1、1第 2 课时 函数最值的应用学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.会利用导数解决不等式问题及恒成立问题知识点一 生活中的优化问题1生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题2利用导数解决优化问题的实质是求函数最值3解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程知识点二 导数在不等式问题中的应用利用导数证明不等式及解决不等式恒成立问题的基本思路是转化为函数的最值问题加以解决1用导数解决实际问题的关键是建立函数模型( )2恒成立问题可以转化成函数的最值问题( )3用导数证明不等式可以通过构造函数，转化为函数大于等于 0 或小于
2、等于 0.( )题型一 几何中的最值问题例 1 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为 18 000 cm2，四周空白的宽度为 10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为 5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？考点 几何类型的优化问题题点 面积的最值问题2解 设广告的高和宽分别为 xcm， ycm，则每栏的高和宽分别为 x20， ，y 252其中 x20， y25.两栏的面积之和为 2(x20) 18000，y 252由此得 y 25.18000x 20广告的面积 S xy x 25 x，(18000
3、x 20 25) 18000xx 20 S 25 25.18000 x 20 x x 20 2 360000 x 20 2令 S0，得 x140，令 S0；(0，23a)当 x 时， V( x)0， f(x)为增函数故 x5 是函数 f(x)的极小值点，也是最小值点，对应的最小值为 f(5) 6570.80015 5故当隔热层修建厚度为 5cm 时，总费用 f(x)达到最小，最小值为 70 万元反思感悟 费用、用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答题型三 与最值有关的恒成立问题例 4 已知函数 f
4、(x) x3 ax2 bx c 在 x 与 x1 处都取得极值23(1)求 a， b 的值及函数 f(x)的单调区间(2)若对任意 x1,2，不等式 f(x)f(2)2 c，解得 c2.6故 c 的取值范围为(，1)(2，)反思感悟 解决恒成立问题，常用方法是转化为求函数的最值问题，通过分离参数，要使mf(x)恒成立，只需 mf(x)的最大值即可，同理，要使 m1 时， g( x)0，故 g(x)在(1，)上是增加的，所以 g(x)的最小值是 g(1)1.因此 a g(x)min g(1)1，故 a 的取值范围为(，1损耗最少问题典例 已知 A， B 两地相距 200 千米，一艘船从 A 地逆
5、水而行到 B 地，水速为 8 千米/时，船在静水中的速度为 v 千米/时(80)，则 y1 kv2.当 v12 时， y1720，720 k122，得 k5.设全程燃料费为 y 元，由题意，得 y y1 (80， y 为增函数7故当 v16 时， y 取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省若 v00， y x281(9 x)(9 x)，令 y0，解得 x9，当 x(0,9)时， y0，当 x(9，)时， y0，当 t(8,9)时， y0)256a2 210a令 S2 a 0，得 a8.210a2当 08 时， S0，故当 a8 时， S 最小，此时 h 4.28824要制作一个容积为 4m
6、3，高为 1m 的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是_元考点 函数类型的优化问题题点 利用导数解决费用最省问题答案 160解析 设底面长为 x，由题意得底面宽为 .4x设总造价为 y，则 y20 x 101 ，4x (2x 24x)即 y20 x 80，80xy20 ，令 y0，得 x2.80x2当 x2 时， ymin160(元)5函数 f(x) x33 x1，若对于区间3,2上的任意 x1， x2，都有| f(x1) f(x2)| t，则实数 t 的最小值是_考点 函数最值的应用题点 恒成立中参数的取值范围答案 20解析
7、由 f( x)3 x230，得 x1，则 f(x)min f(3)19， f(x)max f(1)1，由题意知| f(x1) f(x2)|max|191|20，9 t20，故 tmin20.1正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路另外需要特别注意(1)合理选择变量，正确给出函数表达式(2)与实际问题相联系(3)必要时注意分类讨论思想的应用2 “恒成立”问题可转化为函数最值问题.一、选择题1炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第 x 小时，原油温度(单位：)为 f(x) x3 x28(0 x5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )13A8 B.2
