1、- 1 -第 3 节 空间点、直线、平面之间的位置关系【选题明细表】知识点、方法 题号空间两直线位置关系 1,7,10,11,12平面基本性质及应用 2,3,4,9异面直线所成角 5,6,8,13基础巩固(建议用时:25 分钟)1.已知空间三条直线 l,m,n,若 l 与 m 异面,且 l 与 n 异面,则( D )(A)m 与 n 异面(B)m 与 n 相交(C)m 与 n 平行(D)m 与 n 异面、相交、平行均有可能解析:在如图所示的长方体中,m,n 1与 l 都异面,但是 mn 1,所以 A,B 错误;m,n 2与 l 都异面,且 m,n2也异面,所以 C 错误.2.下列命题中,真命题
2、的个数为( B )如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点,那么这两个平面重合;两条直线可以确定一个平面;空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内;若 M,M,=l,则 Ml.(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:根据公理 2,可判断是真命题;两条异面直线不能确定一个平面,故是假命题;在空间中,相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角),故是假命题;根据平面的性质可知是真命题.故选 B.3.以下四个命题中,- 2 -不共面的四点中,其中任意三点不共线;若点 A,B,C,D 共面,点 A,B,C,E 共面,则点 A,B,C,D,E 共面;若直线 a,b 共面,直线 a,c 共面,则直线
3、b,c 共面;依次首尾相接的四条线段必共面.正确命题的个数是( B )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:显然是正确的;中若 A,B,C 三点共线,则 A,B,C,D,E 五点不一定共面,不正确;中构造长方体(或正方体),如图所示,显然 b,c 异面,故不正确;中空间四边形中四条线段不共面,不正确,只有正确.故选 B.4.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S 分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是( D )解析: 在 A 图中分别连接 PS,QR,易证 PSQR,所以 P,Q,R,S 共面;在 C 图中分别连接 PQ,RS,易证 PQRS,所以 P,Q,R,S 共面;在 B 图中
4、过 P,Q,R,S 可作一正六边形,故四点共面;D 图中 PS 与 QR 为异面直线,所以四点不共面,故选 D.5.(2018南宁模拟)如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为( D )(A) (B)- 3 -(C) (D)解析:连接 BC1,易证 BC1AD 1,则A 1BC1即为异面直线 A1B 与 AD1所成的角.连接 A1C1,由AB=1,AA1=2,易得 A1C1= ,A1B=BC1= ,故 cosA 1BC1= = ,即异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为 .故选 D.6.
5、如图是三棱锥 D-ABC 的三视图,点 O 在三个视图中都是所在边的中点,则异面直线 DO 和 AB所成角的余弦值等于( A )(A) (B) (C) (D)解析:由题意得如图的直观图,从 A 出发的三条线段 AB,AC,AD 两两垂直且 AB=AC=2,AD=1,O 是 BC 中点,取 AC 中点 E,连接 DE,DO,OE,则 OE=1.又可知 AE=1,由于 OEAB,故DOE 或其补角即为所求两异面直线所成的角.在直角三角形 DAE 中,DE= ,由于 O 是中点,在直角三角形 ABC 中可以求得 AO= .在直角三角形 DAO 中可以求得 DO= ,又 EO=1,所以DOE 为直角三
6、角形,- 4 -cosDOE= = ,故所求余弦值为 ,故选 A.7.如图,平行六面体 ABCD A1B1C1D1中,既与 AB 共面又与 CC1共面的棱有 条. 解析:依题意,与 AB 和 CC1都相交的棱有 BC;与 AB 相交且与 CC1平行有棱 AA1,BB1;与 AB 平行且与 CC1相交的棱有 CD,C1D1.故符合条件的有5 条.答案:58.如图,已知圆柱的轴截面 ABB1A1是正方形,C 是圆柱下底面弧 AB 的中点,C 1是圆柱上底面弧A1B1的中点,那么异面直线 AC1与 BC 所成角的正切值为 . 解析:取圆柱下底面弧 AB 的另一中点 D,连接 C1D,AD,因为 C
