期的长度，确定函数的周期和 的值，根据图象过一个点，把这个点代入函数的解析式，求出 的值，最后写出函数的解析式详解：由图象的最高点可以看出 .，即 ，所以 ，所以又因为点 在曲线上，代入得所以 ，所以 ， ，所以又因为 ，所以- 9 -所以函数解析式为点睛：本题主要考查了根
13、据函数的图象确定函数的解析式，属于基础题，在解题过程中注意的值是最难确定的，注意使用代入点的方法，或者是用五点法来确定。18. 在平面直角坐标系 中，已知向量 ， ， .()若 ，求 的值；()若 的夹角为 ，求 的值.【答案】 （1）1（2）【解析】试题分析：（1） .（2） ，根据辅助角公式与 的取值范围，可解出 .试题解析：（1） ， 且 ， ，又 ， ， 即 ， ；（2）由（1）依题知 ， 又 ， 即 19. 某校 100 名学生期末考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：.()求图中 的值；()根据频率分布直方图，估计这 100 名学生语文成绩的平均分；()若成绩在
14、 的学生中男生比女生多一人，且从成绩在 的学生中任选 2 人，求此 2 人都是男生的概率.- 10 -【答案】 （1） （2）73(3)【解析】试题分析:(1)利用小长方形的面积和为 ,求得 .(2)用每组中点值乘以频率后相加,可估计出平均分.(3)利用列举法可求得相应的概率.试题解析:(1) .(2)平均分的估计值为.(3) 共有 人,其中男生 人,女生 人,分别记为 ,选出两人,基本事件有共 种,其中都是男生的有 共种,故概率为 .20. 已知函数 .()求函数 的最小正周期及单调递增区间；()求 在区间 上的最大值和最小值.【答案】 （1） （2）最大值为 ，最小值为 0.【解析】分析：
15、利用二倍角和辅助角公式将函数化简为 形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间当 时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可求出 的最大值和最小值详解：()已知函数化解可得：所以函数 的最小正周期- 11 -由 ， 解得：所以函数 的单调递增区间为： ，()由()知当 时，可得：所以 ，即 .当 ，即 时， 取得最大值 ；当 ，即 时， 取得最小值 0.故得 在区间在 上的最大值为 ，最小值为 0.点睛：本题是道三角函数综合题目，一般采用二倍角公式和辅助角公式进行化简，然后转化为 的形式，然后再求出其单调区
16、间、最值等问题。21. 某城镇社区为了丰富辖区内广大居民的业余文化生活，创建了社区“文化丹青”大型活动场所，配备了各种文化娱乐活动所需要的设施，让广大居民健康生活、积极向上，社区最近四年内在“文化丹青”上的投资金额统计数据如表: (为了便于计算，把 2015 年简记为5，其余以此类推)年份 （年） 5 6 7 8投资金额 （万元） 15 17 21 27()利用所给数据，求出投资金额 与年份 之间的回归直线方程 ；() 预测该社区在 2019 年在“文化丹青”上的投资金额.附:对于一组数据 , 其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 .【答案】 （1） （2）30 万元.- 12 -【解
17、析】试题分析：（1）由题意求得 和 后根据所给公式求得 可得回归直线方程。（2）在回归方程 中，令 x=9 求得 后即可得到估计值.试题解析：（1）由题意得， ， ， 回归直线方程为 （2）当 时， ，故预测该社区在 2019 年投资金额为 30 万元22. 设两个向量 ，满足 ， .()若 ，求 的夹角；()若 夹角为 60，向量 与 的夹角为钝角，求实数 的取值范围.【答案】 （1）120（2）【解析】分析：()利用向量的运算，求得 ，利用向量的夹角公式，求得，即可求得向量 的夹角.- 13 -()由已知，利用向量的运算得 ，求得 的范围，设 ，根据向量相等，求解实数 的值，进而由向量 和 夹角为钝角，求解实数 的取值范围.详解：()由 得又 ，所以 ，所以 ，又因为 ，所以 的夹角为 120.()由已知得 ，所以 ，因为向量 与 的夹角为钝角，所以 ，解得 ，设 ，所以 ，解得 ，当 时， ，当 时，因为向量 与 的夹角为 180，所以向量 与 的夹角为钝角时，的取值范围是 .点睛：本题主要考查了平面向量的综合应用问题，其中解答中涉及到平面向量的基本运算法则和平面向量的夹角公式的应用等知识点的综合应用，熟记平面向量的基本公式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.- 14 -
