1、13.2.3 导数的四则运算法则学习目标 1.了解导数运算法则的证明过程.2.掌握函数的和、差、积、商的求导法则.3.能够运用导数公式和导数运算法则求函数的导数知识点 导数的四则运算(1)条件： f(x)， g(x)是可导的(2)结论： f(x)g(x) f( x)g( x) f(x)g(x) f( x)g(x) f(x)g( x) (g(x)0)f xg x f x g x f x g xg2 x特别提醒：(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算(2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导(3)若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导(4
2、)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程1 f( x)2 x，则 f(x) x2.( )2 f(x) ，则 f( x) .( )1ex 1 exex 13函数 f(x)sin( x)的导数为 f( x)cos x( )题型一 利用导数四则运算法则求导例 1 求下列函数的导数(1)f(x) ax3 bx2 c；13(2)f(x) xlnx2 x；2(3)f(x) ；x 1x 1(4)f(x) x2ex.考点 题点 解 (1) f( x) ( bx2) c ax22 bx.(13ax3 bx2 c) (13ax3)(2)f( x)( xlnx2 x)
3、( xlnx)(2 x) xln x x(lnx)2 xln2ln x12 xln2.(3)方法一 f( x) (x 1x 1) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 . x 1 x 1 x 1 2 2 x 1 2方法二 f(x) 1 ，x 1x 1 x 1 2x 1 2x 1 f( x) (12x 1) ( 2x 1) .0 2 x 1 x 1 2 2 x 1 2(4)f( x)( x2ex)( x2)e x x2(ex)2 xex x2exe x(2x x2)反思感悟 (1)解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分(2)对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导
4、数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变换)，然后求导这样可以减少运算量，优化解题过程(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导跟踪训练 1 求下列函数的导数(1)y x2log 3x；(2) ycos xlnx；(3) y .exsinx考点 导数的运算法则题点 导数乘除法则的混合运用解 (1) y( x2log 3x)( x2)(log 3x)2 x .1xln3(2)y(cos xlnx)(cos x)ln xcos x(lnx)sin xlnx .cosxx3(3)y (exsinx) ex sinx ex
5、 sinx sin2x .exsinx excosxsin2x ex sinx cosxsin2x题型二 导数运算法则的综合应用命题角度 1 利用导数求函数解析式例 2 (1)已知函数 f(x) 2 xf(1)，试比较 f(e)与 f(1)的大小关系；lnxx(2)设 f(x)( ax b)sinx( cx d)cosx，试确定常数 a， b， c， d，使得 f( x) xcosx.考点 导数的应用题点 导数的应用解 (1)由题意得 f( x) 2 f(1)，1 lnxx2令 x1，得 f(1) 2 f(1)，即 f(1)1.1 ln11所以 f(x) 2 x，得 f(e) 2e 2e，ln
6、xx lnee 1ef(1)2，由 f(e) f(1) 2e20)在 x x0处的导数为 0，那么 x0等于( )x2 a2xA aB aC aD a2考点 导数的运算法则题点 导数除法法则及运算答案 B解析 y1 ， 0|xy1 0， x0 a.a2x2 a2x204若曲线 f(x) xsinx1 在 x 处的切线与直线 ax2 y10 互相垂直，则实数 a 等 2于( )A2B1C1D2考点 导数的应用题点 导数的应用答案 D解析 f( x)sin x xcosx，由题意知 f 1，( 2) ( a2) a2.5若函数 f(x) 在 x x0处的导数值与函数值互为相反数，则 x0的值等于(
7、 )exxA0 B1C. D不存在12考点 导数的应用题点 导数的应用答案 C解析 f( x) ，xex exx2由题意知 f( x0) f(x0)0，即020,xe解得 x0 .12106若函数 f(x)在 R 上可导，且 f(x) x22 f(2) x m，则( )A f(0)f(5) D f(0) f(5)考点 导数的应用题点 导数的应用答案 C解析 f(x) x22 f(2) x m， f( x)2 x2 f(2)， f(2)222 f(2)， f(2)4. f(x) x28 x m， f(0) m， f(5)2540 m15 m. f(0)f(5)7已知函数 f(x) x2cos x
8、， f( x)是函数 f(x)的导函数，则 f( x)的图象大致是( )14考点 题点 答案 A解析 f(x) x2cos x， f( x) xsin x，14 12 f( x) f( x)，故 f( x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除 B，D.又当 x时， f sin 12，故实数 m 的取值范围是(2，)三、解答题12求下列函数的导数(1)y ln x；x(2)y( x21)( x1)；(3)y ；x2sinx(4)y .x 3x2 3考点 题点 解 (1) y( ln x)( )(ln x) .x x12x 1x(2)y( x21)( x1)( x3 x2 x1)( x3)( x2)
9、( x)(1)3 x22 x1.(3)y . x2 sinx x2 sinx sin2x 2xsinx x2cosxsin2x(4)y .1 x2 3 x 3 2x x2 3 2 x2 6x 3 x2 3 213已知函数 f(x) ax2 bx3( a0)，其导函数 f( x)2 x8.(1)求 a， b 的值；(2)设函数 g(x)e xsinx f(x)，求曲线 g(x)在 x0 处的切线方程考点 导数的应用题点 导数的应用解 (1)因为 f(x) ax2 bx3( a0)，13所以 f( x)2 ax b，又 f( x)2 x8，所以 a1， b8.(2)由(1)可知 g(x)e xsi
10、nx x28 x3，所以 g( x)e xsinxe xcosx2 x8，所以 g(0)e 0sin0e 0cos02087，又 g(0)3，所以曲线 g(x)在 x0 处的切线方程为 y37( x0)，即 7x y30.14已知点 P 在曲线 y 上， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 的取值范围是4ex 1_考点 导数的应用题点 导数的应用答案 34， )解析 y ，4ex ex 1 2 4exe2x 2ex 1设 te x(0，)，则 y ，4tt2 2t 1 4t 1t 2 t 2(当且仅当 t1 时，等号成立)，1t y1,0)， .34， )15设函数 f(x) ax ，曲线
11、y f(x)在点(2， f(2)处的切线方程为 7x4 y120.bx(1)求 f(x)的解析式；(2)证明：曲线 y f(x)上任一点处的切线与直线 x0 和直线 y x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值考点 导数的应用题点 导数的应用14解 (1)由 7x4 y120，得 y x3.74当 x2 时， y ， f(2) ，12 12又 f( x) a ， f(2) ，bx2 74由得Error!解得Error!故 f(x) x .3x(2)设 P(x0， y0)为曲线上任一点，由 y1 知，曲线在点 P(x0， y0)处的切线方程为3x2y y0 (x x0)，(13x20)即 y (x x0)(x03x0) (1 3x20)令 x0，得 y ，6x0从而得切线与直线 x0 的交点坐标为 .(0， 6x0)令 y x，得 y x2 x0，从而得切线与直线 y x 的交点坐标为(2 x0,2x0)所以点 P(x0， y0)处的切线与直线 x0， y x 所围成的三角形面积为 |2x0|6.12| 6x0|故 曲 线 y f(x)上 任 一 点 处 的 切 线 与 直 线 x 0， y x 所 围 成 的 三 角 形 的 面 积 为 定 值 ， 此 定 值 为6.15
