1、- 1 -第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件考纲传真 1.理解命题的概念.2.了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义1命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题2四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系3充分条件与必要条件(1)若 pq，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件；(2)若 pq
2、，且 q p，则 p 是 q 的充分不必要条件；(3)若 p q 且 qp，则 p 是 q 的必要不充分条件；(4)若 pq，则 p 是 q 的充要条件；(5)若 p q 且 q p，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件常用结论1在四种形式的命题中，真命题的个数只能为 0,2,4.2 p 是 q 的充分不必要条件，等价于綈 q 是綈 p 的充分不必要条件其他情况依次类推3集合与充要条件：设 p， q 成立的对象构成的集合分别为 A， B， p 是 q 的充分不必要条件A B； p 是 q 的必要不充分条件 A B； p 是 q 的充要条件 A B.基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正
3、确的打“” ，错误的打“”)(1)“x22 x30”是命题( )(2)命题“若 p，则 q”的否命题是“若 p，则綈 q”( )(3)当 q 是 p 的必要条件时， p 是 q 的充分条件( )(4)“若 p 不成立，则 q 不成立”等价于“若 q 成立，则 p 成立” ( )- 2 -答案 (1) (2) (3) (4)2(教材改编)命题“若 ，则 sin ”的逆否命题是( ) 3 32A若 ，则 sin 3 32B若 ，则 sin 3 32C若 sin ，则 32 3D若 sin ，则 32 3C “若 p，则 q”的逆否命题是“若綈 q，则 綈 p”，显然綈 q：sin ，綈 p： 32
4、，所以该命题的逆否命题是“若 ，则 ” 3 sin 32 33 “x1”是“( x1)( x2)0”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件A 若 x1，则( x1)( x2)0 显然成立，但反之不一定成立，即若( x1)( x2)0，则 x1 或2.4(教材改编)下列命题是真命题的是( )A矩形的对角线相等B若 a b， c d，则 ac bdC若整数 a 是素数，则 a 是奇数D命题“若 x20, 则 x1”的逆否命题A 令 a c0， b d1，则 ac bd，故 B 错误；当 a2 时， a 是素数但不是奇数，故C 错误；取 x1，则 x20，但 x
5、1，故 D 错误5已知命题“若 x1，则 2x3 x”，则在它的逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是( )A0 B1C2 D3B 原命题“若 x1，则 2x3 x”，则它的逆命题：若 2x3 x，则 x1，若 x1 时也满足2x3 x，所以逆命题是假命题；否命题：若 x1，则 2x3 x，由逆命题与否命题真假性相同知，否命题是假命题；逆否命题：若 2x3 x，则 x1，为真命题故选 B.四种命题的关系及其真假的判断- 3 -1某食品的广告词为“幸福的人们都拥有” ，这句话的等价命题是( )A不拥有的人们会幸福 B幸福的人们不都拥有C拥有的人们不幸福 D不拥有的人们不幸福D 原命题与其逆
6、否命题等价，故选 D.2若命题 A 的逆命题为 B，命题 A 的否命题为 C，则 B 是 C 的( )A逆命题 B否命题C逆否命题 D都不对C 根据题意，设命题 A 为“若 p，则 q”，则命题 B 为“若 q，则 p”，命题 C 为“若綈 p，则綈 q”；显然， B 与 C 是互为逆否命题故选 C.3下列命题中的真命题是( )“若 x2 y20，则 x， y 不全为零”的否命题；“正多边形都相似”的逆命题；“若 m0，则 x2 x m0 有实根”的逆否命题；“若 x3 ，则 x 是无理数”的逆否命题12A BC DB “若 x2 y20，则 x， y 不全为零”的否命题为“若 x2 y20，
7、则 x， y 全为零” ，是真命题；“正多边形都相似”的逆命题是“相似的多边形是正多边形” ，为假命题；“若 m0，则 x2 x m0 有实根”是真命题，故其逆否命题也是真命题；“若x3 ，则 x 是无理数”是真命题，故其逆否命题也是真命题故选 B.12规律方法 1 写一个命题的其他三种命题时，需注意：对于不是“若 p，则 q”形式的命题，需先改写；若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.2 判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可.3 根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命
8、题的真假.充分条件、必要条件的判定【例 1】 (1)(2018天津高考)设 xR，则“ ”是“ x31”的( )|x12| 12A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件- 4 -D既不充分也不必要条件(2)(2019西安八校联考)在 ABC 中， “ 0”是“ ABC 是钝角三角形”的( )AB BC A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(1)A (2)A (1)由 得 0 x1，则 x31 成立；|x12| 12取 x1，则(1) 31，但 .故选 A.| 112| 32 12(2)由 0，得 0，即 cos B0，所以 B90， ABC 是钝角三角形；当A
