1、习题P26，20：某种产品的商标是“MAXAM”其中有两个字母脱落，有人拣起随意放回，求放回后仍为“MAXAM”的 概率？ 解：,P25,11,将3个球随机的放入4个杯子中去，求杯子中求的最大个数是1，2，3的概率是多少？ P杯子中求的最大个数为1=P杯子中求的最大个数为3=P杯子中求的最大个数为2=,P25 10,在11张卡片上分别写上probability这11个字母，从中任意连抽7张，求其排列结果为ability的概率？ 解：设字母b,i的各两张卡片是可辩的，。基本事件的总数为 记A事件为“排列结果为ability”P(A)=,例.设一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率为1/3，击伤的概率为1
2、/2，击不中的概率为1/6，并设击伤两次也会导致潜水艇下沉，求施放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率？ 解：设A为“潜艇未被击沉”，等价于“炸弹未击中潜艇或仅一枚炸弹击伤潜艇”，则,12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上其中有3只铆钉强度太弱。每个部件用3只铆钉若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱问发生一个部件强度太弱的概率是多少? 解法一：将部件自1到10编号，E：随机地取铆钉，使各部件都装3只铆钉以Ai表示事件“第i号部件强度太弱”由题设，仅当3只强度太弱的铆钉同时装在第i号部件上，Ai才能发生由于从50只铆钉中任取3只装在第i号部件上共有C503种取法，强度太弱
3、的铆钉仅有3只，它们都装在第i号部件上，只有C33 =1种取法。 故且知A1，A2，A10两两互不相容，因此，10个部件中有一个强度太弱的概率为,解法二：每个部件需3只铆钉，10个部件共需30只铆钉，则从50只铆钉中取30只，并将之均分到10个部件的分配方法为种。先将3只强度太弱的铆钉装在同一部件上，这样的分法有C101种。再从剩余47只铆钉中取27只，并将之均分到9个部件的分配方法为种。 于是10个部件中有一个强度太弱的概率p为：,18.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率。若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少? 解：以Ai表示事件“
4、第i次拨号拨通电话”，i1，2，3 A表示事件“拨号不超过3次接通电话”， 解法一： 两两互不相容，且则当已知最后一位数是奇数时，所求概率为p=1/5+1/5+1/5=3/5,解法二 表示拨号3次都接不通，则或考虑拨号3次都接不通，是在号码错误的9个数字中取3个数字的排列，共有而C93A33= A93种方法；拨号三次的方法共有A103种方法，则P(A)=1- A93/A103=0.3 当已知最后一位数是奇数时，所求概率为p=1-2/33/44/5=3/5 解法三 因为拨号不超过三次而接通所需电话，即可以拨号三次，每次拨号均不同，但必定有一次拨对号，其余两次拨错号（为剩余9个数字中的2个），这样
5、共有A31 A92种方法。以拨号三次，每次拨号均不同，这样拨号的方法共有A103种，拨号不超过三次而接通所需电话的概率为A31 A92/ A103=0.3。 当已知最后一位数是奇数时，所求概率为 A31 A42/ A53=0.6,28.如果一危险情况C发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性在C发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出如果两个这样的开关并联联接，它们每个具有0.96的可靠性(即在情况C发生时闭合的概率)，问这时系统的可靠性(即电路闭合的概率)是多少?如果需要有一个可靠性至少为0.9999的系统，则至少需要用多少只开关并联?
6、设各开关闭合与否是相互独立的 解法一 以Ai表示事件“第i只开关闭合”，il,2,n 已知P(Ai)0. 96，由此可得：（1）事件B=两只这样的开关并联而电路闭合,B的概率为(注意各开关闭合与否是相互独立的)=20.96-0.9620.9984（2）n只这样的开关并联，因各开关闭合与否是相互独立的，此时系统可靠性R要使R0.9999，即1-0.04n 0.9999，故 n lg0.0001/lg0.04=2.86 因为n为整数，因此n 3，即至少要3只开关并联。,解法二 用随机变量X表示闭合的开关的数量。因为各开关闭合与否是相互独立的，在事件C发生时任一开关闭合的概率不变为0.96，则XB(
7、n,0.96)， （1）n=2;电路闭合的概率为 P1X2=PX=1+PX=2=C210.960.04+C220.962=0.9984 （2）P1Xn= =PX=1+PX=2+ PX=n =Cn10.960.04n-1+Cn20.9620.04n-2+Cnn0.96n =1-0.04n0.9999 n lg0.0001/lg0.04=2.86 因为n为整数，因此n 3，即至少要3只开关并联。,40将A、B、C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为。，而输出为其它一字母的概率都是(1)/2今将字母串AAAA，BBBB，CCCC之一输入信道，输入AAAA，BBBB，CCCC的概率分别为p1,p
8、2,p3(p1+p2+p3=1)，已知输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多少?(设信道传输各个字母的工作是相互独立的） 解 以D1、D2、D3分别表示事件“输入AAAA”、“输入BBBB、“输入CCCC”，以H表示事件“输出ABCD” 。因事件D1、D2、D3两两互不相容，且有因此贝叶斯公式可以使用。输入AAAA输出为ABCA，有两字母为原字母，另两字母为其他字母，则 ，同理 于是：,39设根据以往记录的数据分析，某船只运输的某种物品损坏的情况共有三种：损坏2%(这一事件记为A1)，损坏10%(事件A2)，损坏90(事件A3)，且知P(A1)=0.8， P(A2)=0.15，P(A3)
9、=0.05现在从已被运输的物品中随机地取3件，发现这3件都是好的(这一事件记为B)试求P(A1|B)P(A2|B)，P(A3|B)(这里设物品件数很多，取出一件后不影响取后一件是否为好品的概率)解 在被运输的物品中，随机取3件，相当于在物品中抽取3次，每次取一件，作不放回抽样。又根据题中说明抽取一件后，不影响取后一件是否为好品的慨率。 已知当A1发生时，一件产品是好品的概率为1-2%=0.98，从而随机取3件，它们都是好品的概率为0.983，即P(B|A1)= 0.983，同理可得P(B|A2)= 0.93， P(B|A3)= 0.13。又因为A1、A2、A3两两互不相容，P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=1，则全概率公式和贝叶斯公式均可用。于是：,38. 袋中装有m枚正品硬币、n枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一枚，将它投掷r次，已知每次都得到国徽。问这枚硬币是正品的概率为多少？ 解：以A表示事件“任取一枚硬币是正品”，则 表示“任取一枚硬币是次品”，P(A)=m/(m+n)； 以B表示事件“将一枚硬币投掷r次，每次都得到国徽”，因为每次投掷是独立的，则应用贝叶斯公式：,
