1、 http:/直角三角形的边角关系复习导航一、复习目标1.进一步理解锐角三角函数的概念，并能够通过实例进行说明.2.能够进行含有 30、45、60角的三角形函数值的计算.3.能够借助计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，或由已知三角函数值求出相应的锐角.4.能够运用直角三角形的边角关系，解决与直角三角形有关的实际问题，加强学生的数学应用意识，使学生进一步体会到三角函数是解决实际问题的有效工具.5.体会数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的数形分析问题和解决问题.二、重点、难度重点：锐角三角函数的概念、勾股定理及直角三角形的解法.难点：锐角三角函数之间的关系及直角三角形的边角关系的实际应用.三、
2、知识要点回顾1.在直角三角形中，一个锐角的_与_的比叫做这个锐角的正弦.锐角 A 的正弦记作_.2.在直角三角形中，一个锐角的_与_的比叫做这个锐角的余弦.锐角 A 的余弦记作_.3.在直角三角形中，一个锐角的_与_的比叫做这个锐角的正切.锐角 A 的正切记作_.4特殊角的三角函数值.三角函数 30 45 60sincota5.直角三角形中的常用关系式：在 Rt ABC 中，C=90 ，则有：（1）三边之间的关系：_（勾股定理） ；（2）两锐角之间的关系：_；（3）边角之间的关系：sinA=_= ，sinB=_= ，cosA=_= ，cosB=_=_ ，tanA=_cacbcb_= ，tanB
3、=_=_.ba6.视线与水平线方向的夹角中，视线在水平线_的角叫做仰角，视线在水平线_的角叫做俯角.7.如图 1，把_与_的夹角叫做坡角（如图 1 中 的 ）.坡面的_与_的比叫做坡度（也叫坡比） ，用字 母表示为i=_.8.应用直角三角形的边角关系来解决实际问题时，要注意：（1）在解直角三角形时，是用三角函数知识，通过数值计算， 去求出图形中的某些边的长度或角的大小，这是数形结合的一种形式，所以在分析问题时，一般先根据已知条件作出它的平面或截面示意图，按照图中_之间的关系进行计算，这样可以帮助我们思考，防止出错.（2）有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线把它们分割成一些_三角形和
4、矩形，从而转化为_三角形的问题来解决.（3）在优选公式时，尽量利用已知数据，避免“一错再错”和“累积误差” ，并要按照题目中已知数据的精确到进行近似计算.四、中考考点归纳lh图 1http:/以下试题均为 2009 年中考试题考点 1：锐角三角形函数的定义例 1 （浙江省湖州市）如图 1，在 中，ACB=90 ，RtABC ，1BC，则下列结论正确的是（ ）2ABA. B. C. D.3sintan2A3cos2tan3分析：因为 BC=1，AB=2 ，所以由勾股定理可得 AC= .故有 sinA= =AB，tanA= ，cosB= ，tanB= .2131ACB21ABC31解：选 D.点评
5、：解决这类问题的关键是正确理解锐角三角函数的概念，找准对边、邻边和斜边.考点 2：特殊锐角的三角函数值例 2 (浙江省义乌市) 计算 2()tan45cos60。 。分析：把题目中的三角函数值用实数表示出来，转化为实数的运算.解：原式=4+1-2 =4.21点评：本题主要考查特殊角的三角函数值.熟练掌握 30、45、60三个特色锐角的三角函数值是正确解答这类问题的关键.为了保证运算结果的正确，必须熟练记清楚特殊角的三角函数值，避免混淆.最好不要寄希望于用到的时候临时推导，那样做会浪费宝贵的时间，也容易出错.考点 3：与锐角三角函数相关的计算例 3 （陕西省）如图 2 在梯形 ABCD 中，DC
6、AB，DA=CB ，若 AB=10，DC=4，tanA=2，则这个梯形 的面积是_.分析：分别过 D、C 作梯形的高 DE、CF.则易知EF=DC=4.AE=BF= （AB-EF）=3.则 RtADE 中，因为21 tanA= =2，AED所以 DE=6.所以梯形 ABCD 的面积= （4+10 ）6=42.21解：填 42.点评：本题考查直角三角形的有关知识.解决这类问题的关键在于构造直角三角形以便于利用已知的三角函数值求解.考点 4：直角三角形边角关系的实际应用例 4 （山东省烟台市）腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑（如图 3）.为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点 C，利用三角
