1、133.1 利用导数判断函数的单调性学习目标 1.理解导数与函数单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间知识点一 函数的单调性与其导数正负的关系思考 f(x) x2在(，0)上为减函数，在(0，)上为增函数，那么 f( x)在(，0)，(0，)上的函数值的大小如何？答案 当 x(，0)时， f( x)0.总结 (1)在区间( a， b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数 函数的单调性f( x)0 单调递增f( x)0，则 f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x( a， b)都有 f(
2、x)0 且在( a， b)内的任一非空子区间上 f( x)不恒为 0.知识点二 函数的变化快慢与导数的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些1函数 f(x)在定义域上都有 f( x)0，则函数 f(x)在定义域上单调递增( )22函数在某一点处的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭” ( )3函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大( )题型一 利用导数判断函数的单调性例 1 证明：函数 f(x) 在区间 上单调递减sinxx ( 2， )证明 f( x)
3、 ，又 x ，xcosx sinxx2 ( 2， )则 cosx0， xcosxsin x(或0，1 lnxx2故 f(x)在区间(0，e)上是增函数题型二 利用导数求函数的单调区间命题角度 1 不含参数的函数求单调区间例 2 求 f(x)3 x22ln x 的单调区间解 f(x)3 x22ln x 的定义域为(0，)f( x)6 x 2x 2 3x2 1x ，2 3x 1 3x 1x由 x0，解 f( x)0，得 x ，333由 x0，解 f( x)0，函数在定义域内的解集上为增函数(4)解不等式 f( x)0，( x2) 20.由 f( x)0，得 x3，所以函数 f(x)的单调递增区间为
4、(3，)；由 f( x)0，函数 f(x)在区间(0，)上单调递增；当 a0 时，由 g(x)0，得 x 或 x (舍去)2a2 2a2当 x 时， g(x)0，即 f( x)0.(2a2， )所以当 a0 时，函数 f(x)在区间 上单调递减，在区间 上单调递增(0，2a2) (2a2， )4综上，当 a0 时，函数 f(x)在(0，)上单调递增；当 a0 时，函数 f(x)在 上单调递增，在 上单调递减(2a2， ) (0， 2a2)反思感悟 (1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定 f( x)的符号，否则会产生错误(2)分类讨论是把数
5、学问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素，就变成了确定性问题，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了跟踪训练 3 已知函数 f(x) x2( a m)x alnx，且 f(1)0，其中 a， mR.12(1)求 m 的值；(2)求函数 f(x)的单调递增区间解 (1)由题设知，函数 f(x)的定义域为(0，)，f( x) x( a m) .ax由 f(1)0，得 1( a m) a0，解得 m1.(2)由(1)得 f( x) x( a1) .ax x2 a 1 x ax x a x 1x当 a1 时，由 f( x)0，得 xa 或 00，得 x1 或 00，得 x1，
6、此时 f(x)的单调递增区间为(1，)综上，当 a1 时， f(x)的单调递增区间为( a，)，(0,1)；当 a1 时， f(x)的单调递增区间为(0，)；当 00(或 f( x)0，2 x3 a0， a2 x3在 x2，)上恒成立， a(2 x3)min.设 y2 x3， y2 x3在2，)上单调递增，(2 x3)min16， a16.当 a16 时， f( x) 0( x2，)，有且只有 f(2)0，2x3 16x2 a 的取值范围是(，16含有参数函数单调性的讨论典例 讨论函数 f(x)( a1)ln x ax21 的单调性解 f(x)的定义域为(0，)，f( x) 2 ax .a 1
7、x 2ax2 a 1x当 a1 时， f( x)0，故 f(x)在(0，)上单调递增；6当 a0 时， f( x)0，故 f(x)在 上单调递减，(1 a2a， ) (0， 1 a2a)在 上单调递增(1 a2a， )综上所述，当 a1 时， f(x)在(0，)上单调递增；当 a0 时， f(x)在(0，)上单调递减；当 00，1x函数在(0,6)上单调递增2函数 y f(x)的图象如图所示，则导函数 y f( x)的图象可能是( )7考点 函数变化的快慢与导数的关系题点 根据原函数图象确定导函数图象答案 D解析 函数 f(x)在(，0)，(0，)上都是减函数，当 x0 时， f( x)0)的
