1、- 1 -课后限时集训(三十四) 基本不等式(建议用时：60 分钟)A 组 基础达标一、选择题1 “x1”是“ x 2”的( )1xA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件A x 2 x0，所以“ x1”是“ x 2”的充分不必要条件，故选 A.1x 1x2已知 x0， y0，且 4x y xy，则 x y 的最小值为( )A8 B9 C12 D16B 由 4x y xy 得 1，则 x y( x y) 142 59，当且仅当4y 1x (4y 1x) 4xy yx 4 ，即 x3， y6 时取“” ，故选 B.4xy yx3已知 x0， y0，lg 2 xlg 8
2、 ylg 2，则 的最小值为( )1x 13yA2 B2 C4 D22 3C lg 2 xlg 8 ylg(2 x8y)lg 2 x3 ylg 2，2 x3 y2，即 x3 y1. x0， y0， (x3 y)2 22 4，1x 13y (1x 13y) 3yx x3y 3yxx3y当且仅当 x3 y 时等号成立12 的最小值为 4.故选 C.1x 13y4设 a1， b1，且 ab( a b)1，那么( )A a b 有最小值 2( 1)2B a b 有最大值( 1) 22C ab 有最大值 12D ab 有最小值 2( 1)2A 因为 ab( a b)1， ab 2，(a b2 )所以2(
3、 a b)1，它是关于 a b 的一元二次不等式，(a b2 )解得 a b2( 1)或 a b2(1 )(舍去)，2 2所以 a b 有最小值 2( 1)2又因为 ab( a b)1， a b2 ，ab- 2 -所以 ab2 1，它是关于 的一元二次不等式，ab ab解得 1 或 1 (舍去)，ab 2 ab 2所以 ab32 ，即 ab 有最小值 32 .2 25已知关于 x 的不等式 x24 ax3 a20( a0)的解集为( x1， x2)，则 x1 x2 的最大ax1x2值是( )A. B. C. D63 233 433 433D 不等式 x24 ax3 a20( a0)的解集为(
4、x1， x2)，在方程 x24 ax3 a20 中，由根与系数的关系知 x1x23 a2， x1 x24 a，则x1 x2 4 a . a0， 2 ，即 4a ，故ax1x2 13a (4a 13a) 4a13a 433 13a 433x1 x2 的最大值为 .故选 Dax1x2 433二、填空题6若对任意 x0， a 恒成立，则 a 的取值范围是_xx2 3x 1对任意 x0， a 恒成立，15， ) xx2 3x 1对 x(0，)， a max，(xx2 3x 1)而对 x(0，)， ，xx2 3x 1 1x 1x 3 12x1x 3 15当且仅当 x 时等号成立， a .1x 157(2
5、019石家庄模拟)已知正数 a， b 满足 4a b30，使得 取最小值的实数对( a， b)1a 4b是_正数 a， b 满足 4a b30，(154， 15) (4a b) ，1a 4b 130 (1a 4b) 130(8 ba 16ab) 130 (8 2ba16ab) 815当且仅当 b4 a15 时，取等号使得 取最小值的实数对( a， b)是 .1a 4b (154， 15)8某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是_30 一年的总运费为 6 (万元)600x 3
6、 600x一年的总存储费用为 4x 万元- 3 -总运费与总存储费用的和为 万元(3 600x 4x)因为 4 x2 240，当且仅当 4 x，即 x30 时取得等号，3 600x 3 600x 4x 3 600x所以当 x30 时，一年的总运费与总存储费用之和最小三、解答题9已知 x0， y0，且 2x5 y20.(1)求 ulg xlg y 的最大值；(2)求 的最小值1x 1y解 (1)因为 x0， y0，所以由基本不等式，得 2x5 y202 .10xy即 xy10，当且仅当 2x5 y 时等号成立，此时 x5， y2，所以 ulg xlg ylg( xy)lg 101.所以当 x5，
7、 y2 时， ulg xlg y 有最大值 1.(2)因为 x0， y0，所以 1x 1y (1x 1y) 2x 5y20 120(7 5yx 2xy) 120(7 25yx2xy)，当且仅当 时等号成立7 21020 5yx 2xy所以 的最小值为 .1x 1y 7 2102010某厂家拟在 2019 年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量) x 万件与年促销费用 m 万元( m0)满足 x3 (k 为常数)，如果不搞促销活动，km 1则该产品的年销售量只能是 1 万件已知生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产一万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品
8、的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将 2019 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数；(2)该厂家 2019 年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解 (1)由题意知，当 m0 时， x1(万件)，则 13 k，解得 k2， x3 .2m 1每件产品的销售价格为 1.5 (元)，8 16xx2018 年的利润 y1.5 x 816 x m 29( m0)8 16xx 16m 1 m 1 (2)当 m0 时， m10， ( m1)2 8，当且仅当 m3 时等号成立16m 1 16 y82921，当且仅当 m1，
9、即 m3 万元时， ymax21(万元)16m 1- 4 -故该厂家 2019 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大为 21 万元B 组 能力提升1若 x ，则 f(x) 4 x( )12 12x 1A有最小值 22 B有最大值 222 2C有最小值 22 D有最大值 222 2D 由题可知， f(x) 2(2 x1)2，因为 x ，所以 2x10.12x 1 12所以 2(2 x1)2(12 x) 2 2 ，12x 1 11 2x 2 1 2x 11 2x 2当且仅当 2(2 x1)，即 x 时等号成立12x 1 2 24所以 f(x)22 ，即 f(x)有最大值 22 .2 22(
10、2019西安模拟)若 ABC 的内角满足 sin A sin B2sin C，则 cos C 的最小值是( )2A. B.6 24 6 24C. D.6 22 6 22A 由正弦定理，得 a b2 c.2所以 cos Ca2 b2 c22ab a2 b2 (a 2b2 )22ab 3a2 2b2 22ab8ab .26ab 22ab8ab 6 24当且仅当 3a22 b2，即 a b 时，等号成立3 2所以 cos C 的最小值为 .6 243(2018天津高考)已知 a， bR，且 a3 b60，则 2a 的最小值为_18b a3 b6，2 a 2 a2 3 b14 18b2 2 2 22
11、3 ，2a2 3b 2a 3b 2 614当且仅当Error!即 a3， b1 时等号成立4(2019成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为 4 千米时，运费为 20 万元，仓储费为 5 万元，当工厂和仓库之间的距离为多少千米时，运费与仓储费之和最小，最小为多少万元？解 设工厂和仓库之间的距离为 x 千米，运费为 y1万元，仓储费为 y2万元，则- 5 -y1 k1x(k10)， y2 (k20)，k2x工厂和仓库之间的距离为 4 千米时，运费为 20 万元，仓储费用为 5 万元， k15， k220，运费与仓储费之和为 万元，(5x20x)5 x 2 20，当且仅当 5x ，即 x2 时，运费与仓储费之和最小，为 2020x 5x20x 20x万元
