1、- 1 -课后限时集训(三十七) 空间几何体的三视图和直观图、表面积与体积(建议用时：60 分钟)A 组 基础达标一、选择题1(2018合肥二模)在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F， G 分别为棱 CD， CC1， A1B1的中点，用过点 E， F， G 的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧视图为( )A B C DC 过点 E， F， G 截正方体的平面为如图所示的平面 EFKGHI，由图知位于截面以下部分的几何体的侧视图为 C 选项，故选 C.2(2019山西六校联考)如图，一个水平放置的圆柱形玻璃杯的底面半径为 9 cm，高为 36 cm.玻璃杯内水深为 33 c
2、m，将一个球放在杯口，球面恰好与水面接触，并且球面与杯口密闭如果不计玻璃杯的厚度，则球的表面积为( )A900 cm 2 B450 cm 2C800 cm 2 D400 cm 2A 由题意，知球嵌入玻璃杯的高度 h36333 cm.设球的半径为 R，则有R29 2( R3) 2，解得 R15 cm，所以该球的表面积 S4 R2900 cm 2，故选 A.- 2 -3 九章算术是我国古代数学名著，在九章算术中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马” 若某“阳马”的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为( )A1 B122 2
3、C2 D222 2C 由三视图可得该“阳马”的底面是边长为 1 的正方形，高为 1，则表面积为 12112 12 ，故选 C.12 12 2 24(2019福州模拟)已知圆锥的高为 3，底面半径为 ，若该圆锥的顶点与底面的圆3周都在同一个球面上，则这个球的体积等于( )A. B 83 323C16 D32B 设该圆锥的外接球的半径为 R，依题意得， R2(3 R)2( )2，解得 R2，所以3所求球的体积 V R3 2 3 ，故选 B43 43 3235(2019郑州模拟)已知点 P， A， B， C 是半径为 2 的球面上的点，PA PB PC2， ABC90，点 B 在 AC 上的射影为
4、D，则三棱锥 PABD 体积的最大值是( )A. B334 338C. D12 34B 设点 P 在平面 ABC 上的射影为 G，如图，由PA PB PC2， ABC90，知点 P 在平面 ABC 上的射影 G 为 ABC 的外心，即 AC 的中点设球的球心为 O，连接 PG，则 O在 PG 的延长线上连接 OB， BG，设 PG h，则 OG2 h，所以OB2 OG2 PB2 PG2，即 4(2 h)24 h2，解得 h1，则AG CG .3设 AD x，则 GD x AG x ， BG ，所以 BD ，所以3 3 BG2 GD2 x2 23x- 3 -S ABD ADBD .12 12 x
5、4 23x3令 f(x) x42 x3，3则 f( x)4 x36 x2.3由 f( x)0，得 x0 或 x ，易知当 x 时，函数 f(x)取得最大值 ，所以332 332 24316(S ABD)max .又 PG1，所以三棱锥 PABD 体积的最大值为 1 ，故12 934 938 13 938 338选 B二、填空题6有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)， ABC45， AB AD1， DC BC，则这块菜地的面积为_2 如图 1，在直观图中，过点 A 作 AE BC，垂足为 E.22图 1 图 2在 Rt ABE 中， AB1， ABE45
6、， BE .22而四边形 AECD 为矩形， AD1， EC AD1， BC BE EC 1.由此可还原原图22形如图 2.在原图形中， A D1， A B2， B C 1，且22A D B C， A B B C，这块菜地的面积S (A D B C) A B 22 .12 12 (1 1 22) 227.(2018江苏高考)如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体是43正八面体，其中正八面体的所有棱长都是 ，则该正八面体的体积2- 4 -为 ( )22 .13 2 438(2017全国卷)已知三棱锥 SABC 的所
7、有顶点都在球 O 的球面上， SC 是球 O 的直径若平面 SCA平面 SCB， SA AC， SB BC，三棱锥 SABC 的体积为 9，则球 O 的表面积为_36 如图，连接 OA， OB由 SA AC， SB BC， SC 为球 O 的直径，知 OA SC， OB SC.由平面 SCA平面 SCB，平面 SCA平面 SCB SC， OA SC，知OA平面 SCB设球 O 的半径为 r，则OA OB r， SC2 r，三棱锥 SABC 的体积V OA ，13 (12SCOB) r33即 9， r3， S 球表 4 r236.r33三、解答题9一个正三棱锥的底面边长为 6，侧棱长为 ，求这个
