1、1第一章 空间几何体考点 1 空间几何体的结构特征解答关于空间几何体结构特征的有关问题：一是要紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定二是通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可典例 1 给出下列四个命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等其中正确命题的个
2、数是( )A0 B1 C2 D3解析 2不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；正确；错误当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等答案 B对点训练1给出下列四个命题：有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱其中错误的命题的序号是_解析：认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故都不正确；中对等腰三角形
3、的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确；平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故也不正确答案：考点 2 三视图与直观图三视图和直观图是空间几何体的不同表现形式，空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质由空间几何体可以画出它的三视图，同样，由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化典例 2 (1)(2016威海模拟)将正方体(如图 1 所示)截去两个三棱锥，得到图 2 所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )(2)(2016郑州模拟)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )3解析 (1)图 2 所示的几何体的侧视图由点 A， D， B1，
4、 D1确定外形为正方形，判断的关键是两条对角线 AD1和 B1C 是一实一虚，其中要把 AD1和 B1C 区别开来，故选 B.(2)A，B 的正视图不符合要求，C 的俯视图显然不符合要求，故选 D.答案 (1)B (2)D对点训练2(2016汕尾模拟)一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图如图所示，则其侧视图为( )解析：选 C 根据一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图可得几何体的直观图为：直观图 侧视图所以侧视图如图所示.考点 3 空间几何体的体积与表面积几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的问题，如制作物体的下料问题、材料最省问题、相同材料容积最大问题，都涉
5、及表面积和体积的计算特别是特殊的柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用，对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在轴截面、底面圆的作用割补法、构造法是常用的技巧典例 3 (1)(2015重庆高考)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )4A. 2 B.13 136C. D.73 52(2)(2016合肥模拟)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A124 B1882 2C28 D208 2解析 (1)由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为 1 22 1 21 .12 13 136(2)由三视图可知该几何体是
6、底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图则该几何体的表面积为 S2 224222 4208 ，故选 D.12 2 2答案 (1)B (2)D对点训练3一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是( )A4 ，8 B4 ，5 5835C4( 1)， D8,8583解析：选 B 由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为 2，高为 2，侧面上的斜高为 ，所以 S 侧 4 4 ， V 222 .22 12 5 (1225) 5 13 834(2014天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.解析：该几何体是一个组合体，上半
7、部分是一个圆锥，下半部分是一个圆柱因为 V圆锥 2 22 ， V 圆柱 1 244，所以该几何体体积 V 4 .13 83 83 203答案：203（时间 120 分钟 满分 150 分）一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1斜四棱柱的侧面是矩形的面最多有( )A0 个 B1 个 C2 个 D3 个解析：选 C 本题考查四棱柱的结构特征，画出示意图即可2一个等腰三角形绕它的底边所在直线旋转 360 形成的曲面所围成的几何体是( )A球体B圆柱C圆台D两个共底面的圆锥组成的组合体解析：选 D 以等腰三角形的底边为旋转
8、轴，所得几何体是两个圆锥3如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )6解析：选 A 由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，即为梯形，且梯形两腰不能与底垂直4一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )解析：选 D 先观察俯视图，再结合正视图和侧视图还原为空间几何体由俯视图是圆环可排除 A，B，C，进一步将已知三视图还原为几何体，可得选项 D.5(2016长沙模拟)已知某几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )A. cm3 B. cm312 13C. cm3 D. cm316 112解析：选 C 根据三视图可知原几
9、何体是三棱锥，V Sh 111 (cm3)13 13 12 166已知某个几何体的三视图如图(正视图的弧线是半圆)，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的表面积是( )7A(36865)cm 2 B(36856)cm 2C(38656)cm 2 D(38665)cm 2解析：选 B 从该几何体的三视图可知，这个几何体是由两部分构成的，下部分是长方体，上部分是半个圆柱且长方体的三边长分别为 8 cm,10 cm,8 cm，半个圆柱的底面半径为 4 cm，高为 10 cm.所以其表面积为(36856) cm 2.7现在国际乒乓球赛的用球已由“小球”改为“大球” “小球”的直径为 38
