1、六年级奥数六年级数学难题汇总（解析+答案）例 1.只修改 970405 的某一个数字，就可使修改后的六位数能被 225 整除，修改后的六位数是_.（安徽省 1997 年小学数学竞赛题）解：逆向思考：因为 225=259，且 25 和 9 互质，所以，只要修改后的数能分别被 25 和 9 整除，这个数就能被 225 整除。我们来分别考察能被 25 和 9整除的情形。由能被 25 整除的数的特征（末两位数能被 25 整除）知，修改后的六位数的末两位数可能是 25，或 75.再据能被 9 整除的数的特征（各位上的数字之和能被 9 整除）检验，得97+04525，25227，257=32.故知，修改后
2、的六位数是 970425.7. 在三位数中，个位、十位、百位都是一个数的平方的共有 个。【答案】48【解】百位有 1、4 、9 三种选择，十位、个位有 0、1 、4、9 四种选择。满足题意的三位数共有34448（个）。12. 已知三位数的各位数字之积等于 10，则这样的三位数的个数是 _ 个.【答案】6【解】 因为 1025，所以这些三位数只能由 1、2 、5 组成，于是共有 6个12. 下图中有五个三角形，每个小三角形中的三个数的和都等于 50，其中A7 25，A1A2A3 A4 74，A9 A3A5A1076 ，那么 A2 与 A5 的和是多少？【答案】25【解】 有 A1+A2+A850
3、，A9+A2+A350，A4+A3+A550，A10+A5+A650 ，A7+A8+A650，于是有 A1+A2+A8+A9+A2+A3+A4+A3+A5+A10+A5+A6+A7+A8+A6250，即(A1+A2+A3+A4)+(A9+A3+A5+A10)+A2+A5+2A6+2A8+ A7250.有 74+76+A2+A5+2(A6+A8) + A7250，而三角形 A6A7A8 中有A6+A7+A8 50，其中 A725，所以 A6+A8502525.那么有 A2+A52507476 50 2525.【提示】上面的推导完全正确，但我们缺乏方向感和总体把握性。其实，我们看到这样的数阵，第一
4、感觉是看到这里 5 个 50 并不表示 10 个数之和，而是这 10 个数再加上内圈 5 个数的和。这一点是最明显的感觉，也是重要的等量关系。再“看问题定方向” ，要求第 2 个数和第 5 个数的和，说明跟内圈另外三个数有关系，而其中第 6 个数和第 8 个数的和是 50-2525,再看第 3 个数，在加两条直线第 1、2、3、4 个数和第 9、3 、5、10 个数时，重复算到第 3 个数，好戏开演：74+76+5025+第 2 个数第 5 个数505所以 第 2 个数第 5 个数 25一、填空题：1 满足下式的填法共有 种?口口口口-口口口= 口口【答案】4905。【解】由右式知，本题相当于
5、求两个两位数 a 与 b 之和不小于 100 的算式有多少种。a=10 时，b 在 90 99 之间，有 10 种；a=11 时，b 在 89 99 之间，有 11 种；a=99 时，b 在 1 99 之间，有 99 种。共有10+11+12+99=4905(种) 。【提示】算式谜跟计数问题结合，本题是一例。数学模型的类比联想是解题关键。4 在足球表面有 五边形和六边形图案 (见右上图)，每个 五边形与 5 个六边形相连，每个六边形与 3 个五边形 相连。那么五边形和六边形的最简整数比是_ 。【答案】3 5。【解】设有 X 个五边形。每个五边形与 5 个六边形相连，这样应该有 5X 个六边形，
