1、1章末综合测评(三)数系的扩充与复数的引入(满分：150 分 时间：120 分钟)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的)1已知 z1120i，则 12i z 等于( )A z1 B z1C1018i D1018iC 12i z12i(1120i)1018i.2 ( ) 3 i1 i【导学号：31062239】A12i B12iC2i D2iD 2i.3 i1 i 3 i 1 i 1 i 1 i 3 3i i 123若复数 z 满足 i，其中 i 为虚数单位，则 z( )z1 iA1i B1iC1i D1iA 由已知得 i(1i)
2、i1，则 z1i，故选 A.z4若复数 z 满足 iz24i，则在复平面内， z 对应的点的坐标是( )A(2,4) B(2，4) C(4，2) D(4,2)C z 42i 对应的点的坐标是(4，2)，故选 C.2 4ii5若 a 为实数，且(2 ai)(a2i)4i，则 a( )A1 B0C1 D2B (2 ai)(a2i)4i，4 a( a24)i4i.Error! 解得 a0.故选 B.6 z1( m2 m1)( m2 m4)i， mR， z232i，则“ m1”是“ z1 z2”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件A 因为 z1 z2，所以Err
3、or!，解得 m1 或 m2，2所以 m1 是 z1 z2的充分不必要条件7设 z 的共轭复数是 ，若 z 4， z 8，则 等于( ) z z zzz【导学号：31062240】Ai BiC1 DiD 设 z x yi(x， yR)，则 x yi，由 z 4， z 8 得，z z zError!Error!Error!所以 i.zz x yix yi x2 y2 2xyix2 y28如图 1 在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是 12i，2i, 0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为( )图 1A3iB3iC13iD13iD 12i2i13i，所以 C 对应的复数为13i.O
4、C OA OB 9若复数 (bR)的实部与虚部互为相反数，则 b( )2 bi1 2iA B223C D223C 因为 i，又复数 (bR)的实部与2 bi1 2i 2 bi 1 2i5 2 2b5 4 b5 2 bi1 2i虚部互为相反数，所以 ，即 b .2 2b5 4 b5 2310设 zC，若 z2为纯虚数，则 z 在复平面上的对应点落在( ) 【导学号：31062241】A实轴上3B虚轴上C直线 y x(x0)上D以上都不对C 设 z x yi(x， yR)，则 z2( x yi)2 x2 y22 xyi. z2为纯虚数，Error! y x(x0)11已知 0a2，复数 z 的实部
5、为 a，虚部为 1，则| z|的取值范围是( )A(1,5) B(1,3)C(1， ) D(1， )5 3C 由已知，得| z| .a2 1由 0a2，得 0a24，1 a215.| z| (1， )故选 C.a2 1 512设 z1， z2为复数，则下列四个结论中正确的是( )A若 z z 0，则 z z21 2 21 2B| z1 z2| z1 z2 2 4z1z2C z z 0 z1 z2021 2D z1 是纯虚数或零zD 举例说明：若 z14i， z222i，则 z 158i， z 8i， z z 0，但21 2 21 2z 与 z 都是虚数，不能比较大小，故 A 错；因为| z1
6、z2|2不一定等于( z1 z2)2，故21 2|z1 z2|与 不一定相等，B 错；若 z12i， z212i，则 z1 z2 2 4z1z2z 34i， z 34i， z z 0，但 z1 z20 不成立，故 C 错；设21 2 21 2z1 a bi(a， bR)，则 1 a bi，故 z1 12 bi，当 b0 时是零，当 b0 时，是纯z z虚数故 D 正确二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在题中的横线上)13已知复数 z(52i) 2(i 为虚数单位)，则 z 的实部为_解析 复数 z(52i) 22120i，其实部是 21.答案 2114. a
