1、1第 2 课时 等比数列前 n 项和的性质及应用学习目标 1.理解等比数列前 n 项和公式的函数特征.2.熟练应用等比数列前 n 项和公式的有关性质解题.知识点一 等比数列前 n 项和公式的函数特征当公比 q1 时,设 A ,等比数列的前 n 项和公式是 Sn A(qn1)即 Sn是 n 的指数a1q 1型函数当公比 q1 时,因为 a10,所以 Sn na1, Sn是 n 的正比例函数知识点二 等比数列前 n 项和的性质等比数列 an前 n 项和的三个常用性质(1)若数列 an为公比不为1 的等比数列, Sn为其前 n 项和,则 Sn, S2n Sn, S3n S2n仍构成等比数列(2)若
2、an是公比为 q 的等比数列,则 Sn m Sn qnSm(n, mN )(3)若 an是公比为 q 的等比数列, S 偶 , S 奇 分别是数列的偶数项和与奇数项和,则:在其前 2n 项中, q;S偶S奇 在 其 前 2n 1 项 中 , S 奇 S 偶 a1 a2 a3 a4 a2n a2n 1 (q 1)a1 a2n 1q1 q a1 a2n 21 q1等比数列 an的前 n 项和 Sn不可能等于 2n.( )2若 an的公比为 q,则 a2n的公比为 q2.( )3若 an的公比为 q,则 a1 a2 a3, a2 a3 a4, a3 a4 a5的公比也为 q.( )4等比数列 an是
3、递增数列,前 n 项和为 Sn.则 Sn也是递增数列( )题型一 等比数列前 n 项和公式的函数特征应用例 1 数列 an的前 n 项和 Sn3 n2( nN )求 an的通项公式解 当 n2 时, an Sn Sn1 (3 n2)(3 n-12)23 n-1.当 n1 时,a1 S13 121 不适合上式2 anError!反思感悟 ( 1)已 知 Sn, 通 过 an Error!求 通 项 an, 应 特 别 注 意 n 2 时 , an Sn Sn 1.(2)若数列 an的前 n 项和 Sn A(qn1),其中 A0, q0 且 q1,则 an是等比数列跟踪训练 1 若 an是等比数列
4、,且前 n 项和为 Sn3 n-1 t,则 t_.答案 13解析 显然 q1,此时应有 Sn A(qn1),又 Sn 3n t, t .13 13题型二 等比数列前 n 项和的性质命题角度 1 连续 n 项之和问题例 2 已知等比数列前 n 项,前 2n 项,前 3n 项的和分别为 Sn, S2n, S3n,求证:S S Sn(S2n S3n)2n 2n证明 方法一 设此等比数列的公比为 q,首项为 a1,当 q1 时, Sn na1, S2n2 na1, S3n3 na1, S S n2a 4 n2a 5 n2a ,2n 2n 21 21 21Sn(S2n S3n) na1(2na13 na
5、1)5 n2a ,21 S S Sn(S2n S3n)2n 2n当 q1 时, Sn (1 qn),a11 qS2n (1 q2n), S3n (1 q3n),a11 q a11 q S S 2(1 qn)2(1 q2n)22n 2n (a11 q) 2(1 qn)2(22 qn q2n)(a11 q)又 Sn(S2n S3n) 2(1 qn)(2 q2n q3n) 2(1 qn)2(22 qn q2n),(a11 q) (a11 q) S S Sn(S2n S3n)2n 2n方法二 根据等比数列的性质有S2n Sn qnSn Sn(1 qn), S3n Sn qnSn q2nSn, S S
6、S Sn(1 qn)2 S (22 qn q2n),2n 2n 2n 2nSn(S2n S3n) S (22 qn q2n)2n S S Sn(S2n S3n)2n 2n3反思感悟 处理等比数列前 n 项和有关问题的常用方法(1)运用等比数列的前 n 项和公式,要注意公比 q1 和 q1 两种情形,在解有关的方程(组)时,通常用约分或两式相除的方法进行消元(2)灵活运用等比数列前 n 项和的有关性质跟踪训练 2 在等比数列 an中,已知 Sn48, S2n60,求 S3n.解 因为 S2n2 Sn,所以 q1,由已知得Error! Error!得 1 qn ,即 qn . 54 14将代入得
7、64,a11 q所以 S3n 64 63.a1 1 q3n1 q (1 143)命题角度 2 不连续 n 项之和问题例 3 一个项数为偶数的等比数列,全部项之和为偶数项之和的 4 倍,前 3 项之积为 64,求该等比数列的通项公式解 设数列 an的首项为 a1,公比为 q,全部奇数项、偶数项之和分别记为 S 奇 , S 偶 ,由题意,知 S 奇 S 偶 4 S 偶 ,即 S 奇 3 S 偶 ,数列 an的项数为偶数, q .S偶S奇 13又 a1a1qa1q264, a q364,得 a112.31故所求通项公式为 an12 n-1, nN .(13)反思感悟 注意观察序号之间的联系,发现解题