8、单调递增区间为( )A. B.(0，1a) (1a， )C(0，) D(0， a)答案 A解析 f(x)的定义域为 x|x0，且 a0，由 f( x) a0，1x得 043 43C m D mk1 时， f( x)0， f(x)的单调递减区间为(， k1)，单调递增区间为( k1，)1导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度2利用导数求函数 f(x)的单调区间的一般步骤(1)确定函数 f(x)的定义域(2)求导数 f( x)(3)在函数 f(x)的定义域内解不等式 f( x)0 和 f( x)0 在(0，)上恒成立， y xex在(
9、0，)上为增函数对于 A，C，D 都存在 x0，使 y0，故选项 D 正确3函数 y xcosxsin x 在下列哪个区间内是增函数( )A. B(，2)( 2， 32)C. D(2，3)(32， 52)考点 利用导数研究函数的单调性题点 根据导数判定函数的单调性答案 B解析 ycos x xsinxcos x xsinx，若 y f(x)在某区间内是增函数，只需在此区间内 y0 恒成立即可，只有选项 B 符合题意，当 x(，2)时， y0 恒成立4已知函数 f(x)sin x x， xR，则 f ， f(1)， f 的大小关系是( )( 4) ( 3)A f f(1)f( 4) ( 3)B
10、f f(1)f( 3) ( 4)10C f(1)f f( 3) ( 4)D f f f(1)( 3) ( 4)考点 题点 答案 A解析 f(x)sin x x， f( x)cos x10，故函数 f(x)在 R 上是减函数，又 f(1)f . 4 3 ( 4) ( 3)5已知函数 y f(x)(xR)上任意一点( x0， f(x0)处的切线斜率 k( x02)( x01) 2，则该函数的单调递减区间为( )A1，) B(，2C(，1)和(1,2) D2，)考点 题点 答案 B解析 由导数的几何意义知，在(，2，上 f( x)0，即该函数的单调递减区间为(，26若函数 f(x)(2 a1)ln
11、x x 在(0,1)上为增函数，则实数 a 的取值范围是( )A a2x1 的解集为( )A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)考点 利用导数研究函数的单调性11题点 利用导数求解不等式答案 C解析 令 g(x) f(x)2 x1，则 g( x) f( x)2g(1)0 时， x0，即 f(x)2x1 的解集为(，1)二、填空题8已知函数 f(x) kex1 x x2(k 为常数)，曲线 y f(x)在点(0， f(0)处的切线与 x 轴12平行，则 f(x)的单调递减区间为_考点 利用导数研究函数的单调性题点 求含参数函数的单调区间答案 (，0)解析 f( x) kex1 1 x，曲线
12、 y f(x)在点(0， f(0)处的切线与 x 轴平行， f(0) ke1 10，解得 ke，故 f( x)e x x1.令 f( x)0，故不等式 0，即 2 a0，解得 a ，(23) 29 19所以 a 的取值范围是 .(19， )三、解答题12已知 x0，求证： xsinx.考点 利用导数研究函数的单调性题点 利用导数证明不等式证明 设 f(x) xsin x(x0)，则 f( x)1cos x0 对 x(0，)恒成立，函数f(x) xsin x 在(0，)上是单调增函数，又 f(0)0， f(x)0 对 x(0，)恒成立， xsinx(x0)13设函数 f(x) ax 2ln x.
13、ax(1)若 f(2)0，求 f(x)的单调区间；13(2)若 f(x)在定义域上是增函数，求实数 a 的取值范围考点 题点 解 (1) f(x)的定义域为(0，)因为 f( x) a ，且 f(2)0，ax2 2x所以 a 10，所以 a .a4 45所以 f( x) (2x25 x2)45 45x2 2x 25x2令 f( x)0，解得 00，由其图象对称轴 0 可得， 22a 1aError!解得 a1.所以 a 的取值范围是1，)14 f(x)， g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x0，g(3)0，求不等式 f(x)g(x)0， h(x)在(，0)上单调递增， h(3)
14、 f(3) g(3)0，由 h(x)0 时，函数 h(x)在 R 上是奇函数， h(x)在(0，)上单调递增，且 h(3) h(3)0， h(x)0， f(x)为增函数当 a2 时，当 x(1， a1)时， f( x)0， f(x)为增函数综上可知，当 a2 时， f(x)在 R 上为增函数；当 a2 时， f(x)在(1， a1)上为减函数，在(，1)，( a1，)上为增函数(2)因为 f(x)在(1,4)上为减函数，所以当 x(1,4)时， f( x)0；因为 f(x)在(6，)上为增函数，所以当 x(6，)时， f( x)0.所以 4 a16，解得 5 a7.所以实数 a 的取值范围为5,715
