7.4曲线积分与路径的无关性,一、曲线积分与路径无关的定义,设D是开区域，,在D内具有一阶连续偏导数.,如果D内任意两个指定点A, B,以及在D内从点A到点B的任,意两条曲线L1，L2有：,恒成立，,则称曲线积分 在D内与路径无关,二、曲线积分与路径无关的条件,证 必要性,与路径无关，,充分性,设沿任何闭曲线的积分,任取过A, B的闭曲线 L 则,证 充分性,必要性,解,原积分与路径无关,例1 计算 .其中L,为由点 到点 的曲线弧 .,故 原式,解,例2 设曲线积分 与路径无关,其中 具有连续的导数, 且 , 计算:,积分与路径无关，,故,所以在不包含原点的单连通区域内曲线积分,与路径无关.,三、全微分,当条件满足时，函数u(x , y)(不计一常数)可由,曲线积分求出，其形式为：,应用曲线积分与路径无关.,可得通解如下：,通解为：,或,解,是全微分方程,例5,原方程的通解为,例6,解,整理得,A. 用曲线积分法:,B. 凑微分法:,C .不定积分法:,原方程的通解为,综上所述，可得如下四个等价条件：,
