1、1专题 09 导数意义及导数运算一、 考纲要求:1.了解导数概念的实际背景2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能根据导数的定义求函数 y C(C为常数)， y x， y ， y y x3， y 的导数.1x x4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如 f(ax b)的复合函数)的导数二、概念掌握及解题上的注意点：1奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数2 (f(x)0)1f x f xf x 23 af(x) bg(x) af( x) bg( x)4函数 y f(x)的导数
2、 f( x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小| f( x)|反映了变化的快慢，| f( x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡” 5.求函数导数的一般原则如下1 ） 遇到连乘的形式，先展开化为多项式形式，再求导.2 ） 遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导.3 ） 遇到复杂分式，先将分式化简，再求导.4）.复合函数求导，应先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理.6.求函数图象的切线方程的注意事项:1 ） 首先应判断所给点是不是切点，如果不是，需将切点设出.2 ） 切点既在函数的图象上，也在切线上，可将切点代入两者的解析式建立方程组.3 ） 在切点
3、处的导数值对应切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件.4 ） 曲线上一点处的切线与该曲线并不一定只有一个公共点.5 ） 当曲线 y=f(x)在点 , )处的切线垂直于 x轴时，函数在该点处的导数不存在，(0切线方程是 x x0.三、高考考题题例分析：例 1.（2018 全国卷）设函数 f（x）=x 3+（a1）x 2+ax若 f（x）为奇函数，则曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（ ）Ay=2x By=x Cy=2x Dy=x解析：函数 f（x）=x 3+（a1）x 2+ax，若 f（x）为奇函数，2可得 a=1，所以函数 f（x）=x 3+x，可得 f（x）=3x 2+1，曲线
4、y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x故选：D例 2.（2018 全国卷 II）曲线 y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 解析：y=2ln（x+1） ，y= ，当 x=0时，y=2，曲线 y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 y=2x故答案为：y=2x例 3.（2018 全国卷）曲线 y=（ax+1）e x在点（0，1）处的切线的斜率为2，则 a= 3 例 4.(2017全国卷)曲线 y x 在点(1,2)处的切线方程为_2 1xx y10 解析： y2 x ， y| x1 1，1x2即曲线在点(1,2
5、)处的切线的斜率 k1，切线方程为 y2 x1，即 x y10.例 5.(2016全国卷)已知 f(x)为偶函数，当 x0时， f(x) f( x)ln x3 x，所以 f( x) 3，则 f(1)2.所以 y f(x)在点(1，3)处的切线方程为 y32( x1)，1x即 y2 x1.3例 6.(2017天津高考)已知 aR，设函数 f(x) axln x的图象在点(1， f(1)处的切线为 l，则 l在 y轴上的截距为_解析： f( x) a ， f(1) a1.1x又 f(1) a，切线 l的斜率为 a1，且过点(1， a)，切线 l的方程为 y a( a1)( x1)令 x0，得 y1
6、，故 l在 y轴上的截距为 1.导数意义及导数运算练习一、 选择题1函数 f(x)( x2 a)(x a)2的导数为( )A2( x2 a2) B2( x2 a2)C3( x2 a2) D3( x2 a2)C 解析： f(x)( x2 a)(x a)2 x33 a2x2 a3， f( x)3( x2 a2) 2曲线 f(x)2 xe x与 y轴的交点为 P，则曲线在点 P处的切线方程为( )A x y10 B x y10C x y10 D x y103已知函数 f(x)的导函数为 f( x)，且满足 f(x)2 xf(1)ln x，则 f(1)等于( )Ae B1 C1 De4B 解析： 由
7、f(x)2 xf(1)ln x，得 f( x)2 f(1) ，1x f(1)2 f(1)1，则 f(1)1. 4曲线 y xex2 x1 在点(0，1)处的切线方程为( )A y3 x1 B y3 x1C y3 x1 D y3 x1A 解析：由题意得 y( x1)e x2，则曲线 y xex2 x1 在点(0，1)处的切线的斜率为(01)e 023，故曲线 y xex2 x1 在点(0，1)处的切线方程为y13 x，即 y3 x1.5若直线 y kx1 是函数 f(x)ln x图象的一条切线，则 k( )A B1e2 1eCe De 2A 解析： 由 f(x)ln x，得 f( x) .设切点