7、是圆柱下底面弧 AB 的中点,所以 ADBC,所以直线 AC1与 AD 所成角等于异面直线 AC1与 BC 所成角.因为 C1是圆柱上底面弧 A1B1的中点,所以 C1D圆柱下底面,所以 C1DAD,因为圆柱的轴截面 ABB1A1是正方形,所以 C1D= AD,所以直线 AC1与 AD 所成角的正切值为 ,- 5 -所以异面直线 AC1与 BC 所成角的正切值为 .答案:能力提升(建议用时:25 分钟)9.如图,ABCD A1B1C1D1是长方体,O 是 B1D1的中点,直线 A1C 交平面 AB1D1于点 M,则下列结论正确的是( A )(A)A,M,O 三点共线 (B)A,M,O,A1不共
8、面(C)A,M,C,O 不共面 (D)B,B1,O,M 共面解析:连接 A1C1,AC,则 A1C1AC,所以 A1,C1,C,A 四点共面,所以 A1C平面 ACC1A1,因为 MA 1C,所以 M平面 ACC1A1,又 M平面 AB1D1,所以 M 在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上,同理 O 在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上,又 A 在平面 ACC1A1和平面 AB1D1的交线上.所以 A,M,O 三点共线.B,C 不正确,BB 1与 AO 异面,所以 D 不正确.故选 A.10.(2018广东佛山模拟)在三棱柱 ABC A1B1C1中,E,F 分别为棱 AA1
9、,CC1的中点,则在空间中与直线 A1B1,EF,BC 都相交的直线( D )(A)不存在 (B)有且只有两条(C)有且只有三条 (D)有无数条解析:在 EF 上任意取一点 M,直线 A1B1与 M 确定一个平面,这个平面与 BC 有且仅有 1 个交点 N,当 M的位置不同时确定不同的平面,从而与 BC 有不同的交点 N,而直线 MN 与 A1B1,EF,BC 分别有交点 P,M,N,如图,故有无数条直线与直线 A1B1,EF,BC 都相交.故选 D.11.如图所示,在空间四边形 ABCD 中,点 E,H 分别是边 AB,AD 的中点,点 F,G 分别是边 BC,CD- 6 -上的点,且 =
10、= ,则下列说法正确的是 (填序号). EF 与 GH 平行;EF 与 GH 异面;EF 与 GH 的交点 M 可能在直线 AC 上,也可能不在直线 AC 上;EF 与 GH 的交点 M 一定在直线 AC 上.解析:连接 EH,FG,如图所示.依题意,可得 EHBD,FGBD,故 EHFG,所以 E,F,G,H 共面.因为 EH= BD,FG= BD,故 EHFG,所以 EFGH 是梯形,EF 与 GH 必相交,设交点为 M.因为点 M 在 EF 上,故点 M 在平面 ACB 上.同理,点 M 在平面 ACD 上,所以点 M 是平面 ACB 与平面 ACD 的交点,又 AC 是这两个平面的交线
11、,所以点 M 一定在直线 AC 上.答案:12.设 a,b,c 是空间中的三条直线,下面给出四个命题:若 ab,bc,则 ac;若 ab,bc,则 ac;若 a 与 b 相交,b 与 c 相交,则 a 与 c 相交;- 7 -若 a平面 ,b平面 ,则 a,b 一定是异面直线.上述命题中正确的命题是 (写出所有正确命题的序号). 解析:由公理 4 知正确;当 ab,bc 时,a 与 c 可以相交、平行或异面,故错;当 a 与 b 相交,b 与 c 相交时,a 与 c 可以相交、平行,也可以异面,故错;a,b,并不能说明 a 与b“不同在任何一个平面内”,故错.答案:13.如图,在体积为 的正三
12、棱锥 A BCD 中,BD 长为 2 ,E 为棱 BC 的中点,求:(1)异面直线 AE 与 CD 所成角的余弦值;(2)正三棱锥 A BCD 的表面积.解:(1)过点 A 作 AO平面 BCD,垂足为 O,则 O 为BCD 的中心,由 223AO= ,得 AO=1.又在正三角形 BCD 中得 OE=1,所以 AE= .取 BD 中点 F,连接 AF,EF,故 EFCD,所以AEF 就是异面直线 AE 与 CD 所成的角.在AEF 中,AE=AF= ,EF= .所以 cosAEF= = .所以,异面直线 AE 与 CD 所成的角的余弦值为 .- 8 -(2)由 AE= 可得正三棱锥 A BCD 的侧面积为 S=3 BCAE= 2 =3 ,所以正三棱锥 A BCD 的表面积为S=3 + BC2=3 +3 .
