1、1阶段训练二(范围：1)一、选择题1平面内一动点 M 到两定点 F1， F2的距离之和为常数 2a，则点 M 的轨迹为( )A椭圆 B圆C无轨迹 D椭圆或线段或无轨迹考点 椭圆的定义题点 由椭圆定义确定轨迹答案 D解析 当 2a|F1F2|时，点 M 的轨迹是椭圆，当 2a| F1F2|时，点 M 的轨迹是线段，当 2a5”是“方程 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆”x2m2 1 y23的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件考点 题点 答案 A解析 若方程 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 m213，所以 m24.x2m2 1 y23所以“ m25”是“方
2、程 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆”的充分不必要条件x2m2 1 y233已知 ABC 的三边 AB， BC， AC 的长依次成等差数列，且| AB|AC|， B(1,0)， C(1,0)，则顶点 A 的轨迹方程为( )A. 1 B. 1( x0)x24 y23 x24 y23C. 1( x0， y0)x24 y23 x24 y23考点 椭圆标准方程的求法题点 定义法求椭圆的标准方程答案 D2解析 由题意，得| BC|2，| AB| AC|2| BC|4| BC|，所以顶点 A 的轨迹为椭圆，且 a2， c1.又| AB|AC|，所以轨迹只取右半部分，即轨迹方程为 1( x0， y0)x24
3、y234(2018郑州模拟)已知椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点为 F1， F2，离心率为 ，x2a2 y2b2 23过 F2的直线 l 交 C 于 A， B 两点若 AF1B 的周长为 12，则 C 的标准方程为( )A. y21 B. 1x23 x23 y22C. 1 D. 1x29 y24 x29 y25考点 椭圆标准方程的求法题点 待定系数法求椭圆的标准方程答案 D解析 由椭圆定义易知 AF1B 的周长为 4a12，解得 a3. e ， c2，ca 23 b2 a2 c25，故椭圆 C 的标准方程为 1.x29 y255已知点 M( ，0)，椭圆 y21 与直线 y k(x )交
4、于点 A， B，则 ABM 的周长为( )3x24 3A4B8C12D16考点 题点 答案 B解析 直线 y k(x )过定点 N( ，0)，3 3而 M， N 恰为椭圆 y21 的两个焦点，x24由椭圆定义知 ABM 的周长为 4a428.6直线 y x 与椭圆 C： 1( ab0)交于 A， B 两点，以线段 AB 为直径的圆恰好3x2a2 y2b2经过椭圆的右焦点，则椭圆 C 的离心率为( )3A. B. C. 1D4232 3 12 3 3考点 题点 答案 C解析 以线段 AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，也必过椭圆的左焦点，以这两个焦点及 A， B 两点可作一个矩形，直线 y x
5、 的倾斜角为 120，所以矩形的宽是 c，长是3c，由椭圆定义知矩形的长宽之和等于 2a，即 c c2 a，所以 e 1.3 3ca 23 1 37若椭圆的中心为原点，一个焦点为(0,2)，直线 y3 x7 与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为 1，则这个椭圆的方程为( )A. 1 B. 1x212 y220 x24 y212C. 1 D. 1x212 y28 x28 y212考点 直线与椭圆的位置关系题点 中点弦问题答案 D解析 椭圆的中心为原点，一个焦点为(0,2)，则 a2 b24，可设椭圆的方程为 1，y2b2 4 x2b2由题意知，相交弦中点坐标为(2,1)，设直线 y3 x7 与椭圆的
6、交点分别为( x1， y1)，( x2， y2)，由中点坐标公式得Error!又 3，y1 y2x1 x2Error!得 0， y1 y2 y1 y2b2 4 x1 x2 x1 x2b2 0， y1 y2 y1 y2 b2 4 x1 x2 x1 x2b2 0， b28，23b2 4 4b2椭圆方程为 1.y212 x2848已知直线 l：2 x y2 与椭圆 C： x2 1 交于 A， B 两点， P 为椭圆 C 上的点，则使y24 PAB 的面积 S 为 的点 P 的个数为( )12A0B1C2D3考点 题点 答案 C解析 易求得| AB| ，5点 P 到直线 l 的距离 d ，1212|A
