1、- 1 -第七节 函数的图像考纲传真 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质，并运用函数的图像解简单的方程(不等式)问题1利用描点法作函数的图像方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；(4)描点连线2利用图像变换法作函数的图像(1)平移变换(2)对称变换 y f(x)的图像 y f(x)的图像； 关 于 x轴 对 称 y f(x)的图像 y f( x)的图像； 关 于 y轴 对 称 y f(x)的图像 y f( x)的图像； 关 于
2、 原 点 对 称 y ax(a0 且 a1)的图像 ylog ax(a0 且 a1)的图像 关 于 直 线 y x对 称 (3)伸缩变换- 2 -常用结论1关于对称的三个重要结论(1)函数 y f(x)与 y f(2a x)的图像关于直线 x a 对称(2)函数 y f(x)与 y2 b f(2a x)的图像关于点( a， b)中心对称(3)若函数 y f(x)的定义域内任意自变量 x 满足： f(a x) f(a x)，则函数 y f(x)的图像关于直线 x a 对称2函数图像平移变换八字方针(1)“左加右减” ，要注意加减指的是自变量(2)“上加下减” ，要注意加减指的是函数值基础自测1(
3、思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)函数 y f(1 x)的图像，可由 y f( x)的图像向左平移 1 个单位得到 ( )(2)函数 y f(x)的图像关于 y 轴对称即函数 y f(x)与 y f( x)的图像关于 y 轴对称 ( )(3)当 x(0，)时，函数 y f(|x|)的图像与 y| f(x)|的图像相同 ( )(4)若函数 y f(x)满足 f(1 x) f(1 x)，则函数 f(x)的图像关于直线 x1 对称 ( )答案 (1) (2) (3) (4)2(教材改编)函数 f(x) x 的图像关于( )1xA y 轴对称 B直线 y x 对称C坐标
4、原点对称 D直线 y x 对称C f(x) x 是奇函数，图像关于原点对称1x- 3 -3函数 f(x)的图像向右平移 1 个单位长度，所得图像与曲线 ye x关于 y 轴对称，则 f(x)( )Ae x1 Be x1Ce x1 De x1D 依题意，与曲线 ye x关于 y 轴对称的曲线是 ye x，于是 f(x)相当于 ye x向左平移 1 个单位的结果， f(x)e ( x1) e x1 .4(教材改编)函数 f(x) x2 x的大致图像是( )(12)A BC DB f(0)10，故排除选项 D；又 f(2)0， f(4)0，故排除选项 A、C，故选 B.5若关于 x 的方程| x|
5、a x 只有一个解，则实数 a 的取值范围是_(0，) 在同一个坐标系中画出函数 y| x|与 y a x 的图像，如图所示由图像知当 a0 时，方程| x| a x 只有一个解作函数的图像【例 1】 作出下列函数的图像：(1)y |x|；(2) y|log 2(x1)|；(12)(3)y ；(4) y x22| x|1.2x 1x 1解 (1)先作出 yx的图像，保留 yx图像中 x0 的部分，再作出 yx的图像中(12) (12) (12)x0 部分关于 y 轴的对称部分，即得 y|x|的图像，如图实线部分(12)- 4 - (2)将函数 ylog 2x 的图像向左平移一个单位，再将 x
6、轴下方的部分沿 x 轴翻折上去，即可得到函数 y|log 2(x1)|的图像，如图.(3) y 2 ，故函数图像可由 y 图像向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单2x 1x 1 1x 1 1x位得到，如图. (4) yError!且函数为偶函数，先用描点法作出0，)上的图像，再根据对称性作出(，0)上的图像，得图像如图.规律方法 函数图像的常用画法(1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图像的关键点，进而直接作出图像(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图像(3)图像变换法：若函数图像可由某个基本函数的
7、图像经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图像变换作出易错警示：注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响识图与辨图【例 2】 (1)(2018全国卷)函数 f(x) 的图像大致为( )ex e xx2A B- 5 -C D(2)已知定义在区间0,2上的函数 y f(x)的图像如图所示，则 y f(2 x)的图像为( )A BC D(1)B (2)B (1)当 x0 时，因为 exe x0，所以此时 f(x) 0，故排除ex e xx2A、D；又 f(1)e 2，故排除 C，选 B.1e(2)当 x0 时， f(2 x) f(2)1；当 x1 时， f(2 x) f(1)1.观察各
8、选项可知，应选 B.规律方法 函数图像的辨识可从以下方面入手：1 从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置；2 从函数的单调性，判断图像的变化趋势；3 从函数的奇偶性，判断图像的对称性；4 从函数的周期性，判断图像的循环往复；5 从函数的特征点，排除不合要求的图像.(1)已知图 1 中的图像对应的函数为 y f(x)，则图 2 中的图像对应的函数为( )- 6 -图 1 图 2A y f(|x|) B y| f(x)|C y f(| x|) D y f(|x|)(2)如图，圆与两坐标轴分别切于 A， B 两点，圆上一动点 P 从 A 开始沿圆周按逆时针方向匀速旋转回
