1、1专题 06 指数函数与对数函数一、 考纲要求：1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为 2,3,10， 的指数函数的图象.12 133.体会指数函数是一类重要的函数模型4.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.5.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10， 的对数函数的图象126.体会对数函数是一类重要的函数模型.7.了解指数函数 y a (a0，且 a1)与对数函
2、数 ylog ax(a0，且 a1)互为反函x 数二、概念掌握和解题上注意点：1. 指数函数图象的画法（判断）及应用方法1 ） 、画（判断）指数函数 y 的图象，应抓住三个关键点：（1 ， a ） ，(0,1) （0，1） ， .( 1，1a)2 ） 、与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象.2. 一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.3.与指数函数性质有关的问题类型与解题策略1 ） 、比较指数式的大小：能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.2
3、 ） 、解简单的指数方程或不等式：可先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解.3 ） 、探究指数型函数的性质：与研究一般函数的定义域、单调性区间 、奇偶性、最值 值域等性质的方法一致.4.利用对数函数的图象可求解的两类问题1 ） 、对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性区间、值域 最值、零点时，常利用数形结合思想求解.22 ） 、一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.5.利用对数函数的性质研究对数型函数性质，要注意以下四点：一是定义域；二是底数与1 的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定确保其等价性；四
4、是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，注意对数性质的正用、逆用、变形用.三、高考考题题例分析例 1.（2016 全国课标 I） 若 10abc， ,则（A） cab （B） c （C） loglbac （D） loglabc【答案】C考点：指数函数与对数函数的性质比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.例 2. (2017 天津，理 6)已知奇函数 ()fx在 R 上是增函数， ()gxf.若2(log5.1)a， 0.8(2)bg， 3cg，则 a， b， c 的大小关系为（
5、）（A） c（B） a（C） （D） bca【答案】 C 【解析】因为 ()fx是奇函数且在 R上是增函数，所以在 0x时， ()0fx，从而 ()g是 上的偶函数，且在 0,)上是增函数，22lo5.1(lg.)a， 0.8，又 48，则 2lo5.13，所以即 0.82log5.13，.2()(l.)(3g，所以 bac，故选 C【考点】 指数、对数、函数的单调性例 3.（2015 湖南理 2）设函数 ()ln1)l()fxx，则 ()f是（ ）3A.奇函数，且在 (0,1)上是增函数 B. 奇函数，且在 (0,1)上是减函数C. 偶函数，且在 上是增函数 D. 偶函数，且在 上是减函数【
6、答案】A.【考点定位】函数的性质.本题主要考查了以对数函数为背景的单调性与奇偶性，属于中档题，首先根据函数奇偶性的判定可知其为奇函数，判定时需首先考虑定义域关于原点对称是函数为奇函数的必要条件，再结合复合函数单调性的判断，即可求解.例 4(2016浙江高考)已知 a b1，若 logablog ba ， ab ba，则52a_， b_. 4 2 解析：log ablog balog ab ，1logab 52log ab2 或 . a b1，log ablog aa1，12log ab ， a b2. ab ba，( b2)b b ，12 b2 b2b b ，b2 2 b b2， b2， a4
7、.指数函数与对数函数练习题（时间：100 分钟，满分：120 分）一、选择题（每题 5 分，共 60 分）1函数 f(x)2 |x1| 的大致图象是( ) 4B 解析： f(x)Error!所以 f(x)的图象在1，)上为增函数，在(，1)上为减函数2已知 a2 0.2， b0.4 0.2， c0.4 0.6，则( )A a b c B a c bC c a b D b c aA 解析：由 0.20.6,0.41，并结合指数函数的图象可知 0.40.20.4 0.6，即 b c.因为a2 0.21， b0.4 0.21，所以 a b.综上， a b c.3函数 f(x) 的定义域是( )ln
8、x 31 2xA(3,0) B(3,0C(，3)(0，) D(，3)(3,0)A 解析：因为 f(x) ，所以要使函数 f(x)有意义，需使Error!即3 x0.ln x 31 2x4已知 f(x)3 x b(2 x4， b 为常数)的图象经过点(2,1)，则 f(x)的值域为( )A9,81 B3,9C1,9 D1，)5若函数 f(x) 是奇函数，则使 f(x)3 成立的 x 的取值范围为( ) 2x 12x aA(，1) B(1,0)C(0,1) D(1，)C 解析： f(x)为奇函数， f( x) f(x)，即 ，整理得( a1)(2 x2 x2)0，2 x 12 x a 2x 12x
