1、1课下层级训练(二十六) 平面向量的数量积及应用举例A级 基础强化训练1已知 (2,1)，点 C(1,0)， D(4,5)，则向量 在 方向上的投影为( )AB AB CD A B3 322 5C D3322 5C 因为点 C(1,0)， D(4,5)，所以 (5,5)，又 (2,1)，所以向量 在 方向CD AB AB CD 上的投影为| |cos ， .AB AB CD AB CD |CD | 1552 3222设向量 a， b满足| a b| ，| a b| ，则 ab( )10 6A1 B2C3 D5A 由条件可得，( a b)210，( a b)26，两式相减得 4ab4，所以 ab
2、1.3已知向量 a( ，1)， b(0,1)， c( k， )，若 a2 b与 c垂直，则 k( )3 3A3 B2C1 D1A 因为 a2 b与 c垂直，所以( a2 b)c0，即 ac2 bc0，所以k 2 0，解得 k 3.3 3 34已知平面向量 a(1,2)， b(4,2)， c ma b(mR)，且 c与 a的夹角等于 c与b的夹角，则 m( )A2 B1C1 D2D a(1,2)， b(4,2)， c ma b( m4,2 m2)，|a| ，| b|2 ， ac5 m8， bc8 m20. c与 a的夹角等于 c与 b的夹角，5 5 ， ，解得 m2.ca|c|a| cb|c|b
3、| 5m 85 8m 20255已知 F1， F2分别为椭圆 C： 1 的左、右焦点，点 E是椭圆 C上的动点，则x29 y28 的最大值、最小值分别为( )EF1 EF2 A9,7 B8,7C9,8 D17,82B 由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为 F1(1,0)， F2(1,0)，设 E(x， y)(3 x3)，则 (1 x， y)， (1 x， y)，所EF1 EF2 以 x21 y2 x218 x2 7，所以当 x0 时， 有最小值 7，EF1 EF2 89 x29 EF1 EF2 当 x3 时， 有最大值 8.EF1 EF2 6(2016全国卷)设向量 a( m,1)， b(1,
4、2)，且| a b|2| a|2| b|2，则m_.2 | a b|2| a|2| b|22 ab| a|2| b|2， ab0. 又 a( m,1)，b(1,2)， m20， m2.7(2018安徽合肥检测)若非零向量 a， b满足| a|1，| b|2，且( a b)(3 a b)，则 a与 b夹角的余弦值为_.由( a b)(3 a b)可得( a b)(3a b)0，又| a|1，| b|2，则可得14ab ，设 a， b的夹角为 ， 0，则 cos .12 ab|a|b| 148已知在直角三角形 ABC中， ACB90， AC BC2，点 P是斜边 AB上的中点，则 _.CP CB
5、CP CA 4 由题意可建立如图所示的坐标系可得 A(2,0)， B(0,2)， P(1,1)， C(0,0)，则 (1,1)(0,2)CP CB CP CA (1,1)(2,0)224.9已知| a|4，| b|8， a与 b的夹角是 120.(1)计算：| a b|，|4 a2 b|；(2)当 k为何值时，( a2 b)( ka b)解 由已知得， ab48 16.(12)(1)| a b|2 a22 ab b2162(16)6448，| a b|4 .3|4 a2 b|216 a216 ab4 b2161616(16)464768，|4 a2 b|16 .33(2)( a2 b)( ka
6、 b)，( a2 b)(ka b)0， ka2(2 k1) ab2 b20，即 16k16(2 k1)2640， k7.即 k7 时， a2 b与 ka b垂直10已知向量 a(cos x，sin x)， b(3， )， x0，3(1)若 a b，求 x的值；(2)记 f(x) ab，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x的值解 (1)因为 a(cos x，sin x)， b(3， )， a b，3所以 cos x3sin x.3若 cos x0，则 sin x0，与 sin2xcos 2x1 矛盾，故 cos x0.于是 tan x .33又 x0，所以 x .56(2)f(x) ab(
