1、1第三章 直线与方程考点 1 直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念，它们从“形”与“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度(1)倾斜角的范围是0，180)(2)倾斜角与斜率的对应关系 90时， ktan ； 90时，斜率不存在(3)倾斜角与斜率的单调性问题当直线 l 的倾斜角 从 0增大到 90时，直线 l 的斜率从 0 增大到；当直线 l的倾斜角 从 90增大到 180时，直线 l 的斜率从增大到 0.(4)斜率公式：经过 A(x1， y1)， B(x2， y2)(x1 x2)两点的直线的斜率公式k (x1 x2)，应用时注意其适用的条件 x1 x2，当 x1 x2时，
2、直线的斜率不存在y2 y1x2 x12典例 1 已知某直线 l 的倾斜角 45，又 P1(2， y1)， P2(x2，5)， P3(3,1)是此直线上的三点，求 x2， y1的值解：由 45，故直线 l 的斜率 ktan 451，又 P1， P2， P3都在此直线上，故 kP1P2 kP2P3 kl，即 1，解得 x27， y10.5 y1x2 2 1 53 x2对点训练1若三点 A(3,1)， B(2， b)， C(8,11)在同一直线上，则实数 b 等于_解析： A、 B、 C 三点共线， kAB kAC. ，b 1 2 3 11 18 3即 b9.答案：9考点 2 直线的方程(1)求直线
3、方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况(2)运用直线系方程的主要作用在于能使计算简单典例 2 过点 P(1,0)， Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在 x 轴上截距之差的绝对值为 1，求这两条直线的方程解：当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为 x1， x0，它们在 x 轴上截距之差的绝对值为 1，满足题意；当直线的斜率存在时，设其斜率为 k，则两条直线的方程分别为 y k(x1)，y kx2.令 y0，分别得 x1， x .2k由题意 1，即 k1.| 12k|
4、则直线的方程为 y x1， y x2，即 x y10， x y20.综上可知，所求的直线方程为 x1， x0，或 x y10， x y20.对点训练32将直线的方程 x2 y60：(1)化成斜截式，并指出它的斜率与在 y 轴上的截距；(2)化成截距式，并指出它在 x 轴、 y 轴上的截距解：(1)将原方程移项得 2y x6，两边同除以 2，得斜截式 y x3，因此它的斜12率 k ，在 y 轴上的截距为 3.12(2)将原方程移项得 x2 y6，两边同除以6，得截距式 1.由方程可知，x 6 y3直线在 x 轴、 y 轴上的截距分别为6,3.考点 3 距离问题距离公式的运用：(1)距离问题包含
5、两点间的距离，点到直线的距离，两平行直线间的距离(2)牢记各类距离的公式并能直接应用，解决距离问题时，往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合(3)这类问题是高考考查的热点，在高考中常以选择题、填空题出现，主要考查距离公式以及思维能力典例 3 (2016九江高一检测)已知两条直线 l1： ax by40， l2：( a1)x y b0，求分别满足下列条件的 a、 b 的值(1)直线 l1过点(3，1)，并且直线 l1与直线 l2垂直；(2)直线 l1与直线 l2平行，并且坐标原点到 l1、 l2的距离相等解：(1) l1 l2， a(a1)( b)10.即 a2 a b0. 又点(3，1)在
6、l1上，3 a b40.由解得 a2， b2.(2) l1 l2且 l2的斜率为 1 a， l1的斜率也存在， 1 a，即 b .ab a1 a故 l1和 l2的方程可分别表示为l1：( a1) x y 0，4 a 1al2：( a1) x y 0.a1 a4原点到 l1与 l2的距离相等，4 ，解得 a2 或 a .|a 1a | | a1 a| 23因此Error! 或Error!对点训练3已知正方形中心为点 M(1,0)，一条边所在直线的方程是 x3 y50，求其他三边所在直线的方程解：正方形中心到直线 x3 y50 的距离d .| 11 30 5|12 32 610设与直线 x3 y5
7、0 平行的直线方程为 x3 y C10.由正方形的性质，得 ，| 1 C1|12 32 610解得 C15(舍去)或 C17.所以与直线 x3 y50 相对的边所在的直线方程为x3 y70.设与直线 x3 y50 垂直的边所在的直线方程为3x y C20.由题意，得 ，| 13 01 C2|32 12 610解得 C29 或 C23.所以另两边所在直线的方程为 3x y90 和 3x y30.考点 4 对称问题1对称问题的分类 对称问题Error!2对称问题的求解策略(1)点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解熟练掌握和灵活运用中
8、点坐标公式是处理这类问题的关键(2)点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：两点连线与已知直线斜率乘积等于1；两点的中点在已知直线上(3)直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于此点对称的问题，这里需要注意的是两对称直线是平行的我们往往利用平行直线系去求解典例 4 光线通过点 A(2,3)，在直线 l： x y10 上反射，反射光线经过点5B(1,1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程解：设点 A(2,3)关于直线 l 的对称点为 A( x0， y0)，则Error!解得， A(4，3)由于反射光线经过点 A(4，3)和 B(1,1)，所以反射光线
