1、1第 3 课时 直线与平面、平面与平面垂直的性质核心必知1预习教材,问题导入根据以下提纲,预习教材 P70P 72,回答下列问题(1)若一条直线与一个平面垂直,则可得到什么结论?若两条直线与同一个平面垂直呢?提示:这条直线垂直于平面的任意一条直线;这两条直线平行(2)教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直,在黑板上任意画一条直线与地面垂直吗?怎样画才能保证所画直线与地面垂直?提示:不一定,也可能平行,相交(不垂直);只要保证所画的线与两面的交线垂直即可2归纳总结,核心必记(1)直线与平面垂直的性质定理文字语言:垂直于同一个平面的两条直线平行图形语言:符号语言:Error! a b.作用:(
2、)线面垂直线线平行;()作平行线(2)平面和平面垂直的性质定理文字语言:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直图形语言:2符号语言:Error! a .作用:()面面垂直线面垂直;()作面的垂线问题思考(1)同一个平面的两条垂线一定共面吗?提示:共面由线面垂直的性质定理可知该两条直线是平行的,故能确定一个平面(2)如果 ,那么平面 内的直线都和平面 垂直吗?提示:如果 ,那么平面 内的直线不一定与平面 垂直课前反思通过以上预习,必须掌握的几个知识点(1)直线与平面垂直的性质定理是什么?怎样应用?;(2)平面与平面垂直的性质定理是什么?怎样应用?.如图是日常生活中常见的旗杆,
3、这排旗杆都与地面垂直思考 1 两根旗杆所在直线是什么位置关系?提示:平行思考 2 怎样理解直线与平面垂直的性质定理?名师指津:(1)该定理考查的是在直线与平面垂直的条件下,可得出什么结论3(2)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线都与同一个平面垂直)(3)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系,提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据(4)定理的推证过程采用了反证法思考 3 直线与平面垂直有哪些性质?名师指津:(1)Error! l b;(2)Error! a b; (3)Error!b ;(4)Error! a ;(5)Error! . 讲一讲1如图所示,在
4、正方体 ABCDA1B1C1D1中, M 是 AB 上一点, N 是 A1C 的中点, MN平面 A1DC.求证: MN AD1.尝试解答 ADD1A1为正方形, AD1 A1D.又 CD平面 ADD1A1. CD AD1. A1D CD D, AD1平面 A1DC.又 MN平面 A1DC, MN AD1.证明线线平行常有如下方法:(1)利用线线平行定义:证共面且无公共点;(2)利用三线平行公理:证两线同时平行于第三条直线;(3)利用线面平行的性质定理:把证线线平行转化为证线面平行;(4)利用线面垂直的性质定理:把证线线平行转化为证线面垂直;(5)利用面面平行的性质定理:把证线线平行转化为证面
5、面平行 练一练41如图,已知平面 平面 l, EA ,垂足为 A, EB ,垂足为 B,直线a , a AB.求证: a l.证明:因为 EA , l,即 l ,所以 l EA.同理 l EB.又 EA EB E,所以 l平面 EAB.因为 EB , a ,所以 EB a,又 a AB, EB AB B,所以 a平面 EAB.由线面垂直的性质定理,得 a l.思考 怎样理解面面垂直的性质定理?名师指津:(1)定理成立的条件有三个:两个平面互相垂直;直线在其中一个平面内;直线与两平面的交线垂直(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直,故可用来证明线面垂直(3)已知面面垂直时,可以利用此定理转化为线
