1、1第八章 第 5 节 椭圆基础对点组1(导学号 14577739)(2018泉州质检)已知椭圆 1 的长轴在 x 轴上，x2m 2 y210 m焦距为 4，则 m 等于( )A8 B7C6 D5解析：A 椭圆 1 的长轴在 x 轴上，x2m 2 y210 mError! 解得 6b0)的一个顶点为x2a2 y2b2A(2,0)，离心率为 .直线 y k(x1)与椭圆 C 交于不同的两点 M， N.22(1)求椭圆 C 的方程；(2)当 AMN 的面积为 时，求 k 的值103解：(1)由题意得Error!解得 b ，所以椭圆 C 的方程为 1.2x24 y22(2)由Error! 得(12 k
2、2)x24 k2x2 k240.设点 M， N 的坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)，则 y1 k(x11)， y2 k(x21)，x1 x2 ， x1x2 ，4k21 2k2 2k2 41 2k2所以| MN| x2 x1 2 y2 y1 2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 .2 1 k2 4 6k21 2k2又因为点 A(2,0)到直线 y k(x1)的距离 d ，所以 AMN 的面积为|k|1 k2S |MN|d ，由 ，解得 k1.12 |k|4 6k21 2k2 |k|4 6k21 2k2 10310(导学号 14577748)(2018深圳市一模)已成椭圆 C：
3、 1( a b0)的左右x2a2 y2b2顶点分别为 A1、 A2，上下顶点分别为 B1、 B2，左右焦点分别为 F1、 F2，其中长轴长为 4，且圆 O： x2 y2 为菱形 A1B1A2B2的内切圆127(1)求椭圆 C 的方程；(2)点 N(n,0)为 x 轴正半轴上一点，过点 N 作椭圆 C 的切线 l，记右焦点 F2在 l 上的射影为 H，若 F1HN 的面积不小于 n2，求 n 的取值范围316解：(1)由题意知 2a4，所以 a2，所以 A1(2,0)， A2(2,0)， B1(0， b)， B2(0， b)，5则直线 A2B2的方程为 1，即 bx2 y2 b0，x2 yb所以
4、 ，解得 b23，| 2b|4 b2 127故椭圆 C 的方程为 1.x24 y23(2)由题意，可设直线 l 的方程为 x my n， m0，联立Error! ，消去 x 得(3 m24) y26 mny3( n24)0.由直线 l 与椭圆 C 相切，得 (6 mn)243(3 m24)( n24)0，化简得 3m2 n240.设点 H(mt n， t)，由(1)知 F1(1,0)， F2(1,0)，则 1，t 0 mt n 1 1m解得 t ，m n 11 m2所以 F1HN 的面积S F1HN (n1) ，12 | m n 11 m2 | 12|m n2 1 |1 m2代入 3m2 n2
5、40，消去 n 化简得 S F1HN |m|，32所以 |m| n2 (3m24)，解得 | m|2，即 m24，从而 4，又32 316 316 23 49 49 n2 43n0，所以 n4，故 n 的取值范围为 .433 433， 4能力提升组11(导学号 14577749)(2018怀化市四模)神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人的航天梦想，某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地球在椭圆的一个焦点上，如图所示，假设航天员到地球最近距离为 d1，到地球最远距离为 d2，地球的半径为 R，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个
6、神仙发射某种神秘信号需要飞行中的航天员中转后，地球人才能接收到，则神秘信号传导的最短距离为( )A d1 d2 R B d2 d12 RC d2 d12 R D d1 d26解析：D 设椭圆的方程 1( a b0)，半焦距为 c，x2a2 y2b2两焦点分别为 F1， F1，运行中的航天员为 P，由已知得Error!，则 2a d1 d22 R，神秘信号传导的最短距离为| PF1| PF2|2 R2 a2 R d1 d2.故选 D.12(导学号 14577750)(文科)(2018广州市一模)已知 F1， F2分别是椭圆C： 1( a b0)的左、右焦点，椭圆 C 上存在点 P 使 F1PF2
7、为钝角，则椭圆 C 的x2a2 y2b2离心率的取值范围是( )A. B.(22， 1) (12， 1)C. D.(0，22) (0， 12)解析：A 设 P(x0， y0)，则| x0| a，又 F1( c,0)， F2(c,0)，且 F1PF2为钝角，当且仅当 0 有解，即( c x0， y0)(c x0， y0)( c x0)(c x0)PF1 PF2 y 0，即有 c2 x y 有解，即 c2( x y )min.20 20 20 20 20又 y b2 x ， x y b2 ， x b2， a2)，即( x y )min b2，20b2a220 20 20 c2a2 20 20 20