9、所在直线的方程为y1( x1) ，即 4x5 y10.1 31 4解方程组Error!得反射点 P .(23， 13)所以入射光线所在直线的方程为y3( x2) ，即 5x4 y20.3 132 23对点训练4一条光线从点 A(1,3)射向 x 轴，经过 x 轴上的点 P 反射后通过点 B(3,1)，求 P点的坐标解：设 P(x,0)，则 kPA ，3 0 1 x 3x 1kPB ，依题意，1 03 x 13 x由光的反射定律得 kPA kPB，即 ，解得 x2，即 P(2,0)3x 1 13 x（时间 120 分钟 满分 150 分）一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60
10、 分)1已知直线 l 的方程为 y x1，则直线 l 的倾斜角为( )A30 B45 C60 D135解析：选 D 由题意可知，直线 l 的斜率为1，故由 tan 1351，可知直线 l 的倾斜角为 135.2(2016潍坊高一检测)点(1,1)到直线 x y10 的距离为( )A1 B2 C. D.22 26解析：选 C 由点到直线的距离公式 d .|1 1 1|12 12 223如果直线 ax2 y20 与直线 3x y20 平行，则 a 的值为( )A3 B6 C. D.32 23解析：选 B 由题意得 a(1)230， a6.4(2016广州高一模拟)若直线 l 与直线 y1， x7
11、分别交于 P、 Q，且线段 PQ 的中点坐标为(1，1)，则直线 l 的斜率为( )A. B C3 D313 13解析：选 B 设 P(a,1)， Q(7， b)，则有Error!Error! 故直线 l 的斜率为 . 3 17 5 135(2016福州八中高一检测)如果 AB0， 0，故AB CB AB CB直线 Ax By C0 经过第一、二、三象限，不经过第四象限6(2016平顶山高一检测)已知直线 mx ny10 平行于直线 4x3 y50，且在y 轴上的截距为 ，则 m， n 的值分别为( )13A4 和 3 B4 和 3C4 和3 D4 和3解析：选 C 由题意知： ，即 3m4
12、n，且有 ， n3， m4.mn 43 1n 137两点 A(a2， b2)和 B(b a， b)关于直线 4x3 y11 对称，则 a， b 的值为( )A a1， b2 B a4， b2C a2， b4 D a4， b2解析：选 D A、 B 关于直线 4x3 y11 对称，则 kAB ，34即 ，b 2 ba 2 b a 34且 AB 中点 在已知直线上，代入得(b 22 ， 1)2(b2)311，解组成的方程组得Error!78(2016濮阳质检)已知直线(3 k1) x( k2) y k0，则当 k 变化时，所有直线都通过定点( )A(0,0) B. (17， 27)C. D.(27
13、， 17) (17， 114)解析：选 C 直线方程变形为 k(3x y1)(2 y x)0，则直线通过定点 .(27， 17)9光线从点 A(3,5)射到 x 轴上，经反射以后经过点 B(2，10)，则光线从 A 到 B 的路程为( )A5 B2 C5 D102 5 10 5解析：选 C 点 A(3,5)关于 x 轴的对称点为 A(3，5)，则光线从 A 到 B 的路程即 A B 的长，|A B| 5 . 5 10 2 3 2 2 1010已知直线 l 的倾斜角为 135，直线 l1经过点 A(3,2)， B(a，1)，且 l1与 l 垂直，直线 l2：2 x by10 与直线 l1平行，则
14、 a b 等于( )A4 B2 C0 D2解析：选 B 因为 l 的斜率为 tan 1351，所以 l1的斜率为 1，所以 kAB1，解得 a0.又 l1 l2，所以 1，解得 b2，所以 a b2.2 13 a 2b11已知点 M(1,0)和 N(1,0)，直线 2x y b 与线段 MN 相交，则 b 的取值范围为( )A2,2 B1,1C. D0,212， 12解析：选 A 直线可化成 y2 x b，当直线过点 M 时，可得 b2；当直线过点 N 时，可得 b2，所以要使直线与线段 MN 相交， b 的取值范围为2,212若直线 l1： y2( k1) x 和直线 l2关于直线 y x1
15、 对称，那么直线 l2恒过定点( )A(2,0) B(1，1) C(1,1) D(2,0)解析：选 C l1： kx x y2，由Error!得 l1恒过定点(0,2)，记为点 P，与 l1关于直线 y x1 对称的直线 l2也必恒过一定点，记为点 Q，且点 P 和 Q 也关于直线y x1 对称令 Q(m， n)，则Error!Error!即 Q(1,1)，直线 l2恒过定点(1,1)二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13已知点 A(2,1)， B(2,3)， C(0,1)，则 ABC 中， BC 边上的中线长为_8解析： BC 中点为(1,2)，所以 BC 边上中
