1、1阶段训练三(范围：13)一、选择题1若抛物线 y2 x上一点 P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点 P的坐标为( )A. B.(14， 24) (18， 24)C. D.(14， 24) (18， 24)考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线方程答案 B解析 由题意知，点 P到焦点 F的距离等于它到顶点 O的距离，因此点 P在线段 OF的垂直平分线上，而 F ，所以点 P的横坐标为 ，代入抛物线方程得 y ，故点 P的坐标(14， 0) 18 24为 ，故选 B.(18， 24)2曲线 1( m0， b0)，则可令 F(c,0)， B(0， b)，直线x2a2 y2b2FB： bx cy b
2、c0 与渐近线 y x垂直，所以 1，即 b2 ac，所以ba bc bac2 a2 ac，即 e2 e10，所以 e 或 e (舍去)1 52 1 524一条直线过点 ，且与抛物线 y2 x交于 A， B两点若| AB|4，则弦 AB的中点到(14， 0)直线 x 0 的距离等于( )12A. B2C. D474 94考点 抛物线的焦点弦问题题点 与焦点弦有关的其他问题答案 C解析 抛物线方程为 y2 x，其焦点坐标为 ，准线方程为 x ，(14， 0) 14直线 AB过抛物线焦点，由抛物线的定义知，弦 AB的中点到直线 x 的距离为 2，14弦 AB的中点到直线 x 0 的距离等于 2 .
3、12 14 945已知抛物线 C的顶点为原点，焦点在 x轴上，直线 y x与抛物线 C交于 A， B两点，若P(2,2)为 AB的中点，则抛物线 C的方程为( )A y24 x B y24 xC x24 y D y28 x考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交弦中点问题答案 A解析 依题意可设抛物线方程为 y22 px(p0)，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 1，y2 y1x2 x1 P(2,2)为 AB的中点， y1 y24，由Error! 得( y2 y1)(y2 y1)2 p(x2 x1)，2 p( y2 y1) 4，抛物线 C的方程为 y24 x.y2 y
4、1x2 x136若双曲线与椭圆 1 有相同的焦点，它的一条渐近线方程为 y x，则双曲线的x216 y264方程为( )A y2 x296 B y2 x2160C y2 x280 D y2 x224考点 双曲线性质的应用题点 双曲线与椭圆结合的有关问题答案 D解析 设双曲线方程为 x2 y2 ( 0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，4 )，所以 |PF2|，由椭圆与双曲线的定义可得Error!所以| PF1|5 ，| PF2|5 .15 15在 PF1F2中，由余弦定理，得cos F1PF2|PF1|2 |PF2|2 |F1F2|22|PF1|PF2| ， 5 15 2 5 15
5、 2 822 5 15 5 15 45且 F1PF2是三角形的内角，于是 sin F1PF2 .35因此 PF1F2的面积 S |PF1|PF2|sin F1PF2 (5 )(5 ) 3.12 12 15 15 358一动圆与直线 x1 相切且始终过点(1,0)，动圆的圆心的轨迹为曲线 C，那么曲线 C上的一点到直线 x1 的距离与到直线 x y40 的距离和的最小值为( )A. B. C. D.2522 423 722考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求最值答案 B4解析 由题意知动圆的圆心轨迹为以 F(1,0)为焦点，直线 x1 为准线的抛物线，其方程为 y24 x，设抛物线上的一点 P
6、，点 P到直线 x1 的距离为 d1，到直线 x y40 的距离为 d2，由抛物线的定义知， d1| PF|，所以 d1 d2| PF| d2，|PF| d2的最小值为点 F到直线 x y40 的距离 .故选 B.|1 4|2 522二、填空题9双曲线 1( mn0)的离心率为 2，有一个焦点与抛物线 y24 x的焦点重合，则 mnx2m y2n的值为_考点 抛物线的简单性质题点 抛物线与其他曲线结合有关问题答案 316解析 抛物线 y24 x的焦点坐标为(1,0)，则双曲线的焦距为 2，则有Error!解得Error! mn .31610已知双曲线 1( a0， b0)的两条渐近线与抛物线