7、B| 55设过点 P 且平行于直线 l 的直线 l1的方程为 2x y c0，直线 l1和直线 l 的距离 d ，55 ，解得 c1 或 c3，|c 2|5 55当 c1 时，由Error!得 8x24 x30， (4) 24831120，有两解；当 c3 时，由Error!得 8x212 x50， (12) 248516b0)的离心率为 ，直线 y x 被椭x2a2 y2b2 32圆 C 截得的线段长为 ，则椭圆 C 的方程为_4105考点 直线与椭圆的位置关系题点 弦长问题答案 y21x24解析 由题意知 ，a2 b2a 32可得 a24 b2.椭圆 C 的方程可简化为 x24 y2 a2
8、.将 y x 代入可得 x ，5a5因此 ，可得 a2.225a5 4105因此 b1.所以椭圆 C 的方程为 y21.x24三、解答题12已知点 A， B 是椭圆 C： 1( ab0)与直线 x3 y20 的交点，点 M 是 AB 的中x2a2 y2b2点，且点 M 的横坐标为 .若椭圆 C 的焦距为 8，求椭圆 C 的方程12考点 椭圆简单性质的应用6题点 由椭圆的几何特征求方程解 由已知得 M ，(12， 12)由题意得点 A， B 的坐标满足Error! kAB0，2xMa2 2yMb2 0， a23 b2，1a2 1b2 13又 c4， a224， b28，经检验， a224， b2
9、8 符合题意，椭圆 C 的方程为 1.x224 y2813已知椭圆 1 及直线 l： y x m，x24 y29 32(1)当直线 l 与该椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围；(2)求直线 l 被此椭圆截得的弦长的最大值考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交时的其他问题解 (1)由Error!消去 y，并整理得 9x26 mx2 m2180. 36 m236(2 m218)36( m218)直线 l 与椭圆有公共点， 0，解得3 m3 .2 2故所求实数 m 的取值范围是3 ，3 2 2(2)设直线 l 与椭圆的交点为 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由得 x1 x2 ，
10、 x1x2 ，6m9 2m2 189故| AB| 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 1 (32)2 ( 6m9)2 42m2 189 ，133 m2 18当 m0 时，直线 l 被椭圆截得的弦长的最大值为 .2614已知椭圆 1，若此椭圆上存在不同的两点 A， B 关于直线 y4 x m 对称，则实x24 y23数 m 的取值范围是( )7A. B.(21313， 2213) ( 21313， 21313)C. D.(213， 21313) ( 2313， 2313)考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交时的其他问题答案 B解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， AB
11、 的中点为 M(x， y)，kAB ， x1 x22 x， y1 y22 y，y2 y1x2 x1 143x 4 y 12，21 213x 4 y 12，2 2，得 3(x x )4( y y )0，2 21 2 21即 y1 y23( x1 x2)，即 y3 x，与 y4 x m 联立得 x m， y3 m，而 M(x， y)在椭圆的内部，则 b0)的离心率为 ，左、右焦点分别是 F1， F2，点 P 为椭圆x2a2 y2b2 12C 上任意点，且 PF1F2面积的最大值为 .3(1)求椭圆 C 的方程；(2)过 F2作垂直于 x 轴的直线 l 交椭圆于 A， B 两点(点 A 在第一象限)
12、， M， N 是椭圆上位于直线 l 两侧的动点，若 MAB NAB，求证：直线 MN 的斜率为定值考点 题点 (1)解 椭圆的离心率为 ，即 ， ，12 ca 12 a2 b2a2 14 PF1F2面积的最大值为 ，即 2cb ，312 3 c2b23，( a2 b2)b23，联立，解得 a24， b23，椭圆 C 的方程为 1.x24 y23(2)证明 由已知可得 A ，(1，32)8设直线 MN 的方程为 y kx m，联立椭圆方程可得(4 k23) x28 kmx4 m2120，由题意知 0，设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 ，8km3 4k2 4m2 123 4k2由 MAB NAB 知， kAM kAN0， 0，y1 32x1 1y2 32x2 1即 (x21) (x11)0，(kx1 m32) (kx2 m 32)2 kx1x2 (x1 x2)32 m(m32 k) 32 m0，2k 4m2 123 4k2 (m 32 k) 8km3 4k2化简得(2 k1)(2 m2 k3)0， k ，12故直线 MN 的斜率为定值9
