1、1第 2 课时 两条直线平行与垂直的判定核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材 P86P 89，回答下列问题：(1)观察教材图 3.17，设对于两条不重合的直线 l1与 l2，其倾斜角分别为 1与 2，斜率分别为 k1、 k2，若 l1 l2， 1与 2之间有什么关系？ k1与 k2之间有什么关系？提示： 1与 2之间的关系为 1 2；对于 k1与 k2之间的关系，当 1 290时， k1 k2，因为 1 2，所以 tan_ 1tan_ 2，即 k1 k2.当 1 290时， k1、 k2不存在(2)观察教材图 3.110，设直线 l1与 l2的倾斜角分别为 1与 2，斜率分别为k
2、1、 k2，且 1 2，若 l1 l2， 1与 2之间有什么关系？为什么？提示： 2 190，因为三角形任意一外角等于不相邻两内角之和2归纳总结，核心必记(1)两直线平行的判定对于两条不重合的直线 l1， l2，其斜率分别为 k1， k2，有 k1 k2l1 l2.若直线 l1和 l2可能重合时，我们得到 k1 k2l1 l2或 l1与 l2重合若直线 l1和 l2的斜率都不存在，且不重合时，得到 l1 l2.(2)两直线垂直的判定如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于1；反之，如果它们的斜率之积等于1，那么它们垂直，即 l1 l2k1k21.若两条直线中的一条直线没有斜
3、率，另一条直线的斜率为 0 时，它们互相垂直问题思考(1)若两条直线平行，斜率一定相等吗？提示：不一定，垂直于 x 轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在(2)若两条直线垂直，它们的斜率之积一定为1 吗？提示：不一定，如果两条直线 l1， l2中的一条与 x 轴平行(或重合)，另一条与 x 轴垂直(也即与 y 轴平行或重合)，即两条直线中一条的倾斜角为 0，另一条的倾斜角为 90，2从而一条直线的斜率为 0，另一条直线的斜率不存在，但这两条直线互相垂直课前反思通过以上预习，必须掌握的几个知识点(1)怎样判定两条直线平行？；(2)怎样判断两条直线垂直？.思考 对两直线平行与斜率的关系要注意哪几点？
4、名师指津：对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点：(1)l1 l2k1 k2成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在； l1与 l2不重合(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时， l1与 l2的倾斜角都是 90，则 l1 l2.(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：l1 l2k1 k2或 l1， l2斜率都不存在 讲一讲1根据下列给定的条件，判断直线 l1与直线 l2的位置关系(1)l1经过点 A(2,1)， B(3,5)， l2经过点 C(3，3)， D(8，7)；(2)l1的倾斜角为 60， l2经过点 M(3,2 )， N(2，3 )3 3尝试解答 (1)由题意知 k1 ， k2 .
5、5 1 3 2 45 7 38 3 45因为 k1 k2，且 A， B， C， D 四点不共线，所以 l1 l2.(2)由题意知 k1tan 60 ， k2 .3 33 23 2 3 3因为 k1 k2，所以 l1 l2或 l1与 l2重合判断两条直线是否平行的步骤3 练一练1试确定 m 的值，使过点 A(m1,0)， B(5， m)的直线与过点 C(4,3)， D(0,5)的直线平行解：由题意直线 CD 的斜率存在，则与其平行的直线 AB 的斜率也存在 kAB ， kCD ，由于 AB CD，所以 kAB kCD，即m 0 5 m 1 m 6 m 5 30 4 12 ，得 m2.经验证 m2
6、 时直线 AB 的斜率存在，所以 m2.m 6 m 12思考 对两直线垂直与斜率的关系应注意什么？名师指津：对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点：(1)l1 l2k1k21 成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在； k10 且k20.(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直(3)判定两条直线垂直的一般结论为： l1 l2k1k2 1 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零 讲一讲2已知直线 l1经过点 A(3， a)， B(a2，3)，直线 l2经过点 C(2,3)， D(1， a2)，如果 l1 l2，求 a 的值尝试解答 设直线 l1
7、， l2的斜率分别为 k1， k2.直线 l2经过点 C(2,3)， D(1， a2)，且 21， l2的斜率存在当 k20 时， a23，则 a5，此时 k1不存在，符合题意当 k20 时，即 a5，此时 k10，由 k1k21，得 1，解得 a6. 3 aa 2 3 a 2 3 1 24综上可知， a 的值为 5 或6.利用斜率公式来判定两直线垂直的方法(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式(3)三求：计算斜率的值，进行判断尤其是点的坐标中含有