6、面垂直,再转化为线线垂直 讲一讲2如图,已知 PA平面 ABC,平面 PAB平面 PBC,求证: BC平面 PAB.尝试解答 过点 A 作 AE PB,垂足为 E,5因为平面 PAB平面 PBC,平面 PAB平面 PBC PB,所以 AE平面 PBC,因为 BC平面 PBC,所以 AE BC,因为 PA平面 ABC, BC平面 ABC,所以 PA BC,因为 PA AE A,所以 BC平面 PAB.应用面面垂直性质定理要注意的问题应用面面垂直性质定理证明相关问题时,一般需要作辅助线,即过其中一个平面内一点作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直 练一练2如图所示, P 是四边
7、形 ABCD 所在平面外的一点, ABCD 是 DAB60且边长为 a 的菱形侧面 PAD 为正三角形,其所在平面垂直于底面 ABCD.(1)若 G 为 AD 边的中点,求证: BG平面 PAD;(2)求证: AD PB.证明:(1)连接 PG,由题知 PAD 为正三角形, G 是 AD 的中点, PG AD.又平面 PAD平面 ABCD,平面 PAD平面 ABCD AD, PG平面 ABCD. PG BG.又四边形 ABCD 是菱形且 DAB60, ABD 是正三角形6 BG AD.又 AD PG G, BG平面 PAD.(2)由(1)可知 BG AD, PG AD.又 BG PG G, A
8、D平面 PBG. AD PB. 讲一讲3如图,在四棱锥 PABCD 中,侧面 PAD 是正三角形,且与底面 ABCD 垂直,底面ABCD 是边长为 2 的菱形, BAD60, N 是 PB 的中点,过 A, D, N 三点的平面交 PC 于M, E 为 AD 的中点求证:(1)EN平面 PDC;(2)BC平面 PEB;(3)平面 PBC平面 ADMN.思路点拨 (1)证明 EN DM;(2)由 AD BC 可证 AD平面 PEB;(3)利用(2)可证 PB平面 ADMN.尝试解答 (1) AD BC, BC平面 PBC, AD平面 PBC, AD平面 PBC.又平面 ADMN平面 PBC MN
9、, AD MN.又 BC AD, MN BC.又 N 是 PB 的中点,点 M 为 PC 的中点 MN BC 且 MN BC,12又 E 为 AD 的中点, MN DE,且 MN DE.7四边形 DENM 为平行四边形 EN DM,且 DM平面 PDC. EN平面 PDC.(2)四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形,且 BAD60, BE AD.又侧面 PAD 是正三角形,且 E 为中点, PE AD, BE PE E, AD平面 PBE.又 AD BC, BC平面 PEB.(3)由(2)知 AD平面 PBE,又 PB平面 PBE, AD PB.又 PA AB, N 为 PB 的中点, AN
10、 PB.且 AN AD A, PB平面 ADMN.又 PB平面 PBC.平面 PBC平面 ADMN.垂直关系的转化在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直,最终达到目的,其转化关系如下: 练一练3如图,平面 PAB平面 ABC,平面 PAC平面 ABC, AE平面 PBC, E 为垂足(1)求证: PA平面 ABC;(2)当 E 为 PBC 的垂心时,求证: ABC 是直角三角形8证明:(1)在平面 ABC 内任取一点 D,作 DF AC 于点 F,作 DG AB 于点 G.平面PAC平面 ABC,且交线为 AC, DF平
11、面 PAC. PA平面 PAC, DF PA.同理可证, DG PA. DG DF D, PA平面 ABC.(2)连接 BE 并延长交 PC 于点 H. E 是 PBC 的垂心, PC BH.又 AE 是平面 PBC 的垂线, PC AE. BH AE E, PC平面 ABE, PC AB.又 PA平面 ABC, PA AB. PA PC P, AB平面 PAC. AB AC,即 ABC 是直角三角形课堂归纳感悟提升1本节课的重点是理解直线与平面、平面与平面垂直的性质定理,能应用直线与平面、平面与平面的性质定理证明空间中线面垂直关系难点是理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系2本节课要重点
