1、1专题 19 等比数列一、 考纲要求：1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系二、概念掌握及解题上的注意点：1. 解决等比数列有关问题的两种常用思想1 方程的思想：等比数列中有五个量 a1， n， q， an， Sn，一般可以“知三求二” ，通过列方程组求关键量 a1和 q，问题可迎刃而解.2 分类讨论的思想：等比数列的前 n 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论，当 q1时， an的前 n 项和 Sn na1；当 q1 时， an的前 n 项和 Sn
2、 a1 1 qn1 q.a1 anq1 q2.等比数列的三种常用判定方法1 定义法：若 q q 为非零常数， nN * ，则 an是等比数列.an 1an2 等比中项法：若数列 an中， an0，且 a anan2 nN * ，则数列 an2n 1是等比数列.3 通项公式法：若数列通项公式可写成 an cqn c， q 均是不为 0 的常数，nN * ，则 an是等比数列.三、高考考题题例分析：例 1.（2018 课标卷 I） 记 Sn为数列a n的前 n 项和若 Sn=2an+1，则 S6= 【答案】632S 6= =63，故答案为：63例 2.（2018 课标卷 III）等比数列a n中，
3、a 1=1，a 5=4a3（1）求a n的通项公式；（2）记 Sn为a n的前 n 项和若 Sm=63，求 m【答案】 （1）a n=2n1 ，或 an=（2） n1（2）m=6（2）记 Sn为a n的前 n 项和当 a1=1，q=2 时，S n= = = ，由 Sm=63，得 Sm= =63，mN，无解；当 a1=1，q=2 时，S n= = =2n1，3由 Sm=63，得 Sm=2m1=63，mN，解得 m=6例 3.(2017 课标 II)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381盏灯，且
4、相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（）A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏【答案】B【解析】：设塔的顶层共有灯 x盏，则各层的灯数构成一个首项为 x，公比为 2 的等比数列，结合等比数列的求和公式有： 71238，解得 3，即塔的顶层共有灯 3盏，故选 B。例 4.(2016 浙江卷)设数列 an的前 n 项和为 Sn.若 S2=4， an+1=2Sn+1， nN *，则 a1=， S5=.【答案】 12【解析】： 21124, ,3aa，再由 1 1,() 3(2)nnnnnS a，又 213a，所以5533(),12.a例 5.(2016 高考新课标 1 卷)
5、设等比数列 na满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2 an的最大值为例 6.(2016 高考新课标 III)已知数列 na的前 n 项和 1nnSa，其中 0（I）证明 na是等比数列，并求其通项公式；（II）若 5312S ，求 4【答案】 （） 1)(1nna；（） 1【解析】: (1)证明：由题意得 a1 S11 a 1，故 1， a1 ，故 a1011 由 Sn1 a n， Sn1 1 a n1 得 an1 a n1 a n，即 an1 ( 1) a n由 a10， 0 得 an0，所以 an 1an 1因此 an是首项为 ，11 公比为 的等比数列， 1于是 an n
6、1 11 ( 1)(2)由(1)得 Sn1 n( 1)由 S5 得 1 5 ，即 5 3132 ( 1) 3132 ( 1) 132解得 1例 7(2015全国卷)在数列 an中， a12， an1 2 an， Sn为 an的前 n 项和若Sn126，则 n_.【答案】6 例 8(2017北京高考)若等差数列 an和等比数列 bn满足 a1 b11， a4 b48，则_.a2b2【答案】1 【解析】:设等差数列 an的公差为 d，等比数列 bn的公比为 q，则由 a4 a13 d，得 d 3，a4 a13 8 135由 b4 b1q3得 q3 8， q2.b4b1 8 1 1.a2b2 a1
