1、1第一章 算法初步1 算法概念的诠释同学们也许对算法这个概念很陌生，但其实大家在日常生活中已经接触过很多算法了广义地说，算法就是做某一件事情的步骤或程序菜谱是做菜肴的“算法” ，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的“算法” 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础，它可理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤一、算法的特征1确定性确定性：算法中的每条运算规则必须是明确定义的、可行的，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，运行终止应得到问题的解答或指出问题没有解答2有限性一个算法必须保证在执行有限步后结束，不能出现无限循环或死循环这里说的“有限性”一般指算法在合理的
2、范围以内，一般由人们的常识和需要以及计算机性能而定例如，计算机执行一个算法需要一千年才能结束，这个算法虽然有限，但超过了合理的限度，因而也不是一个有效算法二、算法的思想在数学中，计算一个函数值、求解一个方程、证明一个结论等等，我们都需要有一个清晰的思路，一步一步去完成，这就是算法的思想，即程序化思想它强调的是通性通法，给出一个算法实际上是给出了一种解决问题(特别是数学问题)的方法三、特别提示1在算法的理解方面，是指使用一系列运算规则，能在有限步骤内求解某类问题，其中每条规则必须是明确定义的，可行的2算法中的每一步应该是确定的并且能够有效地执行且得到确定的结果，而不应当模棱两可，如求近似值却没有
3、要求近似的精确度，则该问题不能求解3在设计算法时，算法应有一个或多个输出，算法的目的是为了求解，没有输出的算法是没有意义的4只要有公式可以利用，利用公式解决问题是最理想、最简便的方法，比如在写解方程x23 x40 的算法时，用求根公式来做，步骤则较为简洁5求解某一个问题的算法一般不是唯一的，我们通常选择较为简单的算法四、典例分析例 1 已知一个等边三角形的周长为 a，求这个三角形的面积，设计一个算法解决这个问题2分析 对于已知等边三角形的边长求面积的题目同学们已经很熟悉，回顾其中的解题过程不难得到这个问题的算法步骤解 算法步骤如下：S1 输入 a 的值S2 计算 l 的值a3S3 计算 S l
4、2的值34S4 输出 S 的值例 2 下面给出了一个问题的算法：S1 输入 x.S2 若 x4，则执行第三步，否则执行第四步S3 输出 2x1.S4 输出 x22 x3.这个算法解决的问题是什么？分析 依据题目给出的算法步骤依次执行，分别写出其对应的结果就可以很容易解决此题解 这个算法先是输入一个变量 x，当 x4 时输出 2x1，当 xr，则直线与圆相离， d r 则直线与圆相切， dr 则相离；如果 d r 则相切；如果 d2015.解 方法一 程序框图如图 1 所示，方法二 程序框图如图 2 所示评注 涉及求多项的和与积的程序框图要用到循环结构和条件分支结构画图时要注意循环变量的初始值、
5、终值以及循环变量的增量在程序中的作用本题代表了一类相邻两个数的差为常数的求和问题的解法，在设计程序框图时要注意前后两个加数相差 2，此时计数变量不是 i i1，而是 i i2，要根据题意灵活地改变算法中的相应部分二、叠加求值9例 2 画出求式子 (共 9 个 3)的值的一个程序框图分析 本题是一个叠加问题，由于前后重复了多次相同的运算，所以应采用循环结构来设计算法，但利用循环结构实现算法需搞清初始值是什么本题中初始值可设定为 a1 ，13第一次循环得到 a2 ，第二次循环得到 a3 ， a9 ，共循环了 8 次13 a1 13 a2 13 a8解 程序框图如图所示评注 如果算法问题里涉及的运算
6、有许多重复的步骤，且数之间有相同的规律，那么可引入变量，应用循环结构在循环结构中，要注意根据条件，设计合理的计数变量、累计变量，特 别 要 注 意 条 件 的 表 述 要 恰 当 、 精 确 ， 以 免 出 现 多 一 次 循 环 或 少 一 次 循 环 的 情 况.6 三种逻辑结构辨析算法中有三种逻辑结构，即顺序结构、条件分支结构、循环结构，同学们初学这三种结构，容易混淆本文将这三种结构进行比较，希望同学们能深刻体会这三种结构的差异与共同点一、三种基本逻辑结构顺序结构 按照语句的先后顺序，从上而下依次执行这些语句，该结构不具备控制流程的作用，是任何一个算法都离不开的基本结构条件分支结构根据某
