1、1核心素养提升系列(五)1(理科)(2018南昌市二模)如图，椭圆 C： 1( ab0)的右顶点为 A(2,0)，x2a2 y2b2左、右焦点分别为 F1、 F2，过点 A 且斜率为 的直线与 y 轴交于点 P，与椭圆交于另一个点12B，且点 B 在 x 轴上的射影恰好为点 F1.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过点 P 且斜率大于 的直线与椭圆交于 M， N 两点(| PM|PN|)，若 S PAM S12PBN ，求实数 的取值范围解：(1)因为 BF1 x 轴，得到点 B ，( c， b2a)所以Error! Error! ，所以椭圆 C 的方程是 1.x24 y23(2)因为 (
2、2)，S PAMS PBN12PAPMsin APM12PBPNsin BPN 2PM1PN PMPN 2所以 .PM 2PN 由(1)可知 P(0,1)，设 MN 方程： y kx1， M(x1， y1)， N(x2， y2)，联立方程Error!，得(4 k23) x28 kx80，即得Error!.(*)又 ( x1， y11)， ( x2， y21)，有 x1 x2.PM PN 2将 x1 x2代入(*)可得 . 2 2 2 16k24k2 3因为 k ，有 (1,4)，12 16k24k2 3 163k2 4则 1240，所以直线 l 的方程为 y x1， y x1， y x ， y
3、 x .12 12 52 355 52 3552(导学号 14577828)(理科)(2018鹰潭市一模)如图，设椭圆C1： 1( a b0)，长轴的右端点与抛物线 C2： y28 x 的焦点 F 重合，且椭圆 C1的x2a2 y2b2离心率是 .32(1)求椭圆 C1的标准方程；(2)过 F 作直线 l 交抛物线 C2于 A， B 两点，过 F 且与直线 l 垂直的直线交椭圆 C1于另一点 C，求 ABC 面积的最小值，以及取到最小值时直线 l 的方程解：(1)椭圆 C1： 1( a b0)，长轴的右端点与抛物线 C2： y28 x 的焦点x2a2 y2b2F 重合， a2.又椭圆 C1的离
4、心率是 ， c ， b1，椭圆 C1的标准方程： y21.32 3 x24(2)过点 F(2,0)的直线 l 的方程设为： x my2，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)联立Error! 得 y28 my160， y1 y28 m， y1y216，| AB| 8(1 m2)1 m2 y1 y2 2 4y1y2过 F 且与直线 l 垂直的直线设为 y m(x2)，联立Error! 得(14 m2)x216 m2x16 m240， xC2 ， xC ，16m21 4m2 2 4m2 14m2 14| CF| |xC xF| ，1 m244m2 1 1 m2 ABC 面积 S |AB|CF
5、| .12 16 1 m24m2 1 1 m2令 t，则 S f(t) ， f( t) ，1 m216t34t2 3 16 4t4 9t2 4t2 3 2令 f( t)0，则 t2 ，即 1 m2 时， ABC 面积最小94 94即当 m 时， ABC 面积的最小值为 9，此时直线 l 的方程为 x y2.52 522(导学号 14577829)(文科)(2018潍坊市一模)已知椭圆 C 与双曲线 y2 x21 有共同焦点，且离心率为 .63(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若 A 为椭圆 C 的下顶点， M、 N 为椭圆 C 上异于 A 的两点，直线 AM 与 AN 的斜率之积为 1.求证
6、：直线 MN 恒过定点，并求出该定点坐标；若 O 为坐标原点，求 的取值范围OM ON 解：(1)设椭圆 C 的标准方程为 1( a b0)，y2a2 x2b2由题意可得 a2 b22， e ， c ，ca 63 2解得 a ， b1，3即有椭圆的标准方程为 x21.y23(2)证明：设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，由 A(0， )，直线 AM 与 AN 的斜率之积为 1，3可得 1，y1 3x1 y2 3x2即有 x1x2 y1y2 (y1 y2)3.3由题意可知直线 MN 的斜率存在且不为 0，设直线 MN： y kx t，代入椭圆方程，可得(3 k2)x22 ktx t23