9、 a a1， f(x)3，即为 3，2x 12x 1当 x0 时，2 x10，2 x132 x3，5解得 0 x1；当 x0 时，2 x10，2 x132 x3，无解 x 的取值范围为(0,1)6若函数 ylog ax(a0，且 a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )7已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， f(x)3 x m(m 为常数)，则 f(log 35)的值为( )A4 B4C6 D6B 解析：函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， f(0)0，即 30 m0，解得m1， f(log35)3log 3514， f(log 35) f(log35)4.8已
10、知 ylog a(2 ax)在区间0,1上是减函数，则 a 的取值范围是( )A(0,1) B(0,2)C(1,2) D2，)C 解析:因为 ylog a(2 ax)在0,1上单调递减， u2 ax(a0)在0,1上是减函数，所以 ylog au 是增函数，所以 a1.又 2 a0，所以 1 a2.9已知函数 f(x)( x a)(x b)(其中 a b)的图象如图所示，则函数 g(x) ax b 的图象是( )6C 解析：由函数 f(x)的图象可知，1 b0， a1，则 g(x) ax b 为增函数，当x0 时， g(0)1 b0，故选 C.10若函数 f(x)Error!是 R 上的减函数
11、，则实数 a 的取值范围是( )A B(23， 1) 34， 1)C D(23， 34 (23， )11(2017北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 1080.则下列各数中与 最接近的是( )MN(参考数据：lg 30.48)A10 33 B10 53C10 73 D10 93D 解析：由题意，lg lg lg 3361 lg 1080361lg 380lg MN 33611080103610.4880193.28.又 lg 103333，lg 10 5353，lg 10 7373，lg 10 9393，故与 最接近
12、的是 1093.MN故选 D.12设函数 f(x)定义在实数集上， f(2 x) f(x)，且当 x1 时， f(x)ln x，则有( )7A f f(2) f(13) (12)B f f(2) f(12) (13)C f f f(2)(12) (13)D f(2) f f(12) (13)C 解析：由 f(2 x) f(x)，得 f(1 x) f(x1)，即函数 f(x)图象的对称轴为直线x1，结合图象，可知 f f f(0) f(2)，故选 C.(12) (13)二、填空题（每题 5 分，共 20 分）13若函数 y( a21) x在 R 上为增函数，则实数 a 的取值范围是_a 或 a2
13、 2解析：由 y( a21) x在(，)上为增函数，得 a211，解得 a 或 a2.214已知函数 y4 ax9 1( a0 且 a1)恒过定点 A(m， n)，则 logmn_.解析：由于函数 y ax(a0 且 a1)恒过定点(0,1)，故函数 y4 ax9 1( a0 且12a1)恒过定点(9,3)，所以 m9， n3，所以 logmnlog 93 .1215.当 x(，1时，不等式( m2 m)4x2 x0 恒成立，则实数 m 的取值范围是_16.若 loga 1( a0，且 a1)，则实数 a 的取值范围是348(1，)(0，34)解析：当 0 a1 时，log a log aa1
14、，0 a ；34 34当 a1 时，log a log aa1， a1.34即实数 a 的取值范围是 (1，)(0，34)三、解答题（每题 10 分，共 40 分）17已知函数 f(x) ， a 为常数，且函数的图象过点(1,2)(12)ax (1)求 a 的值；(2)若 g(x)4 x2，且 g(x) f(x)，求满足条件的 x 的值18设 f(x)log a(1 x)log a(3 x)(a0， a1)，且 f(1)2.(1)求 a 的值及 f(x)的定义域；(2)求 f(x)在区间 上的最大值0，32解 (1) f(1)2，log a42( a0， a1)， a2.由Error!得 x(
15、1,3)，函数 f(x)的定义域为(1,3)(2)f(x)log 2(1 x)log 2(3 x)log 2(1 x)(3 x)log 2( x1) 24，当 x(1,1时， f(x)是增函数；当 x(1,3)时， f(x)是减函数，9故函数 f(x)在 上的最大值是 f(1)log 242.0，3219已知函数 f(x) bax(其中 a， b 为常数， a0，且 a1)的图象经过点 A(1,6)，B(3,24)(1)求 f(x)的表达式；(2)若不等式 m0 在 x(，1时恒成立，求实数 m 的取值范围. (1a)x (1b)x 14已知函数 f(x)log 2 (a 为常数)是奇函数1
16、axx 1(1)求 a 的值与函数 f(x)的定义域；(2)若当 x(1，)时， f(x)log 2(x1) m 恒成立求实数 m 的取值范围解 (1)因为函数 f(x)log 2 是奇函数，1 axx 1所以 f( x) f(x)，所以 log2 log 2 ，1 ax x 1 1 axx 1即 log2 log 2 ，ax 1x 1 x 11 ax所以 a1，令 0，1 xx 1解得 x1 或 x1，所以函数的定义域为 x|x1 或 x1(2)f(x)log 2(x1)log 2(1 x)，当 x1 时， x12，所以 log2(1 x)log 221.因为 x(1，)， f(x)log 2(x1) m 恒成立，10所以 m1，所以 m 的取值范围是(，1