7、y22 px(p0)的准线分别交于x2a2 y2b2A， B两点， O为坐标原点若双曲线的离心率为 2， AOB的面积为 ，则 p_.3考点 抛物线的简单性质题点 抛物线与其他曲线结合有关问题答案 2解析 双曲线的离心率 e 2，ca a2 b2a解得 ，联立Error!得 y ，ba 3 bp2a所以 S OAB ，将 代入解得 p2.p2 bp2a 3 ba 311已知抛物线 y28 x，过动点 M(a,0)，且斜率为 1的直线 l与抛物线交于不同的两点A， B，若| AB|8，则实数 a的取值范围是_考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题答案 (2，1解析 将 l
8、的方程 y x a代入 y28 x，5得 x22( a4) x a20，则 4( a4) 24 a20， a2.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x22( a4)， x1x2 a2，| AB| 8，2 x1 x2 2 4x1x2 64 a 2即 1.a 2又 a2，2 a1.三、解答题12已知双曲线的一条渐近线为 x y0，且与椭圆 x24 y264 有相同的焦距，求双曲3线的标准方程解 椭圆方程为 1，可知椭圆的焦距为 8 .x264 y216 3当双曲线的焦点在 x轴上时，设双曲线方程为 1 ( a0， b0)，x2a2 y2b2Error! 解得Error!双曲线的
9、标准方程为 1.x236 y212当双曲线的焦点在 y轴上时，设双曲线方程为 1 ( a0， b0)，y2a2 x2b2Error! 解得Error!双曲线的标准方程为 1.y212 x236由可知，双曲线的标准方程为 1 或 1.x236 y212 y212 x23613斜率为 k的直线 l经过抛物线 y x2的焦点 F，且与抛物线相交于 A， B两点，若线段14AB的长为 8.(1)求抛物线的焦点 F的坐标和准线方程；(2)求直线的斜率 k.考点 抛物线的焦点弦问题题点 与焦点弦有关的其他问题解 (1)化 y x2为标准方程 x24 y，14由此，可知抛物线的焦点 F的坐标为(0,1)，准
10、线方程为 y1.6(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由抛物线的定义知| AF| y11，| BF| y21，于是| AB| y1 y22，又| AB|8，所以 y1 y26，由(1)得，抛物线的焦点为(0,1)，所以直线 l的方程为 y kx1，所以 kx11 kx216， k(x1 x2)4，由直线 l的方程与抛物线方程联立得 kx1 ，x24即 x24 kx40， 16 k2160，所以 x1 x24 k，代入 k(x1 x2)4，得 k21， k1.14若抛物线 y2 x上两点 A(x1， y1)， B(x2， y2)关于直线 y x b对称，且 y1y21，则实数 b
11、的值为( )A3B3C2D2考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题答案 D解析 由题意知， 1，y1 y2x1 x2 1，则 y1 y21，y1 y2y21 y2 y1y21， x1 x2 y y ( y1 y2)22 y1y23，21 2两点 A(x1， y1)， B(x2， y2)中点坐标为 ，代入 y x b，可得 b2.(32， 12)15.如图，已知 AOB的一个顶点为抛物线 y22 x的顶点 O， A， B两点都在抛物线上，且 AOB90，(1)证明：直线 AB必过一定点；(2)求 AOB面积的最小值考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他
12、问题7(1)证明 设 OA所在直线的方程为 y kx(k0)，则直线 OB的方程为 y x，1k由Error! 解得Error!或Error!即 A点的坐标为 .(2k2， 2k)同样由Error! 解得 B点的坐标为(2 k2，2 k)所以 AB所在直线的方程为 y2 k (x2 k2)，2k 2k2k2 2k2化简并整理，得 y x2.(1k k)不论实数 k取任何不等于 0的实数，当 x2 时，恒有 y0.故直线过定点 P(2,0)(2)解 由于 AB所在直线过定点 P(2,0)，所以可设 AB所在直线的方程为 x my2， A(x1， y1)， B(x2， y2)由Error! 消去 x并整理，得 y22 my40， 4 m2160.所以 y1 y22 m， y1y24.于是| y1 y2| y1 y2 2 y1 y2 2 4y1y2 4m2 162 .m2 4S AOB |OP|(|y1| y2|)12 |OP|y1 y2|12 22 2 .12 m2 4 m2 4所以当 m0 时， AOB的面积取得最小值 4.8