7、 为正实数，i 为虚数单位， 2，则 a_.|a ii |解析 1 ai，a ii a i ii i则 |1 ai| 2，所以 a23.|a ii | a2 1又 a 为正实数，所以 a .3答案 3415设 a， bR， a bi (i 为虚数单位)，则 a b 的值为_. 11 7i1 2i【导学号：31062242】解析 a bi 53i，依据复数相等的11 7i1 2i 11 7i 1 2i 1 2i 1 2i 25 15i5充要条件可得 a5， b3.从而 a b8.答案 816若关于 x 的方程 x2(2i) x(2 m4)i0 有实数根，则纯虚数 m_.解析 设 m bi(bR
8、且 b0)，则 x2(2i) x(2 bi4)i0，化简得(x22 x2 b)( x4)i0，即Error! 解得Error! m4i.答案 4i三、解答题(本题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)设复数 zlg( m22 m2)( m23 m2)i，当 m 为何值时，(1)z 是实数？(2)z 是纯虚数？解 (1)要使复数 z 为实数，需满足Error!，解得 m2 或1.即当 m2 或1时， z 是实数(2)要使复数 z 为纯虚数，需满足Error!，解得 m3.即当 m3 时， z 是纯虚数18(本小题满分 12 分)已知
9、复数 z11i， z1z2 122i，求复数 z2. z【导学号：31062243】解 因为 z11i，所以 11i，z所以 z1z222i 122i(1i)1i.z设 z2 a bi(a， bR)，由 z1z21i，得(1i)( a bi)1i，所以( a b)( b a)i1i，所以Error! ，解得 a0， b1，所以 z2i.19(本小题满分 12 分)计算：(1) ； 2 2i 4 1 3i 5(2)(2i)(15i)(34i)2i.解 (1)原式16 1 i 4 1 3i 4 1 3i5 16 2i 2 2 23i 2 1 3i 644 1 3i 2 1 3i 16 1 3i 4
10、 1 i. 41 3i 3(2)原式(311i)(34i)2i5321i2i5323i.20(本小题满分 12 分)已知复数 z 满足| z|1，且(34i) z 是纯虚数，求 z 的共轭复数 .z解 设 z a bi(a， bR)，则 a bi 且| z| 1，即 a2 b21.z a2 b2因为(34i) z(34i)( a bi)(3 a4 b)(3 b4 a)i，而(34i) z 是纯虚数，所以 3a4 b0，且 3b4 a0.由联立，解得Error!或Error!所以 i，或 i.z45 35 z 45 3521(本小题满分 12 分)已知复数 z 满足| z| ， z2的虚部是 2
11、.2(1)求复数 z；(2)设 z， z2， z z2在复平面上的对应点分别为 A， B， C，求 ABC 的面积解 (1)设 z a bi(a， bR)，则z2 a2 b22 abi，由题意得 a2 b22 且 2ab2，解得 a b1 或 a b1，所以 z1i 或 z1i.(2)当 z1i 时， z22i， z z21i，所以 A(1,1)， B(0,2)， C(1，1)，所以 S ABC1.当 z1i 时， z22i， z z213i，所以 A(1，1)， B(0,2)， C(1，3)，所以 S ABC1.22(本小题满分 12 分)已知 z 为虚数， z 为实数9z 2(1)若 z2
12、 为纯虚数，求虚数 z；(2)求| z4|的取值范围. 【导学号：31062244】解 (1)设 z x yi(x， yR， y0)，则 z2 x2 yi，由 z2 为纯虚数得 x2，所以 z2 yi，则 z 2 yi9z 22 iR，得 y 0， y3，所以 z23i 或 z23i.9yi (y 9y) 9y6(2)因为 z x yi x iR，9z 2 9x yi 2 9 x 2 x 2 2 y2 y 9y x 2 2 y2所以 y 0，9y x 2 2 y2因为 y0，所以( x2) 2 y29，由( x2) 29 得 x(1,5)，所以| z4| x yi4| x 4 2 y2 x 4 2 9 x 2 2 (1,5)21 4x