9、B BC BA BC ABC 为钝角三角形时， B 不一定是钝角所以“ 0”是“ ABC 是钝角三角形”的充AB BC 分不必要条件，故选 A.规律方法 充分条件、必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据 pq， qp 进行判断，适用于定义、定理判断性问题(2)集合法：根据 p， q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，适用于命题中涉及字母的范围的推断问题(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题(1)(2019湘东五校联考)“不等式 x2 x m0 在 R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A m B
10、0 m114C m0 D m1(2)给定两个命题 p， q.若綈 p 是 q 的必要不充分条件，则 p 是綈 q 的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件(1)C (2)A (1)若不等式 x2 x m0 在 R 上恒成立，则 (1) 24 m0，解得m ，因此当不等式 x2 x m0 在 R 上恒成立时，必有 m0，但当 m0 时，不一定推出14不等式在 R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是 m0.(2)因为綈 p 是 q 的必要不充分条件，所以 q綈 p，但綈 p q，其等价于 p綈 q，但綈 qp，故选 A.充分条件、必要条件的应用【例 2】 已
11、知 P x|x28 x200，非空集合 S x|1 m x1 m若 x P 是 x S- 5 -的必要条件，则 m 的取值范围为_0,3 由 x28 x200 得2 x10， P x|2 x10，由 x P 是 x S 的必要条件，知 SP.则Error!0 m3.即所求 m 的取值范围是0,3母题探究 把本例中的“必要条件”改为“充分条件” ，求 m 的取值范围解 由 x P 是 x S 的充分条件，知 PS，则Error!解得 m9，即所求 m 的取值范围是9，)规律方法 根据充要条件求解参数范围的方法解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的
12、关系列出关于参数的不等式 组 求解.易错警示：求解参数范围时，要注意区间端点值的检验.(1)已知条件 p： x22 ax a210，条件 q： x2，且 q 是 p 的充分而不必要条件，则 a 的取值范围是( )A1，) B(，1C3，) D(，3(2)已知命题 p： x22 x30；命题 q： x a，且綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p，则 a的取值范围是( )A1，) B(，1C1，) D(，3(1)B (2)A (1)由 x22 ax a210 得( x a1)( x a1)0，解得 x a1 或x a1，故 p： x a1 或 x a1.又 q： x2，且 q 是 p 的充分而不必
13、要条件，所以a12，解得 a1，故选 B.(2)由 x22 x30，得 x3 或 x1，由綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p，可知綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，等价于 q 是 p 的充分不必要条件故 a1.故选 A.1(2017全国卷)设有下面四个命题p1：若复数 z 满足 R，则 zR；1zp2：若复数 z 满足 z2R，则 zR；p3：若复数 z1， z2满足 z1z2R，则 z1 2；zp4：若复数 zR，则 R.z其中的真命题为( )A p1， p3 B p1， p4- 6 -C p2， p3 D p2， p4B 设 z a bi(a， bR)， z1 a1 b1i(a1， b
14、1R)， z2 a2 b2i(a2， b2R)对于 p1，若 R，即 R，则 b0 z a bi aR，所以 p1为真命题1z 1a bi a bia2 b2对于 p2，若 z2R，即( a bi)2 a22 abi b2R，则 ab0.当 a0， b0 时， z a bi biR，所以 p2为假命题对于 p3，若 z1z2R，即( a1 b1i)(a2 b2i)( a1a2 b1b2)( a1b2 a2b1)iR，则a1b2 a2b10.而 z1 2，即 a1 b1i a2 b2ia1 a2， b1 b2.因为za1b2 a2b10 a1 a2， b1 b2，所以 p3为假命题对于 p4，若
15、 zR，即 a biR，则 b0 a bi aR，所以 p4为真命题故选 B.z2(2014全国卷)函数 f(x)在 x x0处导数存在若 p： f( x0)0； q： x x0是 f(x)的极值点，则( )A p 是 q 的充分必要条件B p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件C p 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件D p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件C 当 f( x0)0 时， x x0不一定是 f(x)的极值点，比如， y x3在 x0 时， f(0)0，但在 x0 的左右两侧 f( x)的符号相同，因而 x0不是 y x3的极值点由极值的定义知， x x0是 f(x)的极值点必有 f( x0)0.综上知， p 是 q 的必要条件，但不是充分条件