12、掌握的规律方法(1)利用线面垂直的性质证明平行问题,见讲 1.(2)应用面面垂直的性质证明垂直问题,见讲 2.(3)掌握垂直关系的转化,见讲 3.3本节课的易错点是垂直关系转化中易出现转化混乱错误,如讲 3.9课下能力提升(十四)学业水平达标练题组 1 直线与平面垂直的性质1直线 n平面 , n l,直线 m ,则 l、 m 的位置关系是( )A相交 B异面 C平行 D垂直解析:选 D 由题意可知 l ,所以 l m.2已知直线 a, b,平面 ,且 a ,下列条件中,能推出 a b 的是( )A b B bC b D b 与 相交解析:选 C 由线面垂直的性质定理可知,当 b , a 时,
13、a b.3如图,四棱锥 SABCD 的底面是矩形, SA底面 ABCD, E, F 分别是 SD, SC 的中点求证:(1)BC平面 SAB;(2)EF SD.证明:(1)四棱锥 SABCD 的底面是矩形, AB BC. SA平面 ABCD, BC平面 ABCD, SA BC.又 SA AB A, BC平面 SAB.(2) SA平面 ABCD, CD平面 ABCD, CD SA.又 CD AD, SA AD A, CD平面 SAD. E, F 分别是 SD, SC 的中点, EF CD, EF平面 SAD.又 SD平面 SAD, EF SD.题组 2 平面与平面垂直的性质104如图所示,在长方
14、体 ABCDA1B1C1D1的棱 AB 上任取一点 E,作 EF A1B1于 F,则 EF与平面 A1B1C1D1的关系是( )A平行B EF平面 A1B1C1D1C相交但不垂直D相交且垂直解析:选 D 由于长方体中平面 ABB1A1平面 ABCD,所以根据面面垂直的性质定理可知, EF 与平面 A1B1C1D1相交且垂直5若平面 平面 ,平面 平面 ,则( )A B C 与 相交但不垂直 D以上都有可能解析:选 D 可能平行,也可能相交如图, 与 平行, 与 相交6若两个平面互相垂直,在第一个平面内的一条直线 a 垂直于第二个平面内的一条直线 b,那么( )A直线 a 垂直于第二个平面B直线
15、 b 垂直于第一个平面C直线 a 不一定垂直于第二个平面D过 a 的平面必垂直于过 b 的平面解析:选 C 直线 a 与直线 b 均不一定为两面的交线7平面 平面 ,直线 a平面 ,则( )A a B a C a 与 相交 D以上都有可能解析:选 D 因为 a ,平面 平面 ,所以直线 a 与 垂直、相交、平行都有可能8平面 平面 , l, n , n l,直线 m ,则直线 m 与 n 的位置关系是_解析:因为 , l, n , n l,所以 n .又 m ,所以 m n.11答案:平行9如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是矩形,平面 PCD平面 ABCD.求证: AD平面 P
16、CD.证明:在矩形 ABCD 中, AD CD,因为平面 PCD平面 ABCD,平面 PCD平面 ABCD CD, AD平面 ABCD,所以 AD平面 PCD.题组 3 线线、线面、面面垂直的综合10如图所示,在四棱锥 SABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧面 SDC底面 ABCD,求证:平面 SCD平面 SBC.证明:底面 ABCD 是矩形, BC CD.又平面 SDC平面 ABCD,平面 SDC平面 ABCD CD, BC平面 ABCD, BC平面 SCD.又 BC平面 SBC,平面 SCD平面 SBC.11如图, , l, AB , AB l, BC , DE , BC DE.求证:
17、AC DE.证明: , l, AB , AB l, AB . DE , AB DE. BC DE, AB BC B, DE平面 ABC. AC平面 ABC, AC DE.能力提升综合练1(2016临沂高一检测)已知 m, n 为异面直线, m平面 , n平面 ,直线 l 满足 l m, l n, l , l ,则( )12A 且 l B 且 l C 与 相交,且交线垂直于 lD 与 相交,且交线平行于 l解析:选 D 由于 m, n 为异面直线, m平面 , n平面 ,则平面 与平面 必相交,但未必垂直,且交线垂直于直线 m, n,又直线 l 满足l m, l n, l , l ,则交线平行于