8、契机;整体思想能使问题的解决过程变得简洁明快跟踪训练 3 设数列 an是以 2 为首项,1 为公差的等差数列;数列 bn是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,则 1236aabb _.答案 126解析 11 1nn naaaq, nab是首项为 b2,公比为 2 的等比数列 1236aaa 126.b2 1 261 24等比数列前 n 项和的分类表示典例 已知数列 an中, a11, a22, an2 3 an, nN .求 an的前 n 项和 Sn.解 由 an0,所以 3,于是数列 a2n1 是首项 a11,公比为 3 的等比数列;数列an 2ana2n是首项 a22,公比为 3 的等比
9、数列因此 a2n1 3 n1 , a2n23 n-1.于是 S2n a1 a2 a2n( a1 a3 a2n1 )( a2 a4 a2n)(133 n-1)2(133 n-1)3(133 n-1) ,3 3n 12从而 S2n1 S2n a2n 23 n1 (53n2 1)3 3n 12 32综上所述, Sn 2(5),31n是 奇 数 ,是 偶 数 .素养评析 数学中有不少概念表达式相当抽象只有在明晰运算对象的基础上,才能挖掘出两式的内在联系,理解运算法则本例中,涉及到很多对 n 的赋值,只有理解了an, a2n, S2n与 S2n1 之间的联系,才能顺利挖掘出 a2n是首项为 2,公比为
10、3 的等比数列,S2n1 S2n a2n等关系.1已知等比数列 an的公比为 2,且其前 5 项和为 1,那么 an的前 10 项和等于( )A31 B33C35 D37答案 B解析 设 an的公比为 q,由题意, q2, a1 a2 a3 a4 a51,则a6 a7 a8 a9 a10 q5(a1 a2 a3 a4 a5) q52 532, S1013233.2已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn x3n1 ,则 x 的值为( )16A. B13 13C. D12 12答案 C解析 方法一 Sn x3n-1 3n ,16 x3 165由 Sn A(qn1),得 , x ,故选 C.x3
11、16 12方法二 当 n1 时, a1 S1 x ;16当 n2 时, an Sn Sn1 2 x3n-2, an是等比数列, n1 时也应适合 an2 x3n-2,即 2x3-1 x ,解得 x .16 123已知等差数列 an的前 n 项和 Sn n2 bn c,等比数列 bn的前 n 项和 Tn3 n d,则向量 a( c, d)的模为( )A1 B. 2C. D无法确定3答案 A解析 由 等 差 数 列 与 等 比 数 列 的 前 n 项 和 公 式 知 , c 0, d 1, 所 以 向 量 a (c, d)的 模 为1.4设等比数列 an的前 n 项和为 Sn,若 q2, S100
12、36,则 a1 a3 a99等于( )A24B12C18D22答案 B解析 设 a1 a3 a99 S,则a2 a4 a1002 S. S10036,3 S36, S12, a1 a3 a5 a9912.5已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn, S41, S83,则 a9 a10 a11 a12等于( )A8B6C4D2答案 C解析 S4, S8 S4, S12 S8成等比数列即 1,2, a9 a10 a11 a12成等比数列 a9 a10 a11 a124.1在利用等比数列前 n 项和公式时,一定要对公比 q1 或 q1 作出判断;若 an是等比数列,且 an0,则lg an构成等差数
13、列2等比数列前 n 项和中用到的数学思想(1)分类讨论思想:利用等比数列前 n 项和公式时要分公比 q1 和 q1 两种情况讨论;研究等比数列的单调性时应进行讨论:当 a10, q1 或 a11 或a10,00 且 q1)常和指数函数相联系;等比a1q数列前 n 项和 Sn (qn1)( q1)设 A ,则 Sn A(qn1)与指数函数相联系a1q 1 a1q 1(3)整体思想:应用等比数列前 n 项和公式时,常把 qn, 当成整体求解;把奇数项、偶a11 q数项、连续若干项之和等整体处理一、选择题1等比数列 an中, a33 S22, a43 S32,则公比 q 等于( )A2B. C4D.
