1、- 1 -第 1 课时 一元二次不等式及其解法学习目标：1.掌握一元二次不等式的解法(重点).2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题(难点)自 主 预 习探 新 知1一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式2一元二次不等式的一般形式(1)ax2 bx c0( a0)(2)ax2 bx c0( a0)(3)ax2 bx c0( a0)(4)ax2 bx c0( a0)思考：不等式 x2 y20 是一元二次不等式吗？提示 此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式3一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的
2、未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集思考：类比“方程 x21 的解集是1，1，解集中的每一个元素均可使等式成立” 不等式 x21 的解集及其含义是什么？提示 不等式 x21 的解集为 x|x1，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立4三个“二次”的关系：设 f(x) ax2 bx c(a0)，方程 ax2 bx c0 的判别式 b24 ac判别式 0 0 0求方程f(x)0 的解有两个不等的实数解x1， x2有两个相等的实数解x1 x2没有实数解画函数y f(x)的示意图解不等式f(x)0或f(x)0 的步骤 得等的集不式
3、解f(x)x|x x1_或 x x2Error! R- 2 -0f(x)0x|x1x x2 思考：若一元二次不等式 ax2 x10 的解集为 R，则实数 a 应满足什么条件？提示 结合二次函数图象可知，若一元二次不等式 ax2 x10 的解集为 R，则Error!解得a ，所以不存在 a 使不等式 ax2 x10 的解集为 R.基础自测1思考辨析(1)mx25 x0，则一元二次不等式 ax210 无解( )(3)若一元二次方程 ax2 bx c0 的两根为 x1， x2(x10 的解集为 R.( )答案 (1) (2) (3) (4) 提示：(1)错误当 m0 时，是一元一次不等式；当 m0
4、时，是一元二次不等式(2)错误因为 a0，所以不等式 ax210 恒成立，即原不等式的解集为 R.(3)错误当 a0 时，ax2 bx c0 的解集为 R.2(2018全国卷)已知集合 A x|x2 x20，则 RA( )A x|1 x2 B x|1 x2C x|x1 x|x2 D x|x1 x|x2B 通解 A x|(x2)( x1)0 x|x1 或 x2，所以 RA x|1 x2，故选 B.优解 因为 A x|x2 x20，所以 RA x|x2 x20 x|1 x2，故选 B.3不等式 x22 x52 x 的解集是_x|x5 或 x2 x，得 x24 x50，因为 x24 x50 的两根为
5、1,5，故 x24 x50 的解集为 x|x54不等式3 x25 x40 的解集为_. 【导学号：91432278】 原不等式变形为 3x25 x40；(2)4 x218 x 0；814(3)2 x23 x20，所以方程 2x27 x30 有两个不等实根x13， x2 .又二次函数 y2 x27 x3 的图象开口向上，所以原不等式的解集为Error!.12(2)原不等式可化为20，所以原不等式的解集为Error!.(2x92)(3)原不等式可化为 2x23 x20，因为 942270；(2)x24 x40；(3) x22 x30.【导学号：91432279】解 (1) 0，方程 2x23 x2
6、0 的根是 x1 ， x22，12不等式 2x23 x20 的解集为Error!.(2) 0，方程 x24 x40 的根是 x1 x22，不等式 x24 x40 的解集为 .x|x 2(3)原不等式可化为 x22 x30，由于 0，方程 3x25 x20 的两根为 x1 ， x21，23不等式3 x25 x20 的解集为Error!.含参数的一元二次不等式的解法解关于 x 的不等式 ax2( a1) x10 三类进行讨论？当a0 时，是否还要比较两根的大小？解 当 a0 时，原不等式可化为 x1.当 a0 时，原不等式可化为( ax1)( x1)0，(x1a) 1.1a 1a当 a0 时，原不
7、等式可化为 (x1)1，则 1，即 01；当 01 时，原不等式的解集为Error! .规律方法 解含参数的一元二次不等式的一般步骤- 5 -注：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并跟踪训练2解关于 x 的不等式： ax222 x ax(a0、 y0 时自变量 x 组成的集合，亦即二次函数 y x22 x3 的图象在 x 轴上方时点的横坐标 x 的集合 x|x3；同理，满足 y0(a0)或 ax2 bx c0)是函数y ax2 bx c(a0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当 y0 时，函数y ax2 bx c(a0)就转化为方程，当 y0 或
8、y0 的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？- 6 -这又说明什么？提示：方程 x22 x30 的解集为1,3不等式 x22 x30 的解集为 x|x3，观察发现不等式 x22 x30 解集的端点值恰好是方程 x22 x30 的根3设一元二次不等式 ax2 bx c0(a0)和 ax2 bx c0)的解集分别为 x|xx2， x|x10(a0)和 ax2 bx c0)的解集分别为 x|xx2， x|x10 的解集为 x|20 的解集为 x|20，即 x2 x 0，解得 x ，所以不等式 cx2 bx a0 的解集为 x|20 的解集解 由根与系数的关系知 5， 6 且 a0bc 56即 x
9、2 x 0 的解集为 x|20，得( x1)(2 x1)0，解得 x1 或 x0.又 aa，所(x1a) (x 1a) 1a以 x 或 x0 的解集为_Error! 由题意，2， 是方程 ax2 bx c0 的两个根且 a0 即为 2x25 x20 的解集为Error!.125解下列不等式：(1)x(7 x)12；(2)x22(x1).【导学号：91432283】解 (1)原不等式可化为 x27 x120，因为方程 x27 x120 的两根为x13， x24，所以原不等式的解集为 x|3 x4(2)原不等式可以化为 x22 x20，因为判别式 4840，方程 x22 x20 无实根，而抛物线 y x22 x2 的图象开口向上，所以原不等式的解集为 R.