7、db1q 1 3 1 2等比数列练习一、选择题1已知 an是等比数列， a22， a5 ，则公比 q ( )14A B2 C2 D12 12【答案】D 【解析】: 由通项公式及已知得 a1q2， a1q4 ，14由得 q3 ，18解得 q .故选 D122对任意等比数列 an，下列说法一定正确的是 ( )A a1， a3， a9成等比数列B a2， a3， a6成等比数列C a2， a4， a8成等比数列D a3， a6， a9成等比数列【答案】D【解析】: 由等比数列的性质得， a3a9 a 0，因此 a3， a6， a9一定成等比数列，选 D.263已知 an为各项都是正数的等比数列， S
8、n为其前 n 项和，且 S1010， S3070，那么S40( )A150 B2006C150 或200 D400 或50【答案】A 4.在等比数列 an中， a37，前 3 项和 S321，则公比 q 的值为 ( )A1 B12C1 或 D1 或12 12【答案】C 【解析】: 根据已知条件得Error!Error!得 3.1 q q2q2整理得 2q2 q10，解得 q1 或 q .125等比数列 an的各项均为正数，且 a5a6 a4a718，则 log3a1log 3a2log 3a10( )A12 B10C8 D2log 35【答案】B【解析】: 由等比数列的性质知 a5a6 a4a
9、79，所以log3a1log 3a2log 3a3log 3a10log 3(a1a2a3a10)log 3(a5a6)5log 39510，故选B.6已知等比数列 an的前 n 项和 Sn a3n1 b，则 ( )abA3 B1C1 D3【答案】A77设等比数列 an中，前 n 项和为 Sn，已知 S38， S67，则 a7 a8 a9等于 ( )A B18 18C D578 558【答案】A 【解析】: 因为 a7 a8 a9 S9 S6，且 S3， S6 S3， S9 S6也成等比数列，即8，1， S9 S6成等比数列，所以 8(S9 S6)1，即 S9 S6 .18所以 a7 a8 a
10、9 .188已知 Sn是等比数列 an的前 n 项和，若存在 mN *，满足 9， ，则数列S2mSm a2mam 5m 1m 1an的公比为 ( )A2 B2C3 D39.数学文化我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯 ( )A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏【答案】B8【解析】: (1)设塔的顶层的灯数为 a1，七层塔的总灯数为 S7，公比为 q，则由题意知S7381， q2， S7 381，解得 a13.a1
11、1 q71 q a1 1 271 2故选 B10.已知 an为各项都是正数的等比数列， Sn为其前 n 项和，且 S1010， S3070，那么S40 ( )A150 B200C150 或200 D400 或50【答案】A 【解析】:依题意， S10， S20 S10， S30 S20， S40 S30成等比数列，因此( S20 S10)2 S10(S30 S20)，即( S2010) 210(70 S20)，故 S2020 或 S2030.又 S200，因此S2030， S20 S1020，所以 S40 S30 S10 80， S40 S30( S40 S30)(S20 S10S10 )3
12、7080150.11已知各项不为 0 的等差数列 an满足 a6 a a80，数列 bn是等比数列，且27b7 a7，则 b2b8b11 ( )A1 B2C4 D8【答案】D【解析】:由等差数列的性质，得 a6 a82 a7由 a6 a a80，可得 a72，所以27b7 a72由等比数列的性质得 b2b8b11 b2b7b12 b 2 383712数列 an满足： an1 a n1( nN *， R 且 0)，若数列 an1是等比数列，则 的值等于 ( )A1 B1C D212【答案】D 【解析】:由 an1 a n1，得 an1 1 a n2 .由于数列 an1是等比(an2 )数列，所以
13、 1，得 2.2二、填空题13在等比数列 an中，若 a1a516， a48，则 a6_.9【答案】32【解析】: 由题意得， a2a4 a1a516， a22， q2 4， a6 a4q232.a4a214等比数列 an的各项均为实数，其前 n 项和为 Sn.已知 S3 ， S6 ，则74 634a8_. 15 数学文化九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半 ”如果墙足够厚，