18、 l,故选 D.2在空间四边形 ABCD 中,平面 ABD平面 BCD,且 DA平面 ABC,则 ABC 是( )A直角三角形 B等腰三角形C等边三角形 D等腰直角三角形解析:选 A 过点 A 作 AH BD 于点 H,由平面 ABD平面 BCD,得 AH平面 BCD,则AH BC.又 DA平面 ABC,所以 BC AD,所以 BC平面 ABD,所以 BC AB,即 ABC 为直角三角形故选 A.3(2016郑州高一检测)已知平面 、 、 ,则下列命题中正确的是( )A , ,则 B , ,则 C a, b, , ,则 a bD , a, a b,则 b 解析:选 B A 中 , 可以相交;C
19、 中如图, a 与 b 不一定垂直;D 中 b 仅垂直于 的一条直线 a,不能判定 b .4已知平面 平面 , l,点 A , Al,直线 AB l,直线 AC l,直线 m , m ,则下列四种位置关系中,不一定成立的是( )A AB m B AC mC AB D AC 解析:选 D 如图, AB l m, AC l, m lAC m, AB lAB .故选 D.5(2016大同高一检测)空间四边形 ABCD 中,平面 ABD平面 BCD, BAD90,且 AB AD,则 AD 与平面 BCD 所成的角是_13解析:过 A 作 AO BD 于 O 点,平面 ABD平面 BCD, AO平面 B
20、CD,则 ADO 即为 AD 与平面 BCD 所成的角 BAD90, AB AD. ADO45.答案:456(2016合肥高一检测)如图,平行四边形 ABCD 中, AB BD,沿 BD 将 ABD 折起,使平面 ABD平面 BCD,连接 AC,则在四面体 ABCD 的四个面中,互相垂直的平面的对数为_解析:因为平面 ABD平面 BCD,平面 ABD平面 BCD BD, AB BD,所以 AB平面BCD.所以平面 ABC平面 BCD,因为 AB BD, AB CD,所以 CD BD.又因为平面 ABD平面BCD,所以 CD平面 ABD,所以平面 ACD平面 ABD,共 3 对答案:37如图,在
21、正方体 ABCDA1B1C1D1中求证:(1)B1D平面 A1C1B;(2)B1D 与平面 A1C1B 的交点设为 O,则点 O 是 A1C1B 的垂心证明:(1)连接 B1D1,则 A1C1 B1D1.又有 DD1 A1C1, B1D1 DD1 D1,所以 A1C1平面 B1DD1, B1D平面 B1DD1,从而 A1C1 B1D.同理可证, A1B B1D.14A1C1 A1B A1,所以 B1D平面 A1C1B.(2)连接 BO, A1O, C1O.由 BB1 A1C1, B1O A1C1,得到 A1C1平面 BB1O.所以 A1C1 BO.同理, A1B C1O, BC1 A1O.故点
22、 O 是 A1C1B 的垂心8已知 BCD 中, BCD90, BC CD1, AB平面 BCD, ADB60, E、 F 分别是 AC、 AD 上的动点,且 (0 1)AEAC AFAD(1)求证:不论 为何值,总有平面 BEF平面 ABC;(2)当 为何值时,平面 BEF平面 ACD?解:(1)证明: AB平面 BCD, AB CD. CD BC,且 AB BC B, CD平面 ABC.又 (0 1),AEAC AFAD不论 为何值,恒有 EF CD, EF平面 ABC.又 EF平面 BEF,不论 为何值,恒有平面 BEF平面 ABC.(2)由(1)知, EF BE,又平面 BEF平面 ACD, BE平面 ACD, BE AC. BC CD1, BCD90, ADB60,AB平面 BCD, BD , AB tan 60 ,2 2 6 AC ,AB2 BC2 7由 AB2 AEAC 得 AE ,67 ,故当 时,AEAC 67 67平面 BEF平面 ACD.15