14、12 14答案 C解析 a33 S22, a43 S32, a4 a33( S3 S2)3 a3,即 a44 a3, q 4.a4a32设 an是公比为 q 的等比数列, Sn是它的前 n 项和,若 Sn是等差数列,则 q 等于( )A1B0C1 或 0D1答案 A解析 Sn Sn1 an(n2 且 nN ),又 Sn是等差数列, an为定值,即数列 an为常数列, q 1( n2 且 nN )anan 13设等比数列 an的前 n 项和为 Sn,已知 S38, S67,则 a7 a8 a9等于( )A. B C. D.18 18 578 558答案 A解析 因为 a7 a8 a9 S9 S6
15、,且 S3, S6 S3, S9 S6也成等比数列,即 8,1, S9 S6成等比数列,所以 8(S9 S6)1,即 S9 S6 ,所以 a7 a8 a9 .18 184设 Sn为等比数列 an的前 n 项和, a28 a50,则 的值为( )S8S4A. B2C. D1712 1716答案 C7解析 q3 , q .a5a2 18 12 1 1 q4 .S8S4 S4 S8 S4S4 S8 S4S4 17165正项等比数列 an的前 n 项和为 Sn, S3013 S10, S10 S30140,则 S20等于( )A90B70C40D30答案 C解析 由 S3013 S10,知 q1,由E
16、rror!得Error!由等比数列的前 n 项和的性质得 S10, S20 S10, S30 S20成等比数列,则( S20 S10)2 S10(S30 S20),即( S2010) 210(130 S20),解得 S2040 或 S2030(舍去),故选 C.6已知 Sn是等比数列 an的前 n 项和,若存在 mN ,满足 9, ,则数列S2mSm a2mam 5m 1m 1an的公比为( )A2B2C3D3答案 B解析 设公比为 q,若 q1,则 2,S2mSm与题中条件矛盾,故 q1. qm19, qm8.S2mSma1 1 q2m1 qa1 1 qm1 q qm8 ,a2mam a1q
17、2m 1a1qm 1 5m 1m 1 m3, q38, q2.7已知等比数列 an的前 10 项中,所有奇数项之和为 85 ,所有偶数项之和为 170 ,则14 12S a3 a6 a9 a12的值为( )A580B585C590D595答案 B解析 设等比数列 an的公比为 q,则由题意有Error!得Error! S a3 a6 a9 a12 a3(1 q3 q6 q9) a1q2 585.1 q121 q38设等比数列 an的前 n 项和为 Sn,若 3,则 等于( )S6S3 S9S6A2B. C. D373 83答案 B8解析 由题意知 q1,否则 23.S6S3 6a13a1 1
18、q33,S6S3a1 1 q61 qa1 1 q31 q q32. .S9S6a1 1 q91 qa1 1 q61 q 1 q91 q6 1 231 22 73二、填空题9若等比数列 an的前 5 项和 S510,前 10 项和 S1050,则它的前 15 项和S15_.答案 210解析 由等比数列前 n 项和的性质知 S5, S10 S5,S15 S10成等比数列,故( S10 S5)2 S5(S15 S10),即(5010) 210( S1550),解得 S15210.10已知数列 an的前 n 项和为 Sn,且 a11,若对任意 nN ,有 an1 Sn,则13Sn_.答案 n-1(43
19、)解析 由 an1 Sn,得 Sn1 Sn Sn,即 Sn1 Sn,则数列 Sn是以 S11 为首项,公比13 13 43q 为 的等比数列,所以 Sn S1qn-1 n-1.43 (43)11已知首项为 1 的等比数列 an是摆动数列, Sn是 an的前 n 项和,且 5,则数列S4S2的前 5 项和为_1an答案 1116解析 1 q25, q2.S4S2 S2 q2S2S2 an是摆动数列, q2. 的首项为 1,公比为 ,1an 129前 5 项和为 .11 ( 12)51 ( 12)1 13232 1116三、解答题12已知等差数列 an和等比数列 bn满足 a1 b11, a2 a
20、410, b2b4 a5.(1)求 an的通项公式;(2)求和: b1 b3 b5 b2n1 .解 (1)设等差数列 an公差为 d,因为 a2 a42 a310,所以 a3512 d,所以 d2,所以 an2 n1( nN )(2)设 bn的公比为 q, b2b4 a5qq39,所以 q23,所以 b2n1 是以 b11 为首项, q q23 为公比的等比数列,所以b1 b3 b5 b2n1 .1 1 3n1 3 3n 1213已知等比数列 an中, a12, a32 是 a2和 a4的等差中项(1)求数列 an的通项公式;(2)记 bn anlog2an,求数列 bn的前 n 项和 Sn.
21、解 (1)设数列 an的公比为 q,由题意知 2(a32) a2 a4, q32 q2 q20,即( q2)( q21)0. q2,即 an22 n-12 n, nN .(2)由题意得, bn n2n, Sn1222 232 3 n2n, 2Sn12 222 332 4( n1)2 n n2n+1, ,得 Sn2 12 22 32 42 n n2n+12( n1)2 n+1. Sn2( n1)2 n+1, nN .14等比数列 an中, a1 a33,前 n 项和为 Sn, S1, S3, S2成等差数列,则 Sn的最大值为_答案 4解析 设公比为 q,由Error!解得Error!10当 n
22、 为奇数时,Sn 4,83(1 12n) 83(1 12)当 n 为偶数时, Sn .83(1 12n)83综上, Sn的最大值为 4.15已知 Sn为数列 an的前 n 项和,且满足 Sn2 an n4.(1)证明: Sn n2为等比数列;(2)设数列 Sn的前 n 项和为 Tn,求 Tn.(1)证明 当 n1 时, S12 S114,故 S13,得 S1124.n2 时原式转化为 Sn2( Sn Sn1 ) n4,即 Sn2 Sn1 n4,所以 Sn n22 Sn1 ( n1)2,所以 Sn n2是首项为 4,公比为 2 的等比数列(2)解 由(1)知, Sn n22 n+1,所以 Sn2 n+1 n2,于是 Tn(2 22 32 n+1)(12 n)2 n 2 n .4 1 2n1 2 n n 12 2n+3 n2 3n 8211