6、可是每个六边形与 3 个五边形相连，即每个六边形被数了 3 遍，所以六边形有 个。二、解答题：1小红到商店买一盒 花球 ，一盒白球，两盒球的数量相等，花球原价是 2 元钱 3 个，白球 原价是 2 元钱 5 个新年优惠，两种球的售价都是 4 元钱 8 个，结果小红少花了 5 元钱，那么，她一共买了多少个球？【答案】150 个【解】用矩形图来分析，如图。容易得， 解得: 所以 2x=150222 名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多 2 人，至少有一名男老师，那么在这 22 人中，共有爸爸多少人？【答案】5 人【
7、解】家长和老师共 22 人，家长比老师多，家长就不少于 12 人，老师不多于10 人，妈妈和爸爸不少于 12 人，妈妈比爸爸多，妈妈不少于 7 人女老师比妈妈多 2 人，女老师不少于 729(人)女老师不少于 9 人，老师不多于 10人，就得出男老师至多 1 人，但题中指出，至少有 1 名男老师，因此，男老师是 1 人，女老师就不多于 9 人，前面已有结论，女老师不少于 9 人，因此，女老师有 9 人，而妈妈有 7 人，那么爸爸人数是：22-9-1-7 5(人) 在这 22人中，爸爸有 5 人【提示】妙，本题多次运用最值问题思考方法，且巧借半差关系，得出不等式的范围。正反结合讨论的方法也有体现
8、。3甲、乙、丙三人现在岁数的和是 113 岁，当甲的岁数是乙的岁数的一半时，丙是 38 岁，当乙的岁数是丙的岁数的一半时，甲是 17 岁，那么乙现在是多大岁数？【答案】32 岁【解】如图。设过 x 年，甲 17 岁，得：解得 x=10,某个时候，甲 17-10=7 岁，乙 72=14 岁，丙 38 岁，年龄和为 59 岁，所以到现在每人还要加上（113-59）3=18 （岁）所以乙现在 14+18=32（岁）。7. 甲、乙两班 的学生人数相等，各有一些学生参加数学选修课，甲班参加数学选修课的人数恰好是乙班没有参加的人数的 1/3，乙班参加数学选修课的人数恰好是甲班没有参加的人数的 1/4。那么
9、甲班没有参加的人数是乙班没有参加的人数的几分之几?【答案】 【解】：设甲班没参加的是 4x 人，乙班没参加的是 3y 人那么甲班参加的人数是 y 人，乙班参加的人数是 x 人根据条件两班人数相等，所以 4x+y=3y+x3x=2y x:y=2:3因此 4x:3y=8:9 故那么甲班没有参加的人数是乙班没有参加的人数的 【另解】列一元一次方程：可假设两班人数都为“1” ，设甲班参加的为 x，则甲班未参加的为（1-x）；则乙班未参加的为 3x，则乙班参加的为（1-3x）,可列方程：（1-x）/4=1-3x 求 x=3/11。【提示】方程演算、设而不求、量化思想都有了，这道题不错。目标班名校真卷七一
10、、填空题：31 满足下式的填法共有 种?口口口口-口口口= 口口【答案】4905。【解】由右式知，本题相当于求两个两位数 a 与 b 之和不小于 100 的算式有多少种。a=10 时，b 在 90 99 之间，有 10 种；a=11 时，b 在 89 99 之间，有 11 种；a=99 时，b 在 1 99 之间，有 99 种。共有10+11+12+99=4905(种) 。【提示】算式谜跟计数问题结合，本题是一例。数学模型的类比联想是解题关键。34 在足球表面有五边形和六边形图案 (见右上图)，每个五边形与 5 个六边形相连，每个六边形与 3 个五边形相连。那么五边形和六边形的最简整数比是_
11、。【答案】3 5。【解】设有 X 个五边形。每个五边形与 5 个六边形相连，这样应该有 5X 个六边形，可是每个六边形与 3 个五边形相连，即每个六边形被数了 3 遍，所以六边形有 个。36 用方格纸剪成面积是 4 的图形，其形状只能有以下七种：如果用其中的四种拼成一个面积是 16 的正方形，那么，这四种图形的编号和的最大值是_【答案】19.【解】为了得到编号和的最大值，应先利用编号大的图形，于是，可以拼出，由：(7)，(6)，(5)，(1)；(7)，(6)，(4)，(1)；(7)， (6)，(3)，(1)组成的面积是16 的正方形：显然，编号和最大的是图 1，编号和为 765 119，再验证