7、种条件是否满足来选择程序的走向当条件满足时，运行一个分支，不满足时，运行另一个分支循环结构从某处开始，按照一定的条件，反复执行某一处理步骤的情况用来处理一些反复进行操作的问题.10二、三种基本逻辑结构的共同特点1只有一个入口2只有一个出口，注意一个菱形判断框有两个出口，而一个条件分支结构只有一个出口，不要将菱形框的出口和条件分支结构的出口混为一谈3结构内的每一部分都有机会被执行到，即对每一个框来说都应当有一条从入口到出口的路径通过它，如图 1 中的 A，没有一条从入口到出口的路径通过它，是不符合要求的程序框图4结构内不存在死循环，即无终止的循环，如图 2 就是一个死循环，在程序框图中是不允许有
8、死循环出现的三 种 基 本 结 构 的 这 些 共 同 特 点 ， 也 是 检 查 一 个 程 序 框 图 或 算 法 是 否 正 确 、 合 理 的 方 法 和 试 金石 三、典例剖析1顺序结构例 1 已知点 P(x0， y0)和直线 l： Ax By C0，画出求点 P(x0， y0)到直线 l 的距离 d 的算法的程序框图分析 利用点到直线的距离公式可画出其程序框图解 程序框图如图所示评注 顺序结构是由若干个依次执行的处理步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基11本结构，它是最简单的算法结构，在程序框图中的体现就是用流程线自上而下地连接起来，按顺序执行算法的步骤2条件分支结构例 2 画
9、出解方程 ax b0( a， b 为常数)的一个算法的程序框图分析 在求解方程时，需要在方程两边同时除以 a，这时对 a 是否为 0 的情况要加以讨论，当 a0 时，又要对 b 是否为 0 分情况讨论解 程序框图如图所示评 注 条 件 分 支 结 构 中 要 先 根 据 指 定 条 件 进 行 判 断 ， 再 由 判 断 的 结 果 决 定 选 择 执 行 哪 一 条 路径 3循环结构例 3 某校高一(1)班共有 60 人，市青少年保护中心来抽样检测同学们的身体素质，要求学号被 3 整除的同学参加体检，已知同学们的学号是从 1 到 60 号，请画出一个算法的程序框图，使其能够输出参加体检的同学
10、的学号解 程序框图如图所示评注 循环结构按照一定的条件，反复执行某一处理步骤循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件分支结构来判断，在循环结构中都有一个计数变量和一个累加变量，计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果，计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次127 算法在生活实际中的应用数学来源于生活，服务于社会，数学与生活息息相关，数学是有用的，在生活中做一件事情的方法和步骤有多种，生活中的许多问题都可以用算法描述，用程序框图表达下面请欣赏三例算法问题一、第 29 届奥林匹克运动会的申办例 1 北京成功举办了 2008 年第 29 届夏季奥林匹克运动会你知道在申办奥运
11、会的最后阶段，国际奥委会是如何通过投票决定主办权归属的吗？对选出的 5 个申办城市进行表决的操作程序是首先进行第一轮投票，如果有一个城市得票数超过总票数的一半，那么该城市将获得举办权；如果所有申办城市的得票数都不超过总票数的一半，则将得票数最少的城市淘汰，然后重复上述过程，直到选出一个申办城市为止请设计一个算法表述上面过程，并画出程序框图解 算法步骤如下：S1 投票S2 统计票数，如果有一个城市得票数超过总票数的一半，那么该城市就获得主办权；否则淘汰得票数最少的城市，转 S1.S3 宣布主办城市程序框图如图：点评 算法本身就是用计算机解决一些实际问题的方法，一定要充分理解算法的特点二、奖金的发
12、放例 2 某科研所决定拿出一定量的资金对科研人员进行奖励，按照科研成果价值的大小决定奖励前 10 名第 1 名得全部奖金的一半多 1 万元，第 2 名得剩余的奖金的一半多 1 万元，第 3 名再得剩余奖金的一半多 1 万元，以此类推，到第 10 名恰得奖金 1 万元，请设计一个算法的程序求科研所最初拿出多少奖金进行奖励解 第 10 名的奖金额 S11 万元，第 9 名和第 10 名的总奖金额 S2(11)24 万元，第 8 名、第 9 名和第 10 名的总奖金额 S3(41)210 万元总奖金额 S10( S91)2，得递推公式 S11， Sn1 ( Sn1)2， n1,2，9.程序： 13S1；i1；while i3，则输出 S；否则，转 S3.14程序框图如图所示15