7、0，可得 x1x2 ， x1 x2 ，t2 33 k2 2kt3 k2y1 y2 k(x1 x2)2 t2 t ，2k2t3 k2 6t3 k2y1y2 k2x1x2 kt(x1 x2) t2 k2 kt t2 ，(t2 33 k2) ( 2kt3 k2) 3t2 3k23 k25则 3，t2 33 k2 3t2 3k23 k2 3( 6t3 k2)化为 t23 t60，3解得 t2 ( 舍去)，3 3则直线 MN 的方程为 y kx2 ，3即直线 MN 恒过定点，该定点坐标为(0，2 )3由可得 x1x2 y1y2OM ON t2 33 k2 3t2 3k23 k2 4t2 3 3k23 k
8、2 45 3k23 k2由(3 k2)x22 ktx t230，可得 4 k2t24( t23)(3 k2)48 k236(3 k2)0，解得 k29.令 3 k2 m，则 m12，且 k2 m3，即有 3.45 3k23 k2 45 3 m 3m 54m由 m12，可得3 3 ，54m 32则 的取值范围是 .OM ON ( 3， 32)3(导学号 14577830)(理科)(2018淮北市一模)已知椭圆 C1： 1( a b0)x2a2 y2b2的离心率 e ，且过点(2， )，直线 l1： y kx m(m 0)与圆 C2：( x1) 2 y21 相切32 3且与椭圆 C1交于 A， B
9、 两点(1)求椭圆 C1的方程；(2)过原点 O 作 l1的平行线 l2交椭圆于 C， D 两点，若| AB| |CD|，求 的最小值解：(1)由题意得Error!，解得 a4， b2，故 C1的方程： 1；x216 y24(2)联立Error!，化简得(14 k2)x28 kmx4( m24)0，6 0 恒成立，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则Error! ，得| x1 x2| ，416k2 m2 41 4k2| AB| ，1 k2416k2 m2 41 4k2把 l2： y kx 代入 C1： 1，得 x2 ，x216 y24 161 4k2| CD| ，1 k281 4k
10、2 |AB|CD| 16k2 m2 421 4k2 12 4 m21 4k2 124 m21 4(1 m22m )2 12 4 m4m4 m2 1 当 m ， k ， 取最小值 .12 4 1(1m2 12)2 34 63 2 24 633(导学号 14577831)(文科)(2018抚顺市一模)已知椭圆 C： 1( a b c)的x2a2 y2b2左、右焦点分别为 F1( c,0)、 F2(c,0)，过原点 O 的直线(与 x 轴不重合)与椭圆 C 相交于D、 Q 两点，且| DF1| QF1|4， P 为椭圆 C 上的动点， PF1F2的面积的最大值为 .3(1)求椭圆 C 的离心率；(2
11、)若过左焦点 F1的任意直线与椭圆 C 相交于 S、 T 两点，求 的取值范围OS OT 解：(1)由题意可知，2 a4， a2.又 bc ，且 b2 c24，解得 b ， c1.3 3椭圆的离心率 e .ca 12(2)由(1)得椭圆 C 的方程为 1.x24 y23当直线 ST 的斜率不存在时，有 S 、( 1，32)7T ，( 1， 32)此时 .OS OT 54当直线 ST 的斜率存在时，设直线 ST 的方程为 y m(x1)，再设点 S(x1， y1)， T(x2， y2)将直线 ST 的方程 y m(x1)代入椭圆方程消去 y 并整理得(4m23) x28 m2x4 m2120，得
