1、课前练习,一、二元函数的极值,二、二元函数的最值,三、条件极值 拉格朗日乘数法,第六节 多元函数的极值,及其求法,问题的提出,实例：某商店卖两种牌子的果汁,本地牌子每瓶进价1元,外地牌子每瓶进价1.2元,店主估计,如果本地牌子的每瓶卖x元,外地牌子的每瓶卖y元，则每天可卖出70-5x+4y瓶本地牌子的果汁, 80+6x-7y 瓶外地牌子的果汁。问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？,每天的收益为,求最大收益即为求二元函数的最大值。,进价：1元,售价：x元,进价：1.2元,售价：y 元,收益：x -1元/瓶,收益：y -1.2元/瓶,一、二元函数的极值,播放,1、二元函数极值的定
2、义,极值是 1、局部概念 2、内部概念,(1),(2),(3),例1,例,例,2.二元函数取得极值的条件,证:,定义：仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.,解,可得驻点(0,0),而(x,y)(0,0)时, f(0,0)=03x2+4y2=f(x,y)，,所以f(0,0)=0是该函数的极小值。,解:由,可知,该函数在点(0,0)处的偏导数不存在。,但当(x,y)(0,0)时,有：,f (0,0) = 0 ,偏导数不存在的点可能是极值点,所以 f(0,0)= 0是该函数的极小值。,解:,可得唯一驻点(0,0),而该点的任一邻域内y=x与y=-x上, 总有:,所以驻点(0
3、,0)不是该函数的极值点。,f(x,-x)=- x20=f(0,0),f(x,x)= x20=f(0,0),问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,说明：,2. 极值既可能在驻点取得,也可能在偏导不存在点取得.,例如：,3. 可微函数的极值点一定是驻点，反之不然。,则f(x,y)在点(x0,y0)处是否取得极值的条件如下： B2 -AC0时有极小值； B2 -AC0时没有极值; B2 -AC=0时极值可能有也可能没有, 还需另作讨论.,定理2(充分条件)设z=f(x,y)在其驻点(x0,y0)的某邻域内连续且有一阶二阶连续偏导数, 又fx(x0,y0)=0, fy(x0,y0)=0.令,列表 如
4、右,解,最值是全局概念（可以包括边界，不等号含有等号）,与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求多元函数的最大值和最小值.,二、二元函数的最值,注意: 若已知函数有最大值（或最小值）且只有一个驻点时，则可以肯定驻点处的函数值即是实际问题的最值，不须再进行判别了。,解,如图,为什么舍去 x1 =0,解,由,无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.,引例：某商店卖两种牌子的果汁,本地牌子每瓶进价1元,外地牌子每瓶进价1.2元,店主估计,如果本地牌子的每瓶卖x元,外地牌子的每瓶卖y元，则每天可卖出 7-5x+4y瓶本地牌子的果汁, 7+6x-8y 瓶外地牌子的果汁。问：店主每天以
5、什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？,每天的收益为,求最大收益即为求二元函数的最大值。,进价：1元,售价：x元,进价：1.2元,售价：y 元,收益：x -1元/瓶,收益：y -1.2元/瓶,每天的收益为,令:,唯一驻点,此时要判断,三、条件极值 拉格朗日乘数法,实例:小王有200元钱, 他决定用来购买两种急需的物品:计算机磁盘和录音磁带, 设他购买x张磁盘, y盒录音磁带达到最佳效果,效果函数U(x,y)=lnx+lny, 每张磁盘8元, 每盒磁带10元, 问他如何分配这200元以达到最佳效果,无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件，如引例。,问题实质:求u(x,y)=ln
6、x+lny在条件8x+10y=200 下的极值,条件极值：对自变量有附加条件的极值。,目标函数,其中要求极值的函数称为目标函数；附加条件称为约束条件或约束方程。,即若 的极值问题称为无条件极值,若 ，且 满足 称为条件极值,约束条件,1、若能从约束条件中解出 x 或 y 代入目标函数中，此时条件极值就可以转化为无条件极值。,2、若解不出x或y，或者约束条件中自变量个数较多时，一般用拉格朗日乘数法,条件极值的解法：,例3 拟建造一个容积为18立方米的长方体无盖水池，已知侧面单位面积造价为底面 单位面积造价的四分之三，则如何设计水池的尺寸，才能使总造价最省？,解：,设水池的长、宽、高分别为x、y、
7、z米，侧面、底面单位面积造价分别为 ，则水池的总造价 S 为：,3a、4a（元）,可得唯一驻点（3，3）。,故（3，3）点是函数的极小值，实际问题总造价最小值是存在的， （3，3）点也是所求最小值点。此时,即水池长、宽、高分别为3米、3米、2米时，水池总造价最省。,拉格朗日乘数法,约束方程,拉格朗日乘数法解此问题的一般步骤为：,求出拉格朗日函数对 x,y 的一阶偏导数, 并令其等于0, 然后与约束条件联立为方程组：,以常数(称为“拉格朗日乘数”)乘约束方程中的(x,y)后与f(x,y)相加, 得拉格朗日函数：F(x,y,)=f(x,y)+(x,y),从中消去,解出x、y,得到驻点(x,y)。,
8、判断(x,y)是否为极值点,在实际问题中,往往(x,y)就是所求的极值点。,乘数法的推广(条件与自变量均多于两个的情况),解：,解,则,此题即是求在 x + y + z =12条件下 u 的最大值,补例：应用实例：（洗衣漂洗问题）,设：漂洗次数、总水量一定，并假设每次漂洗脱水后，残存一个单位的污水，问每次用水量多少可使衣服最干净？,设共漂洗 n 次数、总水量为A，第 k 次漂洗，用水量为,则 （约束条件）,第n次漂洗后，污物浓度为,此时，残存的污物为,问题化为在约束条件 下函数 的最大值,于是：,解之：,一、二元函数的极值,一、二元函数的极值,一、二元函数的极值,一、二元函数的极值,一、二元函数的极值,一、二元函数的极值,一、二元函数的极值,一、二元函数的极值,一、二元函数的极值,
