1、- 1 -课后限时集训(六十三) 坐标系(建议用时：60 分钟)A 组 基础达标1在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换Error!后，曲线 C： x2 y236 变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标解 设圆 x2 y236 上任一点为 P(x， y)，伸缩变换后对应的点的坐标为 P( x， y)，则Error!4 x 29 y 236， 1.x 29 y 24曲线 C 在伸缩变换后得椭圆 1，其焦点坐标为( ，0)x29 y24 52在极坐标系中，求直线 cos 1 与圆 4sin 的交点的极坐标( 6)解 cos 1 化为直角坐标方程为 x y2，( 6) 3即 y x2.3 4sin 可化为
2、x2 y24 y，把 y x2 代入 x2 y24 y，3得 4x28 x120，3即( x )20，3所以 x ， y1.3所以直线与圆的交点坐标为( ，1)，化为极坐标为 .3 (2， 6)3在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P ，圆心为直线 sin 与极轴的交(2， 4) ( 3) 32点，求圆 C 的极坐标方程解 在 sin 中，( 3) 32令 0，得 1，所以圆 C 的圆心坐标为(1,0)因为圆 C 经过点 P ，(2， 4)所以圆 C 的半径| PC| 1，于是圆 C 过极点，所以圆 C 2 2 12 212cos 4的极坐标方程为 2cos .4在直角坐标系 xOy 中，直线
3、l： y x，圆 C：Error!( 为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求直线 l 与圆 C 的极坐标方程；(2)设直线 l 与圆 C 的交点为 M， N，求 CMN 的面积- 2 -解 (1)将 C 的参数方程化为普通方程，得( x1) 2( y2) 21， x cos ， y sin ，直线 l 的极坐标方程为 ( R)， 4圆 C 的极坐标方程为 22 cos 4 sin 40.(2)将 代入 22 cos 4 sin 40，得 23 40，解得 4 2 12 ， 2 ，| MN| 1 2| ，2 2 2圆 C 的半径为 1， CMN 的面积为 1sin
4、 .12 2 4 125在极坐标系中，已知直线 l 的极坐标方程为 sin 1，圆 C 的圆心的极坐标是 C( 4)，圆的半径为 1.(1， 4)(1)求圆 C 的极坐标方程；(2)求直线 l 被圆 C 所截得的弦长解 (1)设 O 为极点， OD 为圆 C 的直径， A( ， )为圆 C 上的一个动点，则 AOD 或 AOD ， 4 4|OA| OD|cos 或| OA| OD|cos .( 4 ) ( 4)所以圆 C 的极坐标方程为 2cos .( 4)(2)由 sin 1，得 (sin cos )1，( 4) 22直线 l 的直角坐标方程为 x y 0，2又圆心 C 的直角坐标为 满足直
5、线 l 的方程，(22， 22)直线 l 过圆 C 的圆心，故直线被圆所截得的弦长为 2.6极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位，以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴已知曲线 C 的极坐标方程为 4cos ，直线 l 的参数方程为Error! (t 为参数，0 )，射线 ， ， 与曲线 C 交于极点 O 外的三点 A， B， C. 4 4(1)求证：| OB| OC| |OA|；2(2)当 时， B， C 两点在直线 l 上，求 m 与 的值12解 (1)证明：依题意，得| OA|4cos ，| OB|4cos ，| OC|4cos ，( 4) ( 4)则| OB| OC|4
6、cos 4cos( 4) ( 4)- 3 -4 cos |OA|.2 2(2)当 时， B， C 两点的极坐标分别为 ， ，化为直角坐标分别为12 (2， 3) (23， 6)B(1， )， C(3， )3 3直线 l 是过点( m,0)，倾斜角为 的直线，又经点 B， C 的直线方程为 y (x2)，所以3m2， .23B 组 能力提升1已知曲线 C1： x y 和 C2：Error!( 为参数)以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极3 3轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位(1)把曲线 C1和 C2的方程化为极坐标方程；(2)设 C1与 x， y 轴交于 M， N 两点，且线
7、段 MN 的中点为 P.若射线 OP 与 C1， C2交于 P， Q 两点，求 P， Q 两点间的距离解 (1)曲线 C1化为 cos sin .3 3 sin .( 6) 32曲线 C2化为 1，(*)x26 y22将 x cos ， y sin 代入(*)式得 cos2 sin2 1，即 2(cos2 3sin 2 )6. 26 22曲线 C2的极坐标方程为 2 .61 2sin2(2) M( ，0)， N(0,1)， P .3 (32， 12) OP 的极坐标方程为 ， 6把 代入 sin ，得 11， P . 6 ( 6) 32 (1， 6)把 代入 2 ，得 22， Q . 6 61
8、 2sin2 (2， 6)| PQ| 2 1|1，即 P， Q 两点间的距离为 1.2在平面直角坐标系中，曲线 C1的参数方程为Error!( 为参数)，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线 与曲线 3C2交于点 D .(2， 3)(1)求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点 A( 1， 0)， B ，若 A， B 都在曲线 C1上，求 ( 2， 0 2) 1 21- 4 -的值1 2解 (1) C1的参数方程为Error! C1的普通方程为 y21.x24由题意知曲线 C2的极坐标方程为 2 acos (a 为半径)，将 D 代入，得(2， 3)22 a ， a2，12圆 C2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为 2， C2的直角坐标方程为( x2) 2 y24.(2)曲线 C1的极坐标方程为 2sin2 1， 2cos24即 2 .44sin2 cos2 ，2144sin2 0 cos2 0 244sin2( 0 2) cos2( 0 2) .4sin2 0 4cos2 0 .1 21 1 2 4sin2 0 cos2 04 4cos2 0 sin2 04 54
