1、1考查角度 1 用导数解决函数的单调性、极值与最值问题分类透析一 求函数的单调区间例 1 已知函数 f(x)=ax3+x2(aR)在 x=- 处取得极值 .43(1)确定 a 的值;(2)若 g(x)=f(x)ex,求函数 g(x)的单调减区间 .分析 (1)先求出函数的导数,然后把 x=- 代入可确定 a 的值;(2)先求出 g(x)的函数解43析式,再求导数,最后利用导数求单调性的方法求出单调递减区间 .解析 (1)对 f(x)求导得 f(x)=3ax2+2x,因为 f(x)在 x=- 处取得极值, f =0,43 (-43)即 3a +2 = - =0,解得 a= .169 (-43)1
2、6a3 83 12(2)由(1)得 g(x)= ex,(12x3+x2)故 g(x)= ex+ ex(32x2+2x) (12x3+x2)= ex= x(x+1)(x+4)ex.(12x3+52x2+2x) 12令 g(x)0,h (x)= -ax-2.12 1x若函数 h(x)在(0, + )上存在单调递减区间,则当 x0 时, -ax-2 - 有解 .1x 1x22x设 G(x)= - ,x0,aG (x)min.1x22x又 G(x)= -1,G (x)min=-1.(1x-1)2a- 1.即实数 a 的取值范围是( -1,+ ).(2)h (x)=lnx- ax2-2x 在1,4上单调
3、递减,12 当 x1,4时, h(x)= -ax-20 恒成立,1x则 a - 恒成立 .1x22x设 G(x)= - ,x1,4,1x22xa G(x)max.又 G(x)= -1,x1,4,(1x-1)2G (x)max=- (此时 x=4),a - .716 716故实数 a 的取值范围是 .-716,+ )方法技巧 1.已知函数的单调性,求参数的取值范围,应用条件 f(x)0(或 f(x)0),x( a,b)恒成立,求出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解),应注意参数的取值范围是 f(x)不恒等于 0 的参数的取值范围 .2.若函数 y=f(x)在区间( a,b)上不是单调
4、函数,则问题转化为 f(x)=0 在( a,b)上有解 .分类透析三 已知函数求极值(点)例 3 已知函数 f(x)=x-1+ (aR,e 为自然对数的底数) .aex(1)若曲线 y=f(x)在点(1, f(1)处的切线平行于 x 轴,求 a 的值;(2)求函数 f(x)的极值 .分析 运用导数的几何意义求出参数的值,求带有参数的函数的极值时,要注意分类讨论 .解析 (1)由 f(x)=x-1+ ,得 f(x)=1- .aex aex3又曲线 y=f(x)在点(1, f(1)处的切线平行于 x 轴,得 f(1)=0,即 1- =0,解得 a=e.ae(2)f(x)=1- ,aex 当 a0
5、时, f(x)0,f(x)为( - ,+ )上的增函数,所以函数 f(x)无极值 . 当 a0 时,令 f(x)=0,得 ex=a,即 x=lna,当 x( - ,lna)时, f(x)0.所以 f(x)在( - ,lna)上单调递减,在(ln a,+ )上单调递增 .故 f(x)在 x=lna 处取得极小值且极小值为 f(lna)=lna,无极大值 .综上,当 a0 时,函数 f(x)无极值;当 a0 时, f(x)在 x=lna 处取得极小值 lna,无极大值 .方法技巧 函数极值的两类热点问题(1)由函数极值求参数的值或取值范围 .已知函数极值,利用导数的几何意义求参数的值,利用极值点的
6、定义求参数的取值范围 .(2)求函数 f(x)的极值这类问题的一般解题步骤: 确定函数的定义域; 求导数 f(x); 解方程 f(x)=0,求出在函数定义域内方程的所有根; 列表检验 f(x)在 f(x)=0 的根 x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在 x0处取极大值,如果左负右正,那么 f(x)在 x0处取极小值 .分类透析四 利用导数求函数的最值例 4 已知函数 f(x)=lnx-ax(aR) .(1)求函数 f(x)的单调区间;(2)当 a0 时,求函数 f(x)在1,2上的最小值 .分析 (1)已知函数的解析式求单调区间,实质上是求导数 f(x)0,f(x)0),1x
7、当 a0 时, f(x)= -a0,即函数 f(x)的单调递增区间为(0, + ).1x 当 a0 时,令 f(x)= -a=0,可得 x= ;1x 1a4当 00;1a 1-axx当 x 时, f(x)= 0 时,函数 f(x)的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .(0,1a) (1a,+ )(2) 当 1,即 a1 时,函数 f(x)在区间1,2上是减函数,所以 f(x)的最小值是 f(2)1a=ln 2-2a. 当 2,即 0x,求 a 的取值范围 .5解析 (1)当 a=1 时, f(x)=x2-ln x-x,则 f(x)= .(2x+1)(x-1)x当 x(0,1)时, f(x)0.
