2020版高中数学 第三章 不等式 3.1.2 不等式的性质学案（含解析）新人教B版必修5.docx

1、13.1.2 不等式的性质学习目标 1.理解并掌握不等式的性质2.能够利用不等式的性质进行数或式的大小比较3.会证明一些简单的不等式知识点一 不等式的基本性质思考 试用作差法证明 ab， bcac.答案 ab， bca b0， b c0a b b c0a c0ac.总结 不等式性质：名称 式子表达性质 1(对称性) a bb a性质 2(传递性) a b， b ca c性质 3 a ba c b c推论 1推论 2a b ca c ba b， c da c b d性质 4a b， c0 ac bca b， c0 ac bc推论 1推论 2推论 3a b0， c d0 ac bda b0 an

2、bn(nN ， n1)a b0 (nN ， n1)na nb知识点二 不等式性质的注意事项思考 1 在性质 4 的推论 1 中，若把 a， b， c， d 为正数的条件去掉，即 a b， c d，能推出 ac bd 吗？若不能，试举出反例答案 不能，例如 12，23，但 122(2)(3)思考 2 在性质 3 的推论 2 中，能把“”改为“”吗？为什么？答案 不能，因为由 a c b d，不能推出 a b， c d，例如 110023，但显然 12.2总结 (1)注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不要想当然随意捏造性质(2)注 意 不 等 式 性 质 的 单 向 性 或 双 向 性 ，

3、 即 每 条 性 质 是 否 具 有 可 逆 性 ， 只 有a bb a， a ba c b c， a bac bc(c0)是可以逆推的，其余几条性质不可逆推1若 ab，则 acbc 一定成立( )2若 a cb d，则 ab 且 cd( )3若 ab 且 db d( )4若 ab 且 cd，则 acbd( )题型一 不等式性质的证明例 1 若 a b， c0，求证： ac bc.证明 ac bc( a b)c. a b， a b0.又 c0，( a b)c0，即 ac bc0， ac bc.反思感悟 对任意两个实数 a， b 有 a b0 a b； a b0 a b； a b0 a b这是比

4、较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础数学是个讲究逻辑的学科，不能以理解代替证明跟踪训练 1 (1)若 ac2 bc2，求证： a b；(2)由 a b 能推出 ac2 bc2吗？解 (1) ac2 bc2， ac2 bc20，即( a b)c20若 c20，则 ac2 bc2与条件矛盾 c20， a b0，即 a b(2)不能当 c0 时， ac2 bc2题型二 不等式性质的应用3命题角度 1 利用不等式的性质判断命题真假例 2 判断下列命题的真假：(1)若 ab，则 acabb2；(3)若 a .baab解 (1)由于 c 的正、负或是否为零未知，因而判断 ac 与 bc 的大小缺乏依

5、据故该命题为假命题(2)由Error! a2ab；由Error! abb2所以 a2abb2，故该命题为真命题(3)由 a b0a2b2 ，即 ，故该命题为假命题a2abb2ab abba反思感悟 要判断命题是真命题，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，应熟练掌握不等式的性质及其推论的条件和结论，若判断命题是假命题只需举一反例即可跟踪训练 2 下列命题中正确的个数是( )若 ab， b0，则 1；ab若 ab，且 a cb d，则 cd；若 ab，且 acbd，则 cdA0B1C2D3答案 A解析 若 a2， b1，则不符合题意；取 a10， b2， c1， d3，虽然满足

6、ab 且 a cb d，但不满足 cd，故错；当 a2， b3 时，取 c1， d2，则 c d 不成立命题角度 2 利用不等式性质证明简单不等式例 3 已知 ab0， c .ea c eb d证明 c d0， ab0， a cb d0，0 ea c eb d反思感悟 利用不等式性质证明简单的不等式的实质就是根据性质把不等式进行变形，要注意不等式性质成立的条件，如果不能直接由不等式性质得到，可先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式性质进行转化跟踪训练 3 若 ab0， c d0又 ab0， ac bd0， ac0 b，不等式： a2b2； 成立的个数是( )1a1b 1a b1aA0B1C2

7、D3答案 A解析 由题意可令 a1， b1，此时不对，不对， a b2，此时有 0， ，则( )ca dbA bcadC D 0，在 两侧乘 ab 不变号，ca db即 bc ad，即 bcb1， c ； acloga(b c)cacb其中所有正确结论的序号是( )ABCD答案 D解析 由不等式性质及 ab1 知 ，正确；cacb构造函数 y xc， cb1， acb1， cb c1，log b(a c)loga(a c)loga(b c)，正确2已知 a B aC a D aab ab2 ab2ab ab ab2 ab ab2答案 D解析 取 a2， b2，则 1， ，ab ab2 12 a

8、ab ab23若 a， b， cR， ab，则下列不等式成立的是( )A b21a1bC D a|c|b|c|ac2 1 bc2 1答案 C解析 对于 A，若 a0b，则 0， ，A 不成立；1a1b对于 B，若 a1， b2，则 a2b， 恒成立，C 成立；ac2 1 bc2 1对于 D，当 c0 时， a|c| b|c|，D 不成立4若 abc 且 a b c0，则下列不等式中正确的是( )A abac B acbcC a|b|c|b| D a2b2c2答案 A解析 由 abc 及 a b c0 知 a0， cac5若 aaabC abbab2 D abab2a8答案 D解析 1ab2a6

9、如果10， a2b20， 0 时， a2b0， ab20， ac； (2)c(b a)0；(3)cb20， cb， ef， c0，则 f ac_e bc(填“” “b， c0，所以 acbc，即 acf，即 f0，则 ab；cacb(2)若 ab， ab0，则 b， cd，则 acbd解 (1)Error! b，故(1)错1a1b(2)例如，当 a1， b1 时，不成立，故(2)错(3)例如，当 a c1， b d2 时，不成立，故(3)错12已知 a b0， c d0，(1)求证： ac bd(2)试比较 与 的大小ad bc(1)证明 因为 a b0， c d0，所以 ac bc， bc

10、bd，所以 ac bd(2)解 因为 a b0， c d0，所以 0， 0，ad bd bd bc所以 0，所以 ad bc ad bc13已知函数 f(x) ax2 c，4 f(1)1，1 f(2)5，求 f(3)的取值范围解 f(x) ax2 c，Error!Error! f(3)9 a c f(2) f(1)，83 53又4 f(1)1，1 f(2)5，10 f(1) ，53 53 203 f(2) 83 83 403把的两边分别相加，得1 f(2) f(1)20，即1 f(3)20.所以 f(3)的取值范83 53围是1,2014已知不等式： a0； a1bc0，证明： b f cb c c f ba c证明 abc， a cb c0，01， f(b)f(c)，又1 bc0， f(b)f(c)，0c f(b)0， b f cb c c f ba c11