10、mm， “大球”的直径为 40 mm，则“小球”的表面积与“大球”的表面积之比为( )A. B192019 20C19 220 2 D19 320 3解析：选 C 因为 S 小球 419 2， S 大球 420 2，所以 S 小球 S 大球 (419 2)(420 2)19 220 2.8若圆台两底面周长的比是 14，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是( )A. B. C1 D.12 14 39129解析：选 D 设上，下底半径分别为 r1， r2，过高中点的圆面半径为 r0，由题意得r24 r1， r0 r1，所以 .52 V上V下 r21 r1r0 r20r2 r2
11、r0 r20 391299如图，将一个正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则棱锥的体积与原正方体的体积之比为( )A13 B14C15 D16解析：选 D 设正方体的棱长为 a，则棱锥的体积 V1 aaa ，又正方体13 12 a36的体积 V2 a3，所以 V1 V216.10正六棱柱的底面边长为 2，最长的一条对角线长为 2 ，则它的表面积为( )58A4(3 4) B12( 2)3 3C12(2 1) D3( 8)3 3解析：选 B 如图所示，S12 2262212 2434 312( 2)311已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为 4，体积为
12、16，则这个球的表面积是( )A16 B20C24 D32解析：选 C 正四棱柱的底面积为 4，正四棱柱的底面的边长为 2，正四棱柱的底面的对角线为 2 ，正四棱柱的体对角线为 2 .而球的直径等于正四棱柱的体对角线，即2 62R2 ， R ， S 球 4 R224.6 612(2016南昌第一次模拟)已知正三角形 ABC 三个顶点都在半径为 2 的球面上，球心 O 到平面 ABC 的距离为 1，点 E 是线段 AB 的中点，过点 E 作球 O 的截面，则截面面积的最小值是( )A. B274C. D394解析：选 C 由题意知，正三角形 ABC 的外接圆半径为 ，则 AB3，过点22 12
13、3E 的截面面积最小时，截面是以 AB 为直径的圆，截面面积 S 2 .(32) 94二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13底面直径和高都是 4 cm 的圆柱的侧面积为_cm 2.解析：圆柱的底面半径为 r 42(cm)， S 侧 22416(cm 2)12答案：1614已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点， AH HB12， AB平面 ， H 为垂足， 截9球 O 所得截面的面积为 ，则球 O 的表面积为_解析：如图，设截面小圆的半径为 r，球的半径为 R，因为 AH HB12，所以OH R.由勾股定理，有 R2 r2 OH2，又由题意得 r2，则 r1，故
14、R21 2，13 (13R)即 R2 .由球的表面积公式，得 S4 R2 .98 92答案：9215(2015天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.解析：由题意得所求几何体为两个底面半径为 1，高为 1 的圆锥与底面半径为 1，高为2 的圆柱的组合体，所求几何体体积为 V2 1 211 22 .13 83答案：8316一块正方形薄铁片的边长为 4 cm，以它的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于_cm 3.解析：扇形的面积和圆锥的侧面积相等，根据公式即可算出底面半径 r，则容积易得即 2 r
15、 24，则 r1.14又母线长为 4 cm， h .42 12 15则 V r2h 1 2 .13 13 15 153答案：153三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1017(本小题满分 10 分)(2016天津和平区高一期中)已知四棱锥 PABCD，其三视图和直观图如图，求该四棱锥的体积解：由三视图知底面 ABCD 为矩形， AB2， BC4.顶点 P 在面 ABCD 内的射影为 BC 中点 E，即棱锥的高为 2，则体积 VPABCD SABCDPE 242 .13 13 16318(本小题满分 12 分)如图，在四边形 ABCD 中， DAB
16、90， ADC135，AB5， CD2 ， AD2，求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积2解：由已知得： CE2， DE2， CB5，S 表面 S 圆台侧 S 圆台下底 S 圆锥侧(25)52522 (604 )，2 2V V 圆台 V 圆锥 (2 25 2 )4 2 22 .13 2252 2 13 148319(本小题满分 12 分)如图，在底面半径为 2、母线长为 4 的圆锥中内接一个高为 的圆柱，求圆柱的表面3积解：设圆柱的底面半径为 r，高为 h.圆锥的高 h 2 ，42 22 3又 h ，3 ， r1.r2 23 323 S 表面积 2 S 底 S 侧 2
17、 r22 rh22 2(1 ).3 31120(本小题满分 12 分)如图，正方体 ABCDA B C D的棱长为 a，连接A C， A D， A B， BD， BC， C D，得到一个三棱锥求：(1)三棱锥 A BC D 的表面积与正方体表面积的比值；(2)三棱锥 A BC D 的体积解：(1) ABCDA B C D是正方体， A C A B A D BC BD C D a，2 S 三棱锥 4 ( a)22 a2， S 正方体 6 a2，34 2 3 .S三 棱 锥S正 方 体 33(2)显然，三棱锥 A ABD、 C BCD、 DA D C、BA B C是完全一样的， V 三棱锥 A B
18、C D V 正方体 4 V 三棱锥 A ABD a34 a2a13 12 .a3321(本小题满分 12 分)已知某几何体的俯视图是一个长为 8，宽为 6 的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为 8，高为 4 的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6，高为 4 的等腰三角形(1)求该几何体的体积 V；(2)求该几何体的侧面积 S.解：由题设可知，几何体是一个高为 4 的四棱锥，其底面是长、宽分别为 8 和 6 的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为 8、高为 h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为 6、高为 h2的等腰三角形，如图(1)几何体的体积 V S 矩形 h 6846
19、4.13 13(2)正侧面及相对侧面底边上的高 h1 5.42 32左、右侧面的底边上的高 h2 4 .42 42 212故几何体的侧面积 S2 85 64 4024 .12 12 2 222(本小题满分 12 分)(2016淄博高一检测)直三棱柱的高为 6 cm，底面三角形的边长分别为 3 cm,4 cm,5 cm，将棱柱削成圆柱，求削去部分体积的最小值解：如图所示，只有当圆柱的底面圆为直三棱柱的底面三角形的内切圆时，圆柱的体积最大，削去部分体积才能最小，设此时圆柱的底面半径为 R，圆柱的高即为直三棱柱的高 6 cm.因为在 ABC 中， AB3 cm， BC4 cm， AC5 cm，所以 ABC 为直角三角形根据直角三角形内切圆的性质可得 72 R5，所以 R1 cm，所以 V 圆柱 R2h6 (cm 3)而三棱柱的体积为 V 三棱柱 34636(cm 3)，12所以削去部分的体积为 3666(6)(cm 3)13