7、板测得雕塑顶端 A 点的仰角为 30，底部 B 点的俯角为 45，小华在五楼找到一点 D，利用三角板测得 A 点的俯角为 60（如图 3）.若已知 CD 为 10 米，请求出雕塑 AB 的高度 （结果精确到 0.1 米，参考数据 317.） 分析：要求出雕塑 AB 的高度，可过点 C 作 CEAB，构造出两个直角三角形，再根据已知设法求出AE、BE 的长即可.解：过点 C作 EB 于 90639036DAD， ，ADCBA图 3BCA图 1A BCD图 2E Fhttp:/1052CDACD，在 RtE 中，sinsin302，5cocoAA，在 tBC 中，45tan432EE，53(1)6
8、.82ABE （米）所以，雕塑 A的高度约为 6.8 米点评：这类问题的解题思路是构筑直角三角形模型，将所求的量的线段分开来求，再将其相加减，或者将两个直角三角形联系起来，通过列方程求解.例 5 （济宁市） 坐 落 在 山 东 省 汶 上 县 宝 相 寺 内 的 太 子 灵 踪 塔 始 建 于 北 宋 （ 公 元 1112 年 ） ， 为 砖彻 八 角 形 十 三 层 楼 阁 式 建 筑 .数 学 活 动 小 组 开 展 课 外 实 践 活 动 ， 在 一 个 阳 光 明 媚 的 上 午 ， 他 们 去 测 量 太子 灵 踪 塔 的 高 度 ， 携带 的 测 量 工 具 有 ： 测 角 仪 、
9、 皮 尺 、 小 镜 子 .（ 1） 小 华 利用测角仪和皮尺测量塔高. 图 4 为小 华 测量塔高的示意图.她先在塔前的平地上选择一点，用测角仪测出看塔顶 的仰角 ，在 点和塔之间选择一点 ，测出看塔顶 的仰角A()M35AB()M，然后用皮尺量出 、 两点的距离为 m,自 身的高度为 m.请你利用上述数据帮助小华计算45 AB18.61.6出塔的高度（ ，结果保留整数）.tan307（2）如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影 的长为 m（如图 5）,你能否利用这NPa一数据设计一个测量方案？如果能，请回答下列问题： 在你设计的测量方案中，选用的测量工具是: ； 要计算出塔的高
10、，你还需要测量哪些数据？ .分析：（1）设 CD 的延长线交 MN 于 E 点，则 MN 的长转化为 ME+EN，故只要求出 ME 的长即可.（2）是一道与方案设计有关的开放型问题，答案不唯一.解:（1）设 的延长线交 于 点， 长为 ，则 .CDMNxm(16)MExm , . .0451.6Ex1.687C , ,解得 .0tant35M0.745x太 子 灵 踪 塔 的高度为 .()N4m(2) 测角仪、皮尺； 站在 P 点看塔顶的仰角、自身的高度.(注：答案不唯一)ABCDN图4图 5Mhttp:/点评：在设计方案问题中，要充分考虑各个实际量，尽量测量地面上的量或塔一侧的量等容易测量的
11、，这样更能体现数学的价值.考点 5：与三角函数相关的综合题例 6 （浙江省嘉兴市）如图 5，已知一次函数 bkxy的图象经过 )1,2(A， )3,(B两点，并且交 x轴于点 C，交 y 轴于点 D，（1）求该一次函数的解析式；（2）求 Otan的值；（3）求证： 135AB分析：设法求出直线 AB 与 x 轴、y 轴的交点坐标，即可求出 tanOCD 的值.解：（1）由 ，解得 ，所以bk32354k354xy（2） ， 5(0)4C， ()D，在 OCD 中， ， ，Rt35O4C tan（3）取点 A 关于原点的对称点 ，(21)E，则问题转化为求证 45BO由勾股定理可得， ， ，5OE10 ，22BEEOB 是等腰直角三角形 45 13A点评：本题以平面直角坐标系中的一次函数为主线，涉及三角函数、坐标等知识，解题过程中体现了数形结合、方程等重要的是数学思想方法，是对多种数学知识的综合考查.BDCAO11图 5yxE