8、三棱锥的体积15解 正三棱锥 SABC 如图所示，设 H 为正三角形 ABC 的中心，连接 SH，则 SH 的长即为该正三棱锥的高连接 AH 并延长交 BC 于点 E，则 E 为 BC 的中点，且 AE BC. ABC 是边长为 6 的正三角形， AE 63 ，32 3 AH AE2 .23 3在 ABC 中， S ABC BCAE 63 9 .12 12 3 3在 Rt SHA 中， SA ， AH2 ，15 3 SH ，SA2 AH2 15 12 3 V 正三棱锥 S ABCSH 9 9.13 13 3 310一个几何体的三视图如图所示已知主视图是底边长为 1 的平行四边形，左视图是一个长
9、为 、宽为 1 的矩形，俯视图为两个边长为 1 的正方形拼成的矩形3- 5 -(1)求该几何体的体积 V；(2)求该几何体的表面积 S.解 (1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为 1 的正方形，高为 .3所以 V11 .3 3(2)由三视图可知，该平行六面体中， A1D平面 ABCD， CD平面 BCC1B1，所以 AA12，侧面 ABB1A1， CDD1C1均为矩形S2(111 12)62 .3 3B 组 能力提升1(2018北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A1 B2C3 D4C 将三视图还原为直观图，几何体是底面
10、为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示易知， BC AD， BC1， AD AB PA2， AB AD， PA平面 ABCD，故 PAD， PAB 为直角三角形， PA平面 ABCD， BC 平面 ABCD， PA BC，又BC AB，且 PA AB A， BC平面 PAB，又 PB 平面 PAB， BC PB， PBC 为直角三角形，容易求得 PC3， CD ， PD2 ，故 PCD 不是直角三角形，故选 C.5 22.(2019湖北联考)一个帐篷下部的形状是高为 2 m 的正六- 6 -棱柱，上部的形状是侧棱长为 3 m 的正六棱锥(如图所示)当帐篷的顶点 D 到底面中心 O1
11、的距离为_时，帐篷的体积最大m 设 DO1为 x 米，(2 x5)7则由题意可得正六棱锥底面边长为： m，9 x 2 2 5 4x x2于是底面正六边形的面积为 6 ( )2 (54 x x2)，34 5 4x x2 332所以帐篷的体积为 V(x) (54 x x2)2 (54 x x2)(x2)332 13 332 (54 x x2) (54 x x2)(x4) ，332 2 13 x 2 32所以 V( x) (213 x2)，可得当 2 x 时， V( x)0，则函数 V(x)递增；32 7当 x5 时， V( x)0，则函数 V(x)递减，所以当 x 时， V(x)取得最大值7 73
12、.如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AB1， BC2， BB13， ABC90，点 D 为侧棱 BB1上的动点，当 AD DC1最小时，三棱锥 DABC1的体积为_将直三棱柱 ABCA1B1C1的两侧面展开成矩形 ACC1A1，如图，13连接 AC1，交 BB1于 D，此时 AD DC1最小 AB1， BC2， BB13， ABC90，点 D 为侧棱BB1上的动点，当 AD DC1最小时， BD1，此时三棱锥 DABC1的体积为VDABC1 VC1ABD S ABDB1C113 ABBDB1C113 12 112 .13 12 134.(2019沈阳质检)在三棱柱 ABCA1B1C1中，
13、侧面AA1C1C底面 ABC， AA1 A1C AC AB BC2，且点 O 为AC 中点(1)证明： A1O平面 ABC；(2)求三棱锥 C1ABC 的体积解 (1)证明：因为 AA1 A1C，且 O 为 AC 的中点，- 7 -所以 A1O AC，又平面 AA1C1C平面 ABC，平面 AA1C1C平面 ABC AC，且 A1O 平面 AA1C1C， A1O平面 ABC.(2) A1C1 AC， A1C1 平面 ABC， AC 平面 ABC， A1C1平面 ABC，即 C1到平面 ABC 的距离等于 A1到平面 ABC 的距离由(1)知 A1O平面 ABC，且 A1O ，AA21 AO2 3 VC1ABC VA1ABC S ABCA1O 2 1.13 13 12 3 3