8、 c2 b2， c2 a2 c2， ，即 e .又 0 e1， e1.故选 A.c2a2 12 22 2212(导学号 14577751)(理科)(2018泰州市模拟)已知点 F， A 是椭圆 C： 1x216 y212的左焦点和上顶点，若点 P 是椭圆 C 上一动点，则 PAF 周长的最大值为 _ .解析：椭圆 C： 1， a4， b2 ， c2，则其左焦点 F(2,0)，右焦点x216 y212 2F2(2,0)和上顶点 A(0,2 )2由椭圆的定义| PF| PF2|2 a8，| AF| AF2|2 a8， PAF 周长 l| AF| PF| PA| AF| PF| PF2| AF2|4
9、 a16，当且仅当AP 过 F2时 PAF 周长取最大值， PAF 周长的最大值 16.答案：1613(导学号 14577752)(2018张家界市一模)已知 A、 B、 F 分别是椭圆7x2 1(0 b1)的右顶点、上顶点、左焦点，设 ABF 的外接圆的圆心坐标为y2b2(p， q)若 p q0，则椭圆的离心率的取值范围为 _ .解析：如图所示，线段 FA 的垂直平分线为 x ，线段 AB 的中点 .1 1 b22 (12， b2) kAB b，线段 AB 的垂直平分线的斜率 k ，1b线段 AB 的垂直平分线方程为 y .b2 1b(x 12)把 x p 代入上述方程可得 y q. p q
10、0，1 1 b22 b2 1 b22b 0，化为 b .1 1 b22 b2 1 b22b 1 b2又 0 b1，解得 b1.22 e c .ca 1 b2 (0， 22)答案： (0，22)14(导学号 14577753)(理科)(2018广州市二模)已知双曲线 y21 的焦点是椭x25圆 C： 1( a b0)的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数x2a2 y2b2(1)求椭圆 C 的方程；(2)设动点 M 在椭圆 C 上，且| MN| ，记直线 MN 在 y 轴上的截距为 m，求 m 的最大433值解：(1)双曲线 y21 的焦点是椭圆 C： 1( a b0)的顶点，且椭圆与x25 x2
11、a2 y2b2双曲线的离心率互为倒数， a ， e 双曲线 ， e 椭圆 ，665 56 ca c ， b 1，5 6 58椭圆 C 的方程为 y21.x26(2)当直线 MN 的斜率为 0 时，由| MN| ，433得 M ，所以 y ，(233， y) 73所以直线 MN 在 y 轴上的截距为 .73当直线 MN 的斜率不存时，与 y 轴无焦点设直线 MN 的方程为 y kx m(k0)，联立Error! ，得(16 k2)x212 kmx6 m260，x1 x2 ， x1x212km1 6k2 6m2 61 6k2 (12 km)24(16 k2)(6m26)0， 144 k224 m2
12、240， m26 k21，|MN| ， 1 k2 x1 x2 2 4x1x2433 ， 1 k2 ( 12km1 6k2)2 46m2 61 6k2 433整理，得 m2 ，39k2 18k4 79k2 9 m2 6 k21，39k2 18k4 79k2 9整理，得 36k412 k210，即 6k210， k(，0)(0，)，则 m239k2 18k4 79k2 9 . 18 k2 1 2 75 k2 1 509 k2 1令 k21 t， t1，则 f(t)2 t ， t1，求导 f( t)2 .509t 253 509t2令 f( t)0，解得 1 t ；53令 f( t)0，解得 t ，
13、53则 f(t)在 单调递增，在 单调递减，(1，53) (53， )当 t 时， f(t)取最大值，最大值为 ，53 539 m 的最大值为 ，53综上可知： m 的最大值为 .5314(导学号 14577754)(文科)(2018深圳市一模)已知椭圆 C： 1( a b0)x2a2 y2b2的离心率为 .其右顶点与上顶点的距离为 ，过点 P(0,2)的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、 B33 5两点(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 M 是 AB 中点，且 Q 点的坐标为 ，当 QM AB 时，求直线 l 的方程(25， 0)解：(1)椭圆 C： 1( a b0)的离心率为 ，其右顶点与
14、上顶点的距离为 ，x2a2 y2b2 33 5Error! ，解得 a ， b ，3 2椭圆 C 的方程为 1.x23 y22(2)若直线 l 的斜率不存在，此时 M 为原点，满足 QM AB，方程为 x0.若直线 l 的斜率存在，设其方程为 y kx2， A(x1， y1)， B(x2， y2)，将直线方程与椭圆方程联立Error!，得(23 k2)x212 kx60， 72 k2480， x1 x2 . 12k2 3k2设 M(x0， y0)，则 x0 ， y0 k 2 . 6k2 3k2 6k2 3k2 42 3k2由 QM AB，知 k1，化简得 3k25 k20，y0x0 25解得 k1 或 k ，将结果代入 72 k2480 验证，舍掉 k ，23 23此时，直线 l 的方程为 x y20.综上所述，直线 l 的方程为 x0 或 x y20.