12、一下，并无其它拼法【提示】注意从结果入手的思考方法。我们画出面积 16 的正方形，先涂上阴影（6）（7），再涂出（ 5），经过适当变换，可知，只能利用（1）了。而其它情况，用上（6 ）（ 7），和（4），则只要考虑（3）（5 ）这两种情况是否可以。40 设上题答数是 a，a 的个位数字是 b七个圆内填入七个连续自然数，使每两个相邻圆内的数之和等于连线上的已知数，那么写 A 的圆内应填入_【答案】A 6【解】如图所示：BA4,CB3 ，所以 CA1;D=C3，所以 DA2;而 A D 14;所以 A（14 2）2 6.【提示】本题要点在于推导隔一个圆的两个圆的差，从而得到最后的和差关系来解题。4
13、3 某个自然数被 187 除余 52，被 188 除也余 52，那么这个自然数被 22 除的余数是_ 【答案】8【解】这个自然数减去 52 后，就能被 187 和 188 整除，为了说明方便，这个自然数减去 52 后所得的数用 M 表示，因 1871711，故 M 能被 11 整除；因 M 能被 188 整除，故，M 也能被 2 整除，所以，M 也能被 11222 整除，原来的自然数是 M52，因为 M 能被 22 整除，当考虑 M52 被 22 除后的余数时，只需要考虑 52 被 22 除后的余数 522228 这个自然数被 22 除余856 有一堆球，如果是 10 的倍数个，就平均分成 1
14、0 堆，并且拿走 9 堆；如果不是 10 的倍数个，就添加几个球 (不超过 9 个)，使这堆球成为 10 的倍数个，然后将这些球平均分成 10 堆，并且拿走 9 堆。这个过程称为一次操作。如果最初这堆球的个数为1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 29 8 9 9连续进行操作，直至剩下 1 个球为止，那么共进行了 次操作; 共添加了 个球.【答案】189 次； 802 个。【解】这个数共有 189 位，每操作一次减少一位。操作 188 次后，剩下 2，再操作一次，剩下 1。共操作 189 次。这个 189 位数的各个数位上的数字之和是(1+2+3+9)20=900。 由操作的
15、过程知道，添加的球数相当于将原来球数的每位数字都补成 9，再添1 个球。所以共添球1899-900+1=802(个)。 60 有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是 693，如果把所有这样的分数从大到小排列，那么第二个分数是_【答案】 【解】把 693 分解质因数：693 33711 为了保证分子、分母不能约分(否则，约分后分子与分母之积就不是 693)，相同质因数要么都在分子，要么都在分母，并且分子应小于分母分子从大到小排列是 11，9，7，1 ，68 在 1，2，1997 这 1997 个数中，选出一些数，使得这些数中的每两个数的和都能被 22 整除，那么，这样的数最多能选出_个【答
16、案】91【解】有两种选法：(1)选出所有 22 的整数倍的数，即：22，222，223，22901980 ，共 90 个数； (2)选出所有 11 的奇数倍的数，即：11，11221，11222 ，11 2290 1991 ，共 91 个数，所以，这样的数最多能选出 91 个二、解答题：1小红到商店买一盒 花球 ，一盒白球，两盒球的数量相等，花球原价是 2 元钱 3 个，白球原价是 2 元钱 5 个新年优惠，两种球的售价都是 4 元钱 8 个，结果小红少花了 5 元钱，那么，她一共买了多少个球？【答案】150 个【解】用矩形图来分析，如图。容易得， 解得: 所以 2x=150222 名家长（爸