8、参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论 练一练2已知定点 A(1,3)， B(4,2)，以 A、 B 为直径作圆，与 x 轴有交点 C，则交点 C 的坐标是_解析：以线段 AB 为直径的圆与 x 轴的交点为 C，则 AC BC.设 C(x,0)，则kAC ， kBC ， 3x 1 2x 4所以 1，得 x1 或 2， 3x 1 2x 4所以 C(1,0)或(2,0)答案：(1,0)或(2,0) 讲一讲3已知 A(4,3)， B(2,5)， C(6,3)， D(3,0)四点，若顺次连接 A， B， C， D 四点，试判定图形 ABCD 的形状(链接教材 P89例 6)思路点拨 画出图形，通过求四条
9、边所在直线的斜率，分析它们之间的关系判断图形形状尝试解答 由题意知 A， B， C， D 四点在坐标平面内的位置，如图所示，5由斜率公式可得 kAB ，5 32 4 13kCD ， kAD 3，0 3 3 6 13 0 3 3 4kBC .3 56 2 12所以 kAB kCD，由图可知 AB 与 CD 不重合，所以 AB CD.由 kAD kBC，所以 AD 与 BC 不平行又因为 kABkAD (3)1，13所以 AB AD，故四边形 ABCD 为直角梯形利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 练一练3已知 A(0,3)， B(1,0)， C(3,0)，求 D 点的坐标，使四边形 ABC
10、D 为直角梯形(A， B， C， D 按逆时针方向排列)解：设所求点 D 的坐标为( x， y)，如图，由于 kAB3， kBC0， kABkBC01，即 AB 与 BC 不垂直，6故 AB， BC 都不可作为直角梯形的直角腰若 AD 是直角梯形的直角腰，则 AD AB， AD CD. kAD ， kCD ，y 3x yx 3由于 AD AB， 31.y 3x又 AB CD， 3.yx 3解两式可得Error!此时 AD 与 BC 不平行若 DC 为直角梯形的直角腰，则 DC BC，且 AD BC. kBC0， DC 的斜率不存在故 x3，又 AD BC，则 y3.故 D 点坐标为(3,3)综
11、上可知，使四边形 ABCD 为直角梯形的点 D 的坐标可以为(3,3)或 .(185， 95)课堂归纳感悟提升1本节课的重点是理解两条直线平行或垂直的判定条件，会利用斜率判断两条直线平行或垂直，难点是利用斜率判断两条直线平行或垂直2本节课要重点掌握的规律方法(1)判断两条直线平行的步骤，见讲 1.(2)利用斜率公式判断两条直线垂直的方法，见讲 2.(3)判断图形形状的方法步骤，见讲 3.3本节课的易错点是利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论，如讲 2.课下能力提升(十六)学业水平达标练题组 1 两条直线平行的判定及应用71若 l1与 l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分
12、别是 1、 2，斜率分别为k1、 k2，有下列命题：若 l1 l2，则斜率 k1 k2；若 k1 k2，则 l1 l2；若 l1 l2，则倾斜角 1 2；若 1 2，则 l1 l2.其中真命题的个数是( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个解析：选 C 错，两直线不一定有斜率2已知过 A(2， m)和 B(m,4)的直线与斜率为2 的直线平行，则 m 的值是( )A8 B0 C2 D10解析：选 A 由题意可知， kAB 2，所以 m8.4 mm 23过点 A(1,3)和点 B(2,3)的直线与直线 y0 的位置关系为_解析：直线 y0 的斜率为 k10，过 A(1,3)， B(2,3)的
13、直线的斜率k2 0, 两条直线平行3 3 2 1答案：平行4已知 ABC 中， A(0,3)、 B(2，1)， E、 F 分别为 AC、 BC 的中点，则直线 EF 的斜率为_解析： E、 F 分别为 AC、 BC 的中点， EF AB. kEF kAB 2. 1 32 0答案：2题组 2 两条直线垂直的判定及应用5(2016淄博高一检测)直线 l1， l2的斜率是方程 x23 x10 的两根，则 l1与 l2的位置关系是( )A平行 B重合C相交但不垂直 D垂直解析：选 D 设 l1， l2的斜率分别为 k1， k2，则 k1k21.6若不同两点 P、 Q 的坐标分别为( a， b)，(3
14、b,3 a)，则线段 PQ 的垂直平分线的斜率为_解析：由两点的斜率公式可得： kPQ 1，所以线段 PQ 的垂直平分线的斜率3 a b3 b a为1.8答案：17已知直线 l1 l2，若直线 l1的倾斜角为 30，则直线 l2的斜率为_解析：由题意可知直线 l1的斜率 k1tan 30 ，33设直线 l2的斜率为 k2，则 k1k21， k2 .3答案： 3题组 3 两条直线平行与垂直的综合应用8以 A(1,1)， B(2，1)， C(1,4)为顶点的三角形是( )A锐角三角形B钝角三角形C以 A 点为直角顶点的直角三角形D以 B 点为直角顶点的直角三角形解析：选 C kAB ， kAC ，