14、Sn为前 n 天两只老鼠打洞长度之和，则 Sn_尺【答案】2 n 112n 1【解析】: 依题意大老鼠每天打洞的距离构成以 1 为首项，2 为公比的等比数列，所以前n 天大老鼠打洞的距离共为 2 n1.同理可得前 n 天小老鼠打洞的距离共1 1 2n1 2为 2 ，所以 Sn2 n12 2 n 1.12n 1 12n 1 12n 116已知正项数列 an满足 a 2 a anan1 ，若 a11，则数列 an的前 n 项和2n 1 2nSn_. 【答案】2 n1 10三、解答题17在公差不为零的等差数列 an中， a11， a2， a4， a8成等比数列(1)求数列 an的通项公式；(2)设
15、bn2 an， Tn b1 b2 bn，求 Tn. 【答案】(1) an n.(2) Tn 2 n1 2.2 1 2n1 2【解析】: (1)设等差数列 an的公差为 d，则依题意有Error!解得 d1 或 d0(舍去)， an1( n1) n.(2)由(1)得 an n， bn2 n， 2，bn 1bn bn是首项为 2，公比为 2 的等比数列， Tn 2 n1 2.2 1 2n1 218已知数列 an满足 a1 ， an1 10 an18999(1)证明数列 是等比数列，并求数列 an的通项公式；an19(2)数列 bn满足 bnlg ， Tn为数列 的前 n 项和，求证： Tn (an
16、19) 1bnbn 1 12【答案】(1) an10 n1 191119设等比数列 an的前 n 项和为 Sn， a1 a2 a326， S6728.(1)求数列 an的通项公式；(2)求证： S SnSn2 43 n.2n 1【答案】(1) an23 n1 .【解析】: (1)设等比数列 an的公比为 q，由 728226 得， S62 S3， q1.由已知得Error!解得Error! an23 n1 .(2)证明：由(1)可得 Sn 3 n1.2 1 3n1 3 Sn1 3 n1 1， Sn2 3 n2 1. S SnSn2 (3 n1 1) 2(3 n1)(3 n2 1)43 n.2n
17、 120.设数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 a11， Sn1 4 an2.(1)设 bn an1 2 an，证明：数列 bn是等比数列；(2)求数列 an的通项公式【答案】(2) an(3 n1)2 n2 .【解析】: (1)证明：由 a11 及 Sn1 4 an2，有 a1 a2 S24 a12. a25， b1 a22 a13.又Error!，得 an1 4 an4 an1 (n2)， an1 2 an2( an2 an1 )(n2) bn an1 2 an， bn2 bn1 (n2)，故 bn是首项 b13，公比为 2 的等比数列1221.设数列 的前 n 项和为 Sn， nN
18、*已知 a11， a2 ， a3 ，且当 n2 时，an32 544Sn2 5 Sn8 Sn1 Sn1 (1)求 a4的值；(2)证明： 为等比数列an 112an【答案】(1) a4 78【解析】: (1)当 n2 时，4 S45 S28 S3 S1，即 4 5 8 1，解得 a4 (132 54 a4) (1 32) (1 32 54) 78(2)证明：由 4Sn2 5 Sn8 Sn1 Sn1 (n2)，得 4Sn2 4 Sn1 Sn Sn1 4 Sn1 4 Sn(n2)，即 4an2 an4 an1 (n2)4 a3 a14 164 a2，544 an2 an4 an1 ， an 2 1
19、2an 1an 1 12an 4an 2 2an 14an 1 2an 4an 1 an 2an 14an 1 2an 2an 1 an2 2an 1 an ，1213数列 是以 a2 a11 为首项， 为公比的等比数列an 112an 12 1222已知数列 an满足 a15， a25， an1 an6 an1 (n2)(1)求证： an1 2 an是等比数列；(2)求数列 an的通项公式【答案】(2) an2(2) n1 3 n.(2)由(1)得 an1 2 an153 n1 53 n，则 an1 2 an53 n， an1 3 n1 2( an3 n)又 a132， an3 n0， an3 n是以 2 为首项，2 为公比的等比数列 an3 n2(2) n1 ，即 an2(2) n1 3 n.