17、爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多 2 人，至少有一名男老师，那么在这 22 人中，共有爸爸多少人？【答案】5 人【解】家长和老师共 22 人，家长比老师多，家长就不少于 12 人，老师不多于10 人，妈妈和爸爸不少于 12 人，妈妈比爸爸多，妈妈不少于 7 人女老师比妈妈多 2 人，女老师不少于 729(人)女老师不少于 9 人，老师不多于 10人，就得出男老师至多 1 人，但题中指出，至少有 1 名男老师，因此，男老师是 1 人，女老师就不多于 9 人，前面已有结论，女老师不少于 9 人，因此，女老师有 9 人，而
18、妈妈有 7 人，那么爸爸人数是：22-9-1-7 5(人) 在这 22人中，爸爸有 5 人【提示】妙，本题多次运用最值问题思考方法，且巧借半差关系，得出不等式的范围。正反结合讨论的方法也有体现。3甲、乙、丙三人现在岁数的和是 113 岁，当甲的岁数是乙的岁数的一半时，丙是 38 岁，当乙的岁数是丙的岁数的一半时，甲是 17 岁，那么乙现在是多大岁数？【答案】32 岁【解】如图。设过 x 年，甲 17 岁，得：解得 x=10,某个时候，甲 17-10=7 岁，乙 72=14 岁，丙 38 岁，年龄和为 59 岁，所以到现在每人还要加上（113-59）3=18 （岁）所以乙现在 14+18=32（
19、岁）。11. 甲、乙两班的学生人数相等，各有一些学生参加数学选修课，甲班参加数学选修课的人数恰好是乙班没有参加的人数的 1/3，乙班参加数学选修课的人数恰好是甲班没有参加的人数的 1/4。那么甲班没有参加的人数是乙班没有参加的人数的几分之几?【答案】 【解】：设甲班没参加的是 4x 人，乙班没参加的是 3y 人那么甲班参加的人数是 y 人，乙班参加的人数是 x 人根据条件两班人数相等，所以 4x+y=3y+x3x=2y x:y=2:3因此 4x:3y=8:9 故那么甲班没有参加的人数是乙班没有参加的人数的 【另解】列一元一次方程：可假设两班人数都为“1” ，设甲班参加的为 x，则甲班未参加的为
20、（1-x）；则乙班未参加的为 3x，则乙班参加的为（1-3x）,可列方程：（1-x）/4=1-3x 求 x=3/11。【提示】方程演算、设而不求、量化思想都有了，这道题不错。2007 年重点中学入学试卷分析系列七24. 著名的数学家斯蒂芬 巴纳赫于 1945 年 8 月 31 日去世，他在世时的某年的年龄恰好是该年份的算术平方根(该年的年份是他该年年龄的平方数).则他出生的年份是 _ ，他去世时的年龄是 _ .【答案】1892 年;53 岁。【解】 首先找出在小于 1945，大于 1845 的完全平方数，有1936442，1849432，显然只有 1936 符合实际，所以斯蒂芬 巴纳赫在193
21、6 年为 44 岁那么他出生的年份为 1936441892 年他去世的年龄为 1945189253 岁【提示】要点是：确定范围，另外要注意的“潜台词”：年份与相应年龄对应，则有年份年龄出生年份。36. 某小学即将开运动会，一共有十项比赛，每位同学可以任报两项，那么要有 _ 人报名参加运动会，才能保证有两名或两名以上的同学报名参加的比赛项目相同.【答案】46【解】 十项比赛，每位同学可以任报两项，那么有 45 种不同的报名方法那么，由抽屉原理知为 45+146 人报名时满足题意37. 43. 如图，ABCD 是矩形，BC=6cm，AB=10cm，AC 和 BD 是对角线，图中的阴影部分以 CD