15、1 1 1 2 23 4 11 1 32 kABkAC1， AB AC， ABC 是以 A 点为直角顶点的直角三角形9已知直线 l1经过点 A(3， a)， B(a1,2)，直线 l2经过点 C(1,2)， D(2， a2)(1)若 l1 l2，求 a 的值(2)若 l1 l2，求 a 的值解：设直线 l2的斜率为 k2，则 k2 .2 a 21 2 a3(1)若 l1 l2，则直线 l1的斜率为 k1 ，所以 ，解得 a1 或 a6，2 aa 4 2 aa 4 a3经检验当 a1 或 a6 时， l1 l2.(2)若 l1 l2，当 k20 时，此时 a0， k1 ，不符合题意；当 k20
16、时， l112的斜率存在， k1 ，2 aa 4由 k1k21 得到 1，2 aa 4 ( a3)解得 a3 或 a4.10已知 A(1,0)， B(3,2)， C(0,4)，点 D 满足 AB CD，且 AD BC，试求点 D 的坐标解：设 D(x， y)，则 kAB 1， kBC ， kCD ， kDA .23 1 4 20 3 23 y 4x yx 1因为 AB CD， AD BC，9所以 kABkCD1， kDA kBC，即Error!解得Error! 即 D(10，6)能力提升综合练1下列说法正确的有( )若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；若 l1 l2，则 k1 k2；若两条
17、直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直；若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行A1 个 B2 个 C3 个 D4 个解析：选 A 若 k1 k2，则这两条直线平行或重合，所以错；当两条直线垂直于 x轴时，两条直线平行，但斜率不存在，所以错；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0 时，才有这两条直线垂直，所以错；正确2已知点 A(2，5)， B(6,6)，点 P 在 y 轴上，且 APB90，则点 P 的坐标为( )A(0，6) B(0,7)C(0，6)或(0,7) D(6,0)或(7,0)解析：选 C 由题意可设点 P 的坐标为
18、(0， y)因为 APB90，所以 AP BP，且直线 AP 与直线 BP 的斜率都存在又 kAP ， kBP ， kAPkBP1，即 y 52 y 6 6 y 521 ，解得 y6 或 y7.所以点 P 的坐标为(0，6)或(0,7)(y 66 )3(2016邯郸高一检测)若点 P(a， b)与 Q(b1， a1)关于直线 l 对称，则 l 的倾斜角为( )A135 B45 C30 D60解析：选 B kPQ 1， kPQkl1，a 1 bb 1 a l 的斜率为 1，倾斜角为 45.4已知点 A(2,3)， B(2,6)， C(6,6)， D(10,3)，则以 A， B， C， D 为顶点
19、的四边形是( )A梯形 B平行四边形C菱形 D矩形10解析：选 B 如图所示，易知 kAB ， kBC0， kCD ， kAD0. kBD ， kAC ，34 34 14 34所以 kAB kCD， kBC kAD， kABkAD0， kACkBD ，故 AD BC， AB CD， AB 与 AD 不垂312直， BD 与 AC 不垂直所以四边形 ABCD 为平行四边形5若 A(4,2)， B(6，4)， C(12,6)， D(2,12)，给出下面四个结论： AB CD； AB CD； AC BD； AC BD.其中正确的是_(把正确选项的序号填在横线上)解析： kAB ， kCD ， kAC
20、 ， kBD4，35 35 14 AB CD， AC BD.答案：6 l1过点 A(m,1)， B(3,4)， l2过点 C(0,2)， D(1,1)，且 l1 l2，则 m_.解析： l1 l2，且 k2 1， k1 1， m0.1 21 0 4 1 3 m答案：07直线 l1经过点 A(m,1)， B(3,4)，直线 l2经过点 C(1， m)， D(1， m1)，当l1 l2或 l1 l2时，分别求实数 m 的值解：当 l1 l2时，由于直线 l2的斜率存在，则直线 l1的斜率也存在，则 kAB kCD，即 ，解得 m3；当 l1 l2时，由于直线 l2的斜率存在且不为 0，则直线 l1
21、4 1 3 m m 1 m 1 1的斜率也存在，则 kABkCD1，即 1，解得 m .4 1 3 m m 1 m 1 1 92综上，当 l1 l2时， m 的值为 3；当 l1 l2时， m 的值为 .928已知 ABC 三个顶点坐标分别为 A(2，4)， B(6,6)， C(0,6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率解：由斜率公式可得 kAB ， kBC 0， kAC 5.6 46 2 54 6 66 0 6 40 211由 kBC0 知直线 BC x 轴， BC 边上的高线与 x 轴垂直，其斜率不存在设 AB、 AC 边上高线的斜率分别为 k1、 k2，由 k1kAB1， k2kAC1，即 k1 1， k251，54解得 k1 ， k2 .45 15 BC 边上的高所在直线的斜率不存在；AB 边上的高所在直线的斜率为 ；45AC 边上的高所在直线的斜率为 .1512