16、线长为 . 2 1 2 1 2 2 10答案： 1014直线 l 与直线 y1， x y70 分别交于 A， B 两点，线段 AB 的中点为M(1，1)，则直线 l 的斜率为_解析：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 1，又 y11， y23，代入方程y1 y22x y70，得 x24，即 B(4，3)，又 1， x12，即 A(2,1)，x1 x22 kAB . 3 14 2 23答案：2315已知点 M(a， b)在直线 3x4 y15 上，则 的最小值为_a2 b2解析： 的最小值为原点到直线 3x4 y15 的距离： d 3.a2 b2|0 0 15|32 42答案：31
17、6若动点 A， B 分别在直线 l1： x y70 和 l2： x y50 上移动，则 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为_解析：依题意，知 l1 l2，故点 M 所在直线平行于 l1和 l2，可设点 M 所在直线的方程为 l： x y m0，根据平行线间的距离公式，得 |m7| m5| m6，即 l： x y60，根据点到直线的距离公式，|m 7|2 |m 5|2得 M 到原点的距离的最小值为 3 .| 6|2 2答案： 2三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)(2016绍兴高一检测)已知直线 l 的倾斜角为 1
18、35，且经过点 P(1,1)(1)求直线 l 的方程；(2)求点 A(3,4)关于直线 l 的对称点 A的坐标解：(1) ktan 1351， l： y1( x1)，即 x y20.(2)设 A( a， b)，则Error! 解得 a2， b1， A的坐标为(2，1)18(本小题满分 12 分)已知两条直线 l1： x m2y60， l2：( m2)9x3 my2 m0，当 m 为何值时， l1与 l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合解：当 m0 时， l1： x60， l2： x0， l1 l2.当 m2 时， l1： x4 y60， l2：3 y20， l1与 l2相交当 m0 且 m
19、2 时，由 得 m1 或 m3，1m 2 m23m由 ，得 m3.1m 2 62m故(1)当 m1 且 m3 且 m0 时， l1与 l2相交(2)当 m1 或 m0 时， l1 l2.(3)当 m3 时， l1与 l2重合19(本小题满分 12 分)直线 l 在两坐标轴上的截距相等，且 P(4,3)到直线 l 的距离为 3 ，求直线 l 的方程2解：若 l 在两坐标轴上截距为 0，设 l： y kx，即 kx y0，则 3 .|4k 3|1 k2 2解得 k6 .3214此时 l 的方程为 y x；( 63214)若 l 在两坐标轴上截距不为 0，设 l： 1，即 x y a0，则 3 .x
20、a ya |4 3 a|12 12 2解得 a1 或 13.此时 l 的方程为 x y10 或 x y130.综上，直线 l 的方程为y x 或 x y 10 或 x y130.( 63214)20(本小题满分 12 分)如图，已知点 A(2,3)， B(4,1)， ABC 是以 AB 为底边的等腰三角形，点 C 在直线 l： x2 y20 上(1)求 AB 边上的高 CE 所在直线的方程；(2)求 ABC 的面积10解：(1)由题意可知， E 为 AB 的中点， E(3,2)，且 kCE 1，1kAB CE 所在直线方程为： y2 x3，即 x y10.(2)由Error! 得 C(4,3)
21、，| AC| BC|2， AC BC， S ABC |AC|BC|2.1221(本小题满分 12 分)已知 ABC 的顶点 A(3，1)， AB 边上的中线所在直线方程为6x10 y590， B 的平分线所在直线方程为 x4 y100，求 BC 边所在直线的方程解：设点 B 的坐标为(4 y110， y1)，则 AB 的中点坐标为 .(4y1 72 ， y1 12 ) AB 的中点在直线 6x10 y590 上，6 10 590，4y1 72 y1 12解得 y15， B(10,5)设点 A 关于直线 x4 y100 的对称点为 A( x， y)，则有Error! 解得Error! 即 A(1
22、,7)而 BC 边所在的直线经过点 A， B， BC 边所在直线的方程为 ，y 75 7 x 110 1整理得 2x9 y650.22(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的长为 2，宽为1， AB， AD 边分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上， A 点与坐标原点重合，如图，将矩形折叠，使A 点落在线段 DC 上(1)若折痕所在直线的斜率为 k，试求折痕所在直线的方程；(2)当2 k0 时，求折痕长的最大值3解：(1)当 k0 时， A 点与 D 点重合，折痕所在的直线方程为 y .12当 k0 时，将矩形折叠后 A 点落在线段 DC 上的点记为 G(a,1)， A
23、与 G 关于折痕所在的直线对称，有 kOGk1 k1 a k.1a故 G 点坐标为( k,1)，11从而折痕所在直线与 OG 的交点坐标(即线段 OG 的中点)为 M .(k2， 12)故折痕所在的直线方程为 y k ，即 y kx .12 (x k2) k22 12由得折痕所在的直线方程为 y kx .k22 12(2)当 k0 时，折痕的长为 2.当2 k0 时，折痕所在直线交直线 BC 于点3E ，交 y 轴于点 N .(2， 2kk22 12) (0， k2 12 )则| NE|22 2 244 k244(74 )3216 .k2 12 (2k k22 12) 3 3此时，折痕长度的最大值为 2( )32 163 6 2而 2( )2，6 2故折痕长度的最大值为 2( )6 212