8、所以 f(x)的最小值为 f(1)=0.(2)由 f(x)x,得 f(x)-x=x2-ln x-(a+1)x0.由于 x0,所以 f(x)x 等价于 x- a+1.lnxx令 g(x)=x- ,则 g(x)= .lnxx x2-1+lnxx2当 x(0,1)时, g(x)0.故 g(x)的最小值为 g(1)=1.故 a+10 时,解不等式 f(x)0;(2)当 a=0 时,求整数 t 的所有值,使方程 f(x)=x+2 在 t,t+1上有解 .解析 (1)因为 ex0,(ax2+x)ex0,所以 ax2+x0 .又因为 a0,所以不等式化为 x 0 .(x+1a)所以不等式 f(x)0 的解集
9、为 .-1a,0(2)当 a=0 时,方程为 xex=x+2,由于 ex0,所以 x=0 不是方程的解,所以原方程等价于 ex- -1=0.2x令 h(x)=ex- -1,2x则 h(x)=ex+ .2x2因为 h(x)0 对于 x( - ,0)(0, + )恒成立,所以 h(x)在( - ,0)和(0, + )内是单调递增函数 .又 h(1)=e-30,h(-3)=e-3- 0,13所以方程 f(x)=x+2 有且只有两个实数根且实数根分别在区间1,2和 -3,-2上,所以整数 t 的所有值为 -3,1.63.(2016 年天津卷,文 20 改编)已知函数 f(x)=x3+ax2-x+c,且
10、 a=f .(23)(1)求 a 的值;(2)求函数 f(x)的单调区间;(3)设函数 g(x)=f(x)-x3ex,若函数 g(x)在 -3,2上单调递增,求实数 c 的取值范围 .解析 (1)由 f(x)=x3+ax2-x+c,得 f(x)=3x2+2ax-1.当 x= 时,得 a=f =3 +2a -1,23 (23) (23)2 23解得 a=-1.(2)由(1)可知 f(x)=x3-x2-x+c,则 f(x)=3x2-2x-1=3 (x-1).(x+13)当 x 变化时, f(x),f(x)的变化情况如下表:x (-, -13)-13 (-13,1) 1 (1,+ )f(x)+ 0
11、- 0 +f(x) 极大值 极小值 所以 f(x)的单调递增区间是 和(1, + ),单调递减区间是 .(-, -13) (-13,1)(3)函数 g(x)=f(x)-x3ex=(-x2-x+c)ex,则 g(x)=(-2x-1)ex+(-x2-x+c)ex=(-x2-3x+c-1)ex.因为函数 g(x)在区间 -3,2上单调递增,所以 h(x)=-x2-3x+c-10 在区间 -3,2上恒成立 .又 h(x)min=h(2),所以 h(2)0,解得 c11,所以 c 的取值范围是11, + ).71.(孝感市七校教学联盟 2017 届高三上学期期末)已知函数 f(x)=x3-3ax-1(a
12、0) .(1)求 f(x)的单调区间;(2)若 f(x)在 x=-1 处取得极值,直线 y=m 与曲线 y=f(x)有三个不同的交点,求 m 的取值范围 .解析 (1)f(x)=3x2-3a.当 a0,f (x)在 R 上单调递增 .当 a0 时, f(x)=3(x+ )(x- ).a ax (- ,- )a - a(-, )a aa ( ,+ )af(x) + 0 - 0 +f(x) 极大值 极小值 f (x)在( - ,- )和( ,+ )上单调递增,在( - , )上单调递减 .a a a a(2)f(x)在 x=-1 处取得极值, f (-1)=0. 3-3a=0,a=1,f(x)=x
13、3-3x-1,f (x)极大值 =f(-1)=1,f(x)极小值 =f(1)=-3. 直线 y=m 与曲线 y=f(x)有三个交点, f (x)极小值 1 时, g(x)0,g(x)在(1, + )上是增函数 .所以 g(x)在(0, + )上的最小值为 g(1)=0,所以 f(x)0 恒成立,所以 f(x)的单调递增区间为(0,1)和(1, + ),无单调递减区间 .3.(天水市一中 2015 级 20172018 学年第二次模拟考试)已知函数 f(x)=ex- x2+ax.12(1)当 a-1 时,试判断函数 f(x)的单调性;(2)若 a0 时, g(x)0,g(x)在(0, + )上单调递增;当 x-1,所以 1+a0,即 f(x)0,所以函数 f(x)在 R 上单调递増 .(2)由(1)知 f(x)在1, + )上单调递増,因为 a1,则 h(x)=x(1-ex)0;当 x(1, + )时, f(x)0,g(x)为增函数 .所以 g(x)min=g(1)=2+k.由(1)得 f(x)max=f(1)=1,若关于 x 的方程 f(x)=ex-1+e1-x+k 有实数解,则 g(x)min f(x)max,即 2+k1,解得 k -1.所以 k 的取值范围为( - ,-1.