22、为轴旋转一周，则阴影部分扫过的立体的体积是多少立方厘米？（=3.14 ）【答案】565.2 立方厘米【解】设三角形 BOC 以 CD 为轴旋转一周所得到的立体的体积是 S，S 等于高为 10 厘米，底面半径是 6 厘米的圆锥的体积减去 2 个高为 5 厘米，底面半径是 3 厘米的圆锥的体积减去 2 个高为 5 厘米，底面半径是 3 厘米的圆锥的体积。即：S= 6210-2 325=90，2S=180=565.2（立方厘米）【提示】S 也可以看做一个高为 5 厘米，上、下底面半径是 3、6 厘米的圆台的体积减去一个高为 5 厘米，底面半径是 3 厘米的圆锥的体积。 4如图，点 B 是线段 AD
23、的中点，由 A，B，C，D 四个点所构成的所有线段的长度均为整数，若这些线段的长度的积为 10500，则线段 AB 的长度是 。【答案】5【解】由 A，B ，C，D 四个点所构成的线段有：AB，AC，AD ，BC，BD 和CD，由于点 B 是线段 AD 的中点，可以设线段 AB 和 BD 的长是 x，AD=2x ，因此在乘积中一定有 x3。对 10500 做质因数分解：10500=223537，所以，x=5,ABBDAD=532,ACBCCD=237,所以，AC=7，BC=2,CD=3,AD=10.5甲乙两地相距 60 公里，自行车和摩托车同时从甲地驶向乙地. 摩托车比自行车早到 4 小时，已
24、知摩托车的速度是自行车的 3 倍，则摩托车的速度是 _ .【答案】30 公里/小时【解】 记摩托车到达乙地所需时间为“1”，则自行车所需时间为 “3”，有 4 小时对应“3”“1”“2”，所以摩托车到乙地所需时间为 422 小时摩托车的速度为 60230 公里/小时【提示】这是最本质的行程中比例关系的应用，注意份数对应思想。6. 一辆汽车把货物从城市运往山区，往返共用了 20 小时，去时所用时间是回来的 1.5 倍，去时每小时比回来时慢 12 公里.这辆汽车往返共行驶了 _ 公里.【答案】576【解】 记去时时间为“1.5”，那么回来的时间为“1”所以回来时间为 20(1.5+1)8 小时，则
25、去时时间为 1.5812 小时根据反比关系，往返时间比为 1.5132,则往返速度为 2：3,按比例分配，知道去的速度为 12（3-2）224（千米）所以往返路程为 24122576 （千米）。7. 有 70 个数排成一排，除两头两个数外，每个数的 3 倍恰好等于它两边两个数之和.已知前两个数是 0 和 1，则最后一个数除以 6 的余数是 _ .【答案】4【解】 显然我们只关系除以 6 的余数，有0，1，3，2，3 ，1 ，0，5，3，3 ，5，0，1，3，有从第 1 数开始，每 12 个数对于 6 的余数一循环，因为 7012510，所以第 70 个数除以 6 的余数为循环中的第 10 个数
26、，即 4【提示】找规律，原始数据的生成也是关键，细节决定成败。8. 老师在黑板上写了一个自然数。第一个同学说：“这个数是 2 的倍数。”第二个同学说：“这个数是 3 的倍数。”第三个同学说： “这个数是 4 的倍数。”第十四个同学说：“这个数是 15 的倍数。”最后，老师说：“在所有 14 个陈述中，只有两个连续的陈述是错误的。”老师写出的最小的自然数是 。【答案】60060【解】2，3，4，5，6 ，7 的 2 倍是 4，6，8 ，10，12，14，如果这个数不是2，3，4，5，6 ，7 的倍数，那么这个数也不是 4，6，8，10，12，14 的倍数，错误的陈述不是连续的，与题意不符。所以这个数是 2，3 ，4，5，6 ，7 的倍数。由此推知，这个数也是（25=）10，（34=）12，（27）14，（35=）15 的倍数。在剩下的 8,9,11,13 中，只有 8 和 9 是连续的，所以这个数不是 8 和 9 的倍数。 2，3，4，5 ，6，7，10，11 ，12，13，14，15的最小公倍数是 223571113=60060。
