1、- 1 -第五节 指数与指数函数考纲传真 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为 2,3,10， 的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型12 131根式的性质(1)( )n a.na(2)当 n 为奇数时， a.nan(3)当 n 为偶数时， | a|Error!nan(4)负数的偶次方根无意义(5)零的任何次方根都等于零2有理指数幂(1)分数指数幂正分数指数幂： a (a0， m， nN *，且 n1)；mnnam负分数指数幂： a (a0， m， n
2、N *，且 n1)； mn 1nam0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义(2)有理数指数幂的运算性质 aras ar s(a0， r， sQ)；( ar)s ars(a0， r， sQ)；( ab)r arbr(a0， b0， rQ)3指数函数的图象与性质a1 0 a1图象定义域 R值域 (0，)过定点(0,1)性质当 x0 时， y1； 当 x0 时，0 y1；- 2 -当 x0 时，0 y1 当 x0 时， y1在 R 上是增函数 在 R 上是减函数常用结论1指数函数图象的画法画指数函数 y ax(a0，且 a1)的图象，应抓住三个关键点：(1， a)，(0,1)， .(
3、 1，1a)2指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1) y ax，(2) y bx，(3) y cx，(4) y dx的图象，底数a， b， c， d 与 1 之间的大小关系为 c d1 a b0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数 y ax(a0， a1)的图象越高，底数越大3指数函数 y ax(a0， a1)的图象和性质跟 a 的取值有关，要特别注意应分 a1 与0 a1 来研究基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1) ( )n a.( )nan na(2)(1) (1) .( )2412 1(3)函数 y ax21 (a1)的值
4、域是(0，)( )(4)若 am an(a0 且 a1)，则 m n.( )答案 (1) (2) (3) (4)2函数 y ax1 2( a0，且 a1)的图象恒过点的坐标为( )A(2,2) B(2,4)C(1,2) D(1,3)D 令 x10 得 x1，此时 y123，故选 D.3设 a0.6 0.6， b0.6 1.5， c1.5 0.6，则 a， b， c 的大小关系是( )A a b c B a c bC b a c D b c aC y0.6 x在 R 上是减函数，又 0.61.5，0.6 0.60.6 1.5，又 y x0.6为 R 上的增函数，1.5 0.60.6 0.6，1.
5、5 0.60.6 0.60.6 1.5.即 c a b.4(教材改编)函数 f(x)2 1 x的大致图象为( )- 3 -A f(x)2 1 xx1，又 f(0)2， f(1)1，故排除 B，C，D，故选 A.(12)5(教材改编)计算： _.4a 原式 a b 4 a1b04 a.2 6 3 23 12 16 12 13 56 指数幂的运算1化简 (x0， y0)的正确结果是( )416x8y4A2 x2y B2 xyC4 x2y D2 x2yD x0， y0， 2 x2y，选 D.416x8y42计算02 2 (0.01) _.(235) (214) 12 12 原式1 1615 14 (
6、32) (1100)12 13 1 14 23 110 .16153. a b2 (3 a b1 )(4a b3 ) _.5613 12 23 12 ab 原式 2a b a b54b 13 32 12 12 a b a b .54 12 32 12 12 54b规律方法 指数幂运算的一般原则1 有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算.2 先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.- 4 -3 底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数.4 若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.指数函数的图象及应用【例 1】 (1)
7、函数 f(x) ax b的图象如图所示，其中 a， b 为常数，则下列结论正确的是( )A a1， b0B a1， b0C0 a1， b0D0 a1， b0(2)若曲线 y|2 x1|与直线 y b 有两个公共点，则 b 的取值范围为_(1)D (2)(0,1) 由 f(x) ax b的图象可以观察出，函数 f(x) ax b在定义域上单调递减，所以 0 a1，函数 f(x) ax b的图象是在 y ax的基础上向左平移得到的，所以 b0.(2)曲线 y|2 x1|与直线 y b 的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y|2 x1|与直线 y b 有两个公共点，则 b 的取值范围是(0,1)规律
8、方法 1 与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象.2 一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.(1)函数 f(x)1e |x|的图象大致是( )A B C D(2)已知实数 a， b 满足等式 2 018a2 019 b，下列五个关系式：0 b a； a b0；0 a b； b a0； a b.其中不可能成立的关系式有( )A1 个 B2 个C3 个 D4 个(1)A (2)B (1)易知 f(x)是偶函数，且 f(0)0，从而排除选项 B，C，D，故选 A.(2)作出 y2 018x及 y2 019x的
9、图象如图所示，由图可知 a b0， a b0 或 a b0时，有 2 018a2 019 b，故不可能成立，故选 B.- 5 -指数函数的性质及应用【例 2】 (1)下列各式比较大小正确的是( )A1.7 2.51.7 3 B0.6 1 0.6 2C0.8 0.1 1.25 0.2 D1.7 0.30.9 3.1(2)(2019承德模拟)若函数 f(x)x22 x3的值域是 ，则 f(x)的单调递增区间是(13) (0， 19_(3)已知函数 f(x) x，若 f(a)2，则 f( a)_.(12x 1 12)(1)B (2)(，1 (3)2 (1)A 中，因为函数 y1.7 x在 R 上是增
10、函数，2.53，所以 1.72.51.7 3.B 中，因为 y0.6 x在 R 上是减函数，12，所以 0.61 0.6 2.C 中，因为 0.81 1.25，所以问题转化为比较 1.250.1与 1.250.2的大小因为 y1.25 x在 R 上是增函数，0.10.2，所以 1.250.11.25 0.2，即 0.80.1 1.25 0.2.D 中，因为 1.70.31,00.9 3.11，所以 1.70.30.9 3.1.(2)令 g(x) ax22 x3，由于 f(x)的值域为 ，所以 g(x)的值域为2，)(0，19因此Error!解得 a1. g(x) x22 x3， f(x)x22
11、 x3，(13)由于 g(x)在(，1上是减函数，故 f(x)的单调递增区间为(，1(3)令 g(x) ，则 g( x) 12 12x 1 12 12 x 1 112 2x1 2x 12 2x 1 11 2x 12 11 2x g(x)，即 g(x)为奇函数，12 11 2x f(x) xg(x)为偶函数，又 f(a)2， f( a) f(a)2.规律方法 1 比较指数式的大小的方法是：能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.2 求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数
12、的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.- 6 -易错警示：在研究指数型函数的单调性时，当底数 a 与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.(1)如果函数 y a2x2 ax1( a0，且 a1)在区间1,1上的最大值是 14，那么 a 的值为( )A. B113C3 D. 或 313(2)当 x(，1时，不等式( m2 m)4x2 x0 恒成立，则实数 m 的取值范围是_(1)D (2)(1,2) (1)令 ax t，则 y t22 t1( t1) 22.当 a1 时，因为 x1,1，所以 t ，又函数 y( t1) 22 在 上单调递增，1a， a 1a， a所以 ymax( a1) 2214，解得 a3.当 0 a1 时，因为 x1,1，所以 t ，a，1a又函数 y( t1) 22 在 上单调递增，a，1a则 ymax2214，解得 a .(1a 1) 13综上知 a3 或 a .13(2)( m2 m)4x2 x0 在(，1上恒成立， m2 mx在(，1上恒成立(12)由于 f(x)x在(，1上是减函数，且 f(x)min12.(12) (12)故由 m2 m2 得1 m2.- 7 -