8、为( x0，ln x0)，则Error!1x解得 x0e 2，则 k ，故选 A1x0 1e26.已知直线 y kx1 与曲线 y x3 mx n相切于点 A(1,3)，则 n( )A1 B1C3 D4C 解析：对于 y x3 mx n， y3 x2 m， k3 m，又 k13,1 m n3，可解得 n3.7已知 y f(x)是可导函数，如图，直线 y kx2 是曲线 y f(x)在 x3 处的切线，令 g(x) xf(x)， g( x)是 g(x)的导函数，则 g(3)( )A1 B0C2 D458.曲线 y1 在点(1，1)处的切线方程为( )2x 2A y2 x1 B y2 x1C y2
9、 x3 D y2 x29.若直线 y ax是曲线 y2ln x1 的一条切线，则实数 a( )Ae 12B2e 12Ce D2eB解析： 依题意，设直线 y ax与曲线 y2ln x1 的切点的横坐标为 x0，则有y| x x0 ，于是有Error!解得 x0 ， a 2e 2，选 B.2x0 e 2x010已知 f(x)ln x， g(x) x2 mx (m0)，直线 l与函数 f(x)， g(x)的图象都12 72相切，且与 f(x)图象的切点为(1， f(1)，则 m的值为( )A1 B3C4 D2D解析： f( x) ，1x直线 l的斜率为 k f(1)1，又 f(1)0，切线 l的方
10、程为 y x1.g( x) x m，设直线 l与 g(x)的图象的切点为( x0， y0)，6则有 x0 m1， y0 x01， y0 x mx0 ， m0，1220 72解得 m2.11曲线 ye 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A e2 B4e 292C2e 2 De 2D 解析：易知曲线 ye 在点(4，e 2)处的切线斜率存在，设其为 k. y e12， k e e2，切线方程为 ye 2 e2(x4)，令 x0，得 ye 2，令12 12 12y0，得 x2，所求面积为 S 2|e 2|e 2.1212已知 f(x)ln x， g(x) x2 mx (m
11、0)，直线 l与函数 f(x)， g(x)的图象都12 72相切，且与 f(x)图象的切点为(1， f(1)，则 m的值为( )A1 B3C4 D2二、填空题13(2016全国卷)若直线 y kx b是曲线 yln x2 的切线，也是曲线yln( x1)的切线，则 b_.1ln 2 解析：分别求出两个对应函数的导数，设出两个切点坐标，利用导数得到两个切点坐标之间的关系，进而求出切线斜率，求出 b的值求得(ln x2) ，ln( x1) .1x 1x 1设曲线 yln x2 上的切点为( x1， y1)，曲线 yln( x1)上的切点为( x2， y2)，则 k ，所以 x21 x1.1x1 1
12、x2 17又 y1ln x12， y2ln( x21)ln x1，所以 k 2，y1 y2x1 x2所以 x1 ， y1ln 22ln 2，1k 12 12所以 b y1 kx12ln 211ln 2.14已知函数 f(x) ax3 x1 的图象在点(1， f(1)处的切线过点(2,7)，则a_. 1 解析： f( x)3 ax21， f(1)3 a1.又 f(1) a2，切线方程为 y( a2)(3 a1)( x1)切线过点(2,7)，7( a2)3 a1，解得 a1.15曲线 y aln x(a0)在 x1 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 4，则a_.16设曲线 ye x在点(0,
13、1)处的切线与曲线 y (x0)上点 P处的切线垂直，则 P的1x坐标为_(1,1) 解析：函数 ye x的导函数为 ye x，曲线 ye x在点(0,1)处的切线的斜率 k1e 01.设 P(x0， y0)(x00)，函数 y 的导函数为 y ，曲线 y (x0)在点 P1x 1x2 1x处的切线的斜率 k2 .1x20易知 k1k21，即 1 1，解得 x 1，又 x00， x01.又点 P在曲(1x20) 20线 y (x0)上， y01，故点 P的坐标为(1,1)1x三、解答题817求下列函数的导数：(1)y xtan x；(2)y( x1)( x2)( x3)；(3)y .ln 2x
14、 1x解 (1) y( xtan x) xtan x x(tan x)tan x x tan x x(sin xcos x) cos2x sin2xcos2xtan x .xcos2x(2)y( x1)( x2)( x3) x36 x211 x6， y3 x212 x11.(3)y ln 2x 1x ln 2x 1 x x ln 2x 1x2 2x 1 2x 1 x ln 2x 1x22x2x 1 ln 2x 1x2 .2x 2x 1 ln 2x 1 2x 1 x218已知函数 f(x) x34 x25 x4.(1)求曲线 f(x)在点(2， f(2)处的切线方程；(2)求经过点 A(2，2)的曲线 f(x)的切线方程19已知函数 f(x) x32 x23 x(xR)的图象为曲线 C.139(1)求过曲线 C上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线 C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线 C的切点的横坐标的取值范围. 解 (1)由题意得 f( x) x24 x3，则 f( x)( x2) 211，即过曲线 C上任意一点切线斜率的取值范围是1，)(2)设曲线 C的其中一条切线的斜率为 k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，Error!解得1 k0 或 k1，故由1 x24 x30 或 x24 x31，得 x(，2 (1,3)2 ，)2 2