9、到 A 点，则与 OBP 的面积随时间变化的图像相符合的是( )A B C D(1)C (2)A (1)由题图知，图 2 中的图像对应的函数为 y f(| x|)，故选 C.(2)当 P 从 A 运动到 B 的过程中， OBP 的面积逐渐减小，在点 B 处， OBP 的面积为零，当P 从 B 运动到圆的最高点的过程中， OBP 的面积又逐渐增大，且当 P 位于圆的最高点时， OBP 的面积达到最大值，当 P 从最高点运动到 A 点的过程中， OBP 的面积又逐渐减小，故选 A.函数图像的应用考法 1 研究函数的性质【例 3】 设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 xR 恒有 f
10、(x1) f(x1)，已知当 x0,1时， f(x) 1 x，则：(12)2 是函数 f(x)的周期；函数 f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；函数 f(x)的最大值是 1，最小值是 0；当 x(3,4)时， f(x)x3.(12)其中所有正确命题的序号是_ 由已知条件得 f(x2) f(x)，则 y f(x)是以 2 为周期的周期函数，正确；当1 x0 时，0 x1， f(x) f( x)1 x，(12)函数 y f(x)的部分图像如图所示：- 7 -由图像知正确，不正确；当 3 x4 时，1 x40， f(x) f(x4)x3，因此正确故正确命题的序号为(12).考法 2 求参
11、数的取值范围【例 4】 (1)已知函数 f(x) x2e x (x0)与 g(x) x2ln( x a)的图像上存在关于 y12轴对称的点，则 a 的取值范围是( )A. B(， )( ， 1e) eC. D.( 1e， e) ( e， 1e)(2)已知函数 f(x)Error!若关于 x 的方程 f(x) k 有两个不等的实数根，则实数 k 的取值范围是_(1)B (2)(0,1 (1)由题意知，设 x0(，0)，使得f(x0) g( x0)，即 x ex0 ( x0)2ln( x0 a)，2012ex0ln( x0 a) 0.12令 y1e x ， y2ln( x a)，要使得函数图像的交
12、点 A 在 y 轴左侧，如图，则 ln 12a ln e ， ae .12 12 12 (2)作出函数 y f(x)与 y k 的图像，如图所示，由图可知 k(0,1规律方法 1 注意函数图像特征与性质的对应关系.2 方程、不等式的求解可转化为函数图像的交点和上下关系问题.(1)(2017全国卷)已知函数 f(x)ln xln(2 x)，则( )A f(x)在(0,2)递增- 8 -B f(x)在(0,2)递减C y f(x)的图像关于直线 x1 对称D y f(x)的图像关于点(1,0)对称(2)已知函数 f(x)ln x x2与 g(x)( x2) 2 m(mR)的图像上存在关于(1,0)
13、对12 2 x称的点，则实数 m 的取值范围是( )A(，1ln 2) B(，1ln 2C(1ln 2，) D1ln 2，)(1)C (2)D (1) f(x)的定义域为(0,2)f(x)ln xln(2 x)ln x(2 x)ln( x22 x)设 u x22 x， x(0,2)，则 u x22 x 在(0,1)上递增，在(1,2)上递减又 yln u 在其定义域上递增， f(x)ln( x22 x)在(0,1)上递增，在(1,2)上递减选项 A，B 错误 f(x)ln xln(2 x) f(2 x)， f(x)的图像关于直线 x1 对称，选项 C 正确 f(2 x) f(x)ln(2 x)
14、ln xln xln(2 x)2ln xln(2 x)，不恒为0， f(x)的图像不关于点(1,0)对称，选项 D 错误故选 C.(2) f(x)ln x x2与 g(x)( x2) 2 m(mR)的图像上存在关于(1,0)对称12 2 x的点， f(x) g(2 x)0 有解，ln x x2 x2 m， mln x 在(0，)内有12x 12x解 m ，2x 12x2函数在 内递减，在 内递增， mln 11ln 2.(0，12) (12， ) 121(2018全国卷)函数 y x4 x22 的图像大致为( )- 9 -A BC DD 当 x1 时， y2，排除 A，B.由 y4 x32 x
15、0，得 x0 或 x ，结合三次函22数的图像特征，知原函数在(1,1)上有三个极值点，所以排除 C，故选 D.2(2016全国卷)已知函数 f(x)(xR)满足 f( x)2 f(x)，若函数 y与 y f(x)图像的交点为( x1， y1)，( x2， y2)，( xm， ym)，则x 1x(xi yi)( )m i 1A0 B m C2 m D4 mB 因为 f( x)2 f(x)，所以 f( x) f(x)2.因为0， 1，所以函数 y f(x)的图像关于点(0,1)对称函数 y x x2 f x f x21 ，故其图像也关于点(0,1)对称所以函数 y 与 y f(x)图像的交点( x1， y1)，x 1x 1x x 1x(x2， y2)，( xm， ym)成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以xi0， yi2 m，所以 (xi yi) m.m i 1 m i 1 m2 m i 1
