1、- 1 -第一课 解三角形核心速填1正弦定理(1)公式表达： 2 R.asin A bsin B csin C(2)公式变形： a2 Rsin A， b2 Rsin B， c2 Rsin C；sin A ，sin B ，sin C ；a2R b2R c2R a b csin Asin Bsin C； 2 R.a b csin A sin B sin C asin A bsin B csin C2余弦定理(1)公式表达：a2 b2 c22 bccos_A， b2 a2 c22 accos_B， c2 a2 b22 abcos_C.(2)推论：cos A ，cos B ，cos C .b2 c2
2、a22bc a2 c2 b22ac a2 b2 c22ab3三角形中常用的面积公式(1)S ah(h表示边 a上的高)；12(2)S bcsin A acsin B absin C；12 12 12(3)S r(a b c)(r为三角形的内切圆半径)12体系构建- 2 -题型探究利用正、余弦定理解三角形在 ABC中，内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c.已知 b c2 acos B.(1)证明： A2 B；(2)若 ABC的面积 S ，求角 A的大小. a24【导学号：91432090】解 (1)证明：由正弦定理得 sin Bsin C2sin Acos B，故 2sin Aco
3、s Bsin Bsin( A B)sin Bsin Acos Bcos Asin B，于是 sin Bsin( A B)又 A， B(0，)，故 08，应舍去，所以 x4 33.9，即这条公3 3 3 3路的长约为 3.9 km.(2)在 ABD中，由正弦定理得 ，所以ADsin ABD ABsin ADBsin ABDsin CBD sin ADB 0.8，所以 cos CBD0.6.在 CBD中，ADAB 45sin DCBsin( CBD BDC)sin( CBD75)0.80.260.60.970.79，由正弦定理得 CDsin DBC 3.9.故景点 C与景点 D之间的距离约为 3.
4、9 km.BDsin DCB规律方法 正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用.常用的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等.解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中 目的是发现已知量与未知量之间的关系 ，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求.跟踪训练3如图 13， a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在 a上点 A处有一个水声监测点，另两个监测点 B， C分别在 A的正东方 20 km和 54 km处某时刻，监测点 B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 s后监测点 A,20 s后监测点 C相继收到这一信号，在当
5、时气象条件下，- 7 -声波在水中的传播速度是 1.5 km/s.图 13(1)设 A到 P的距离为 x km，用 x表示 B， C到 P的距离，并求 x的值；(2)求静止目标 P到海防警戒线 a的距离(精确到 0.01 km). 【导学号：91432092】解 (1)由题意得 PA PB1.5812(km)，PC PB1.52030(km) PB x12， PC18 x.在 PAB中， AB20 km，cos PAB .PA2 AB2 PB22PAAB x2 202 x 12 22x20 3x 325x同理 cos PAC .72 x3xcos PABcos PAC， ，解得 x .3x 3
6、25x 72 x3x 1327(2)作 PD a于 D，在 Rt PDA中， PD PAcos APD PAcos PAB x 3x 325x17.71(km)31327 325所以静止目标 P到海防警戒线 a的距离为 17.71 km.与三角形有关的综合问题探究问题1如图 14所示，向量 与 的夹角是 B吗？在 ABC中，两向量 的数量积与余AB BC AB AC 弦定理有怎样的联系？- 8 -图 14提示：向量 与 的夹角是 B的补角，大小为 180 B，AB BC 由于 | | |cos A bccos A.AB AC AB AC 所以 bccos A (b2 c2 a2)，有时直接利用
7、此结论解决与向量数量积有关的解三AB AC 12角形问题2在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有什么利弊呢？提示：用余弦定理可以根据角的余弦值的符号直接判断是锐角还是钝角，但计算比较复杂用正弦定理计算相对比较简单，但仍要结合已知条件中边的大小来确定角的大小，所以一般选择用正弦定理去计算比较小的边所对的角，避免讨论在 ABC中，内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，且 ac，已知 2，cos BA BC B ， b3.求：13(1)a和 c的值；(2)cos(B C)的值. 【导学号：91432093】思路探究：(1)由平面向量的数量积定义及
8、余弦定理，列出关于 a， c的方程组即可求解(2)由(1)结合正弦定理分别求出 B， C的正、余弦值，利用差角余弦公式求解解 (1)由 2 得 cacos B2.BA BC 又 cos B ，所以 ac6.13由余弦定理，得 a2 c2 b22 accos B.又 b3，所以 a2 c2926 13.13解Error!得Error!或Error!因为 a c，所以 a3， c2.(2)在 ABC中，sin B ，1 cos2 B1 (13)2 223- 9 -由正弦定理，得 sin C sin B .cb 23 223 429因为 a b c，所以 C为锐角，因此 cos C .1 sin2
9、C1 (429)2 79于是 cos(B C)cos Bcos Csin Bsin C .13 79 223 429 2327母题探究：1.(变条件，变结论)将本例中的条件“ ac， 2，cos B ， b3”变BA BC 13为“已知 S ABC30 且 cos A ”求 的值1213 AB AC 解 在 ABC中，cos A ，1213 A为锐角且 sin A ，513 S ABC bcsin A bc 30.12 12 513 bc156. | | |cos AAB AC AB AC bccos A156 144.12132(变条件，变结论)在“母题探究 1”中再加上条件“ c b1”能否求 a的值？解 由余弦定理得 a2 b2 c22 bccos A( b c)22 bc(1cos A)12156 25， a 5.113 25规律方法 正、余弦定理将三角形中的边和角关系进行了量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值等问题.(1)解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解.(2)解三角形与其他知识的交汇问题，可以运用三角形的基础知识、正余弦定理、三角形面积公式与三角恒等变换，通过等价转化或构造方程及函数求解.