7、cos x，sin x)(3， )33cos x sin x2 cos .3 3 (x6)因为 x0，所以 x ，6 6， 76从而1cos ，(x6) 32于是，当 x ，即 x0 时， f(x)取得最大值 3；6 6当 x ，即 x 时， f(x)取得最小值2 .6 56 3B级 能力提升训练11设 a， b为单位向量，且 a b，若向量 c满足| c( a b)| a b|，则| c|的最大值是( )A2 B22C D12A 由题意结合 a b，可设 a(1,0)， b(0,1)， c( x， y)，则由| c( a b)| a b|，得|( x， y)(1,1)|(1，1)|，由此可得
8、( x1) 2( y1) 22，即 c对应的点的轨迹在以(1,1)为圆心的圆上，如图所示4圆过原点，| c|的最大值为圆的直径 2 .212(2017全国卷)在矩形 ABCD中， AB1， AD2，动点 P在以点 C为圆心且与BD相切的圆上若 ，则 的最大值为( )AP AB AD A3 B2 2C D25A 建立如图所示的直角坐标系，则 C点坐标为(2,1)设 BD与圆 C切于点 E，连接 CE，则 CE BD CD1， BC2， BD ，12 22 5EC ，BCCDBD 25 255即圆 C的半径为 ，255 P点的轨迹方程为( x2) 2( y1) 2 .45设 P(x0， y0)，则
9、Error!( 为参数)，而 ( x0， y0)， (0,1)， (2,0)AP AB AD (0,1) (2,0)(2 ， )，AP AB AD x01 cos ， y01 sin .12 55 255两式相加，得 1 sin 1 cos 2sin( )3255 55，(其 中 sin 55， cos 255)当且仅当 2 k ， kZ 时， 取得最大值 3.213已知| a|2| b|，| b|0，且关于 x的方程 x2| a|x ab0 有两相等实根，则5向量 a与 b的夹角是_.由已知可得 | a|24 ab0，23即 4|b|242| b|2cos 0，cos .12又 0， .23
10、14已知向量 a ， a b， a b，若 OAB是以 O为直角顶点的等(12， 32) OA OB 腰直角三角形，则 OAB的面积为_.1 由题意得，| a|1，又 OAB是以 O为直角顶点的等腰直角三角形，所以 ，| | |.OA OB OA OB 由 ，得( a b)(a b)| a|2| b |20，OA OB 所以| a| b |1，由| | |，得| a b | a b |，OA OB 所以 ab0. 所以| a b|2| a|2| b |22，所以| | | ，故 S OAB 1.OB OA 2 12 2 215在 ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，且满足
11、( a c) c 2 BA BC CB .CA (1)求角 B的大小；(2)若| | ，求 ABC面积的最大值BA BC 6解 (1)由题意得( a c)cos B bcos C2根据正弦定理得( sin Asin C)cos Bsin Bcos C，2所以 sin Acos Bsin( C B)，2即 sin Acos Bsin A，因为 A(0，)，所以 sin A0，所以 cos B ，又222B(0，)，所以 B .4(2)因为| | ，所以| | ，BA BC 6 CA 6即 b ，根据余弦定理及基本不等式得 6 a2 c2 ac2 ac ac(2 )6 2 2 2ac(当且仅当 a
12、 c时取等号)，即 ac3(2 )，2故 ABC的面积 S acsin B ，12 32 126即 ABC的面积的最大值为 .32 3216已知平面上一定点 C(2,0)和直线 l x8， P为该平面上一动点，作 PQ l，垂足为 Q，且 0.(PC 12PQ ) (PC 12PQ )(1)求动点 P的轨迹方程；(2)若 EF为圆 N x2( y1) 21 的任意一条直径，求 的最值PE PF 解 (1)设 P(x， y)，则 Q(8， y)由 0，(PC 12PQ ) (PC 12PQ )得| |2 | |20，PC 14PQ 即(2 x)2( y)2 (8 x)20，化简得 1.14 x216 y212所以动点 P在椭圆上，其轨迹方程为 1.x216 y212(2)易知 ， ，PE PN NE PF PN NF 且 0，由题意知 N(0,1)，NE NF 所以 2 2( x)2(1 y)21PE PF PN NE 16 ( y1) 21 y22 y16(1y212) 13 (y3) 219.13因为2 y2 ，3 3所以当 y3 时， 取得最大值 19，PE PF 当 y2 时， 取得最小值 124 .3 PE PF 3综上， 的最大值为 19，最小值为 124 .PE PF 37
