1、- 1 -课后限时集训(六十五) 不等式选讲(建议用时：60 分钟)A 组 基础达标1(2018全国卷)设函数 f(x)5| x a| x2|.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)0 的解集；(2)若 f(x)1，求 a 的取值范围解 (1)当 a1 时，f(x)Error!可得 f(x)0 的解集为 x|2 x3(2)f(x)1 等价于| x a| x2|4.而| x a| x2| a2|，且当 x2 时等号成立故 f(x)1 等价于| a2|4.由| a2|4 可得 a6 或 a2.所以 a 的取值范围是(，62，)2设函数 f(x)|2 x1| x2|.(1)解不等式 f(x)1；(2
2、)若存在 x ，使不等式 a23 a f(x)成立，求实数 a 的取值范围12， 2 12解 (1) f(x)|2 x1| x2|， f(x)Error!则 f(x)1Error!或Error!或Error!解得 x4 或 x2 或 x2.23综上，不等式 f(x)1 的解集为(，4) .(23， )(2)存在 x ，使不等式 a23 a f(x)成立 a23 a f(x)min， x ，12， 2 12 12 12， 2由(1)知， x 时， f(x)3 x1，12， 2当 x 时， f(x)取得最小值，且 f(x)min ，12 52则 a23 a ，解得 a1 或 a5，12 52实数
3、a 的取值范围为(，1)(5，)3已知 a， b， cR，且 2a2 b c8，求( a1) 2( b2) 2( c3) 2的最小值解 由柯西不等式得(441)( a1) 2( b2) 2( c3) 22( a1)2( b2) c3 2，- 2 -9( a1) 2( b2) 2( c3) 2(2 a2 b c1) 2.2 a2 b c8，( a1) 2( b2) 2( c3) 2 ，499当且仅当 c3 时等号成立，a 12 b 22( a1) 2( b2) 2( c3) 2的最小值是 .4994(2019长春质检)已知 a0， b0， a b2.(1)求证： a2 b22；(2)求证： 1
4、.2a 1b 22解 (1)根据重要不等式得： a2 b2 (a b)22.12(2) ，等号成立的条件为： ，2a 1b a b2 (2a 1b) 32 ba a2b 32 2 2 2 24 ba a2b故 1 .2a 1b 225(2019湖南师大月考)已知函数 f(x)Error! g(x) af(x)| x1|.(1)当 a0 时，若 g(x)| x2| b 对任意 x(0，)恒成立，求实数 b 的取值范围；(2)当 a1 时，求 g(x)的最大值；解 (1)当 a0 时， g(x)| x1|，| x1| x2| b b| x1| x2|.| x1| x2| x12 x|1， b1，
5、b1.(2)当 a1 时，g(x)Error!可知 g(x)在(0,1)上递增，在(1，)上递减， g(x)max g(1)1.B 组 能力提升1(2017全国卷)已知函数 f(x) x2 ax4， g(x)| x1| x1|.(1)当 a1 时，求不等式 f(x) g(x)的解集；(2)若不等式 f(x) g(x)的解集包含1,1，求 a 的取值范围解 (1)当 a1 时，不等式 f(x) g(x)等价于x2 x| x1| x1|40.- 3 -当 x1 时，式化为 x2 x40，从而 1 x . 1 172所以 f(x) g(x)的解集为Error!.(2)当 x1,1时， g(x)2，所
6、以 f(x) g(x)的解集包含1,1等价于当 x1,1时， f(x)2.又 f(x)在1,1的最小值必为 f(1)与 f(1)之一，所以 f(1)2 且 f(1)2，得1 a1.所以 a 的取值范围为1,12已知 a， b(0，)， a b1， x1， x2(0，)(1)求 的最小值；x1a x2b 2x1x2(2)求证：( ax1 bx2)(ax2 bx1) x1x2.解 (1)因为 a， b(0，)， a b1，x1， x2(0，)，所以 3 3 3x1a x2b 2x1x2 3x1ax2b2x1x2 32ab 3 2(a b2 )23 6，38当且仅当 且 a b，x1a x2b 2x
7、1x2即 a b ，且 x1 x21 时， 有最小值 6.12 x1a x2b 2x1x2(2)证明：法一：由 a， b(0，)， a b1，x1， x2(0，)，及柯西不等式可得：(ax1 bx2)(ax2 bx1)( )2( )2( )2( )2( ax1 bx2 ax2 bx1 ax1 ax2 )2 (a b )2 x1x2，当且仅当 ，即 x1 x2时取得等号bx2 bx1 x1x2 x1x2ax1ax2 bx2bx1所以( ax1 bx2)(ax2 bx1) x1x2.法二：因为 a， b(0，)， a b1， x1， x2(0，)，所以( ax1 bx2)(ax2 bx1) a2x1x2 abx abx b2x1x22 21 x1x2(a2 b2) ab(x x )2 21 x1x2(a2 b2) ab(2x1x2)- 4 - x1x2(a2 b22 ab) x1x2(a b)2 x1x2，当且仅当 x1 x2时，取得等号所以( ax1 bx2)(ax2 bx1) x1x2.