8、03C1 D8考点 函数类型的优化问题题点 有关函数类型的其他问题答案 C解析 原油温度的瞬时变化率 f( x) x22 x( x1) 21(0 x5)，所以当 x1 时，原油温度的瞬时变化率取得最小值1.2将 8 分为两个非负数之和，使其立方和最小，那么这两个数为( )A2,6 B4,4C3,5 D以上都不对考点 函数类型的优化问题题点 函数类型的其他问题答案 B解析 设一个数为 x，则另一个数为 8 x，其立方和为 y x3(8 x)3512192 x24 x2(0 x8)，则 y48 x192.令 y0，即 48x1920，解得 x4.10当 0 x0，所以当 x4 时， y 取得极小值
9、，也是最小值所以这两个数为 4,4.3若底面为等边三角形的直棱柱的体积为 V，则其表面积最小时底面边长为( )A. B.3V 32VC. D234V 3V考点 几何类型的优化问题题点 面积的最值问题答案 C解析 设底面边长为 x，则表面积 S x2 V(x0)32 43x S (x34 V)令 S0，得 x .3x2 34V可判断得当 x 时，直棱柱的表面积最小34V4用边长为 120cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转 90角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为( )A120000cm 3 B128000cm 3C150000cm 3 D158000cm
10、 3考点 几何类型的优化问题题点 几何体体积的最值问题答案 B解析 设水箱底边长为 xcm，则水箱高 h60 (cm)，x2水箱容积 V(x) x2h60 x2 (00)，每月库存货物的运费 y2 k2x(k20)，其k1x中 x 是仓库到车站的距离，于是由 2 ，得 k120；由 810 k2，得 k2 .k110 45因此两项费用之和为 y ， y .20x 4x5 20x2 45令 y0，得 x5( x5 舍去)，此点即为最小值点故当仓库建在离车站 5 千米处时，两项费用之和最小7某商场从生产厂家以每件 20 元的价格购进一批商品若该商品零售价定为 p，销售量为q，且销售量 q(单位：件
11、)与零售价 p(单位：元)有如下关系： q8300170 p p2，则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)( )A30 元 B60 元C28000 元 D23000 元考点 函数类型的优化问题题点 利用导数求解最大利润问题12答案 D解析 由题意知毛利润 w( p20)(8300170 p p2) p3150 p211700 p166000，w3 p2300 p11700，令 w0，得 p30 或 p130(舍)只有唯一一个极值点，且是极大值点，当 p30 时， wmax23000 元8已知函数 f(x) x42 x33 m， xR，若 f(x)90 恒成立，则 m 的取值范围是( )12A
12、 m B m32 32C m D m0；当 2 a 对实数 x1，)恒成立，则 a 的取值范围是_92答案 (312， )解析 设 f(x) x3 x2，92令 f( x)3 x29 x0，得 x0 或 x3.当1 x0；当 03 时， f( x)0，所以当 x3 时，f(x)取得极小值 f(3) ，272又 f(1) ，所以 f(x)的最小值为 ，112 272 272从而 f(x)min 2 a，272所以 a .312三、解答题12一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为 20km/h 时，每小时消耗的煤价值 40 元，其他费用每小时需 200 元，火车的最高速
13、度为 100 km/h，则火14车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？解 设速度为 xkm/h，甲、乙两城距离为 akm.则总费用 f(x)( kx3200) a .ax (kx2 200x)由已知条件，得 40 k203， k ，1200 f(x) a .(1200x2 200x)令 f( x) 0，a x3 20000100x2得 x10 .320当 00.320当 x10 时， f(x)有最小值，320即速度为 10 km/h 时，总费用最少32013已知函数 f(x) x3 ax2 bx c(a， b， cR)(1)若函数 f(x)在 x1 和 x3 处取得极值，试求 a，
14、b 的值；(2)在(1)的条件下，当 x2,6时， f(x)54；当 c B k92 92考点 函数最值的应用题点 恒成立中参数的取值范围答案 D解析 命题等价于当 x3,3时，( x2 k1)0 恒成立，(13x3 x2 4x 1)即 k x3 x2 x.16 12 32设 g(x) x3 x2 x，则16 12 32g( x) x2 x (3 x)(1 x)12 32 12由 g( x)0，得1 .92 92 92 9215.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为 立方米假设该容器的建造费用仅与643其表面
15、积有关已知圆柱体部分每平方米建造费用为 3 千元，半球体部分每平方米建造费用为 4 千元设该容器的总建造费用为 y 千元(1)将 y 表示成 r 的函数，并求该函数的定义域；(2)确定 r 和 l 为何值时，该容器的建造费用最少，并求出最少建造费用考点 函数类型的优化问题16题点 利用导数解决费用最省问题解 (1)因为容器的体积为 立方米，643所以 r2l ，解得 l .4 r33 643 643r2 4r3所以圆柱的侧面积为2 rl2 r ，(643r2 4r3) 1283r 8 r23两端两个半球的表面积之和为 4 r2，所以 y 34 r24(1283r 8 r23 ) 8 r2.128r又 l 0r0，得 2r2 ；43令 y0，得 0r2.所以当 r2 时，该容器的建造费用最少，为 96 千元，此时 l .8317