12、 x1 x2 ， x1x2 ， 8m24m2 3 4m2 124m2 3从而 x1x2 y1y2 x1x2 m2(x11)( x21)OS OT ( m21) x1x2 m2(x1 x2) m2 m2 1 4m2 124m2 3 8m44m2 3 4m4 3m24m2 3 . 5m2 124m2 3 54 334 4m2 3 4， 54综上所述， 的取值范围为 .OS OT 4， 544(导学号 14577832)(理科)(2018唐山市一模)已知椭圆 C： 1( ab0)的离x2a2 y2b2心率为 ，点 Q 在椭圆上， O 为坐标原点22 (b， ab)(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知
13、点 P， M， N 为椭圆 C 上的三点，若四边形 OPMN 为平行四边形，证明四边形OPMN 的面积 S 为定值，并求该定值解：(1)由椭圆 C： 1( ab0)的离心率为 ，得 e2 ，x2a2 y2b2 22 c2a2 12 ， ， a22 b2.a2 b2a2 12 b2a2 12将 Q 点坐标代入椭圆 C 的方程，得 1，解得 b24，b22b2 2b2b4 a28，椭圆 C 的方程为 1.x28 y24(2)当直线 PN 的斜率 k 不存在时， PN 方程为 x 或 x ，2 2从而有| PN|2 ，3所以四边形 OPMN 的面积为 S |PN|OM| 2 2 2 .12 12 3
14、 2 6当直线 PN 的斜率 k 存在时，设直线 PN 方程为 y kx m(m0)， P(x1， y1)， N(x2， y2)；8将 PN 的方程代入 C 整理得(12 k2)x24 kmx2 m280，所以 x1 x2 ， x1x2 ， 4km1 2k2 2m2 81 2k2y1 y2 k(x1 x2)2 m .2m1 2k2由 得： M ，OM OP ON ( 4km1 2k2， 2m1 2k2)将 M 点坐标代入椭圆 C 方程得 m212 k2.点 O 到直线 PN 的距离为 d ，| PN| |x1 x2|，|m|1 k2 1 k2四边形 OPMN 的面积为 S d|PN| m|x1
15、 x2| |x1 x2|1 2k22 .16k2 8m2 32 6综上，平行四边形 OPMN 的面积 S 为定值 2 .64(导学号 14577833)(文科)(2018安庆市二模)已知椭圆 E： 1( a b0)的x2a2 y2b2离心率是 ， F1、 F2是椭圆的左、右焦点，点 A 为椭圆的右顶点，点 B 为椭圆的上顶点，22且 S ABF1 .2 12(1)求椭圆 E 的方程；(2)若直线 l 过右焦点 F2且交椭圆 E 于 P、 Q 两点，点 M 是直线 x2 上的任意一点，直线 MP、 MF2、 MQ 的斜率分别为 k1、 k2、 k3，问是否存在常数 ，使得 k1 k3 k 2成立
16、？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由解：(1)由 F1( c,0)， A(a,0)， B(0， b)，得 S ABF1 (a c)b ，12 2 12则( a c)b 1，即( a c) 1.2 a2 c2 2由 e ， a c，ca 22 2得( c c) 1 ，2 a2 c2 2解得 c1，则 a ， b1，2椭圆的标准方程： y21.x229(2)由(1)可知： F2的坐标为 F2(1,0)，设 P(x1， y1)，Q(x2， y2)， M(2， t)当直线 l 的斜率不为 0 时，设 l 的方程为 x my1，由Error! ，消去 x 得( m22) y22 my10，则 y1 y2 ， y1y2 ，2mm2 2 1m2 2则 k1 k3 y1 tx1 2 y2 tx2 2 y1 tmy1 1 y2 tmy2 1 y1 t my2 1 y2 t my1 1 my1 1 my2 12my1y2 mt 1 y1 y2 2tm2y1y2 m y1 y2 1 2 t. 2mm2 2 2m mt 1m2 2 2t m2m2 2 2m2m2 2 1 4m2t 4t2m2 2由 k2 t，则 k1 k32 k2.t2 1当直线 l 的斜率为 0 时，显然 k1 k3 2 t2 k2，t2 2 t2 2k1 k32 k2成立综上可知：存在 2，使得 k1 k3 k 2成立
