1、排列组合应用题解法,长春一中数学组 冯艳茹,从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.,从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。,1.排列的定义:,2.组合的定义:,3.排列数公式:,4.组合数公式:,排列与组合的关键是问题与次序有无关系。,5 加法原理和乘法原理：完成任务时是分类进行还是步进行。,例1：7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆中，问有多少不同的种法？,解一：分两步完成；,第一步选两葵花之外的花占据两端和中间的位置,第二步排其余的位置：,解二
2、：第一步由葵花去占位：,第二步由其余元素占位：,小结：当排列或组合问题中，若某些元素或某些位置有特殊要求 的时候，那么，一般先按排这些特殊元素或位置，然后再按排其它元素或位置，这种方法叫特殊元素（位置）分析法。,例2：要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单，如果舞蹈节目不排头，并且任何2个舞蹈节目不连排，则不同的排法有几种？,【图示】,解：5个独唱节目的排法是 ，,小结：当某几个元素要求不相邻时，可以先排没有条件限 制的元素，再将要求不相邻的元素按要求插入已排好元素 的空隙之中，这种方法叫插入法。,舞蹈不排在头一个节目，又需任何两个舞蹈不连排，只要把舞蹈节目，插入独唱节目的5个空隙中即可
3、，即舞蹈节目的排法是 ，,所以排法的种数 为 。,例3：某工厂制造的一台机器要按装一排8个不同的按钮，其中3个方按 钮一定要装在一起，而且红色方钮必在另两方钮中间，有多少种装法？,【图示】,解：先把三个方按钮排好，有 种排法，,小结：如果某几个元素必须相邻时，首先可以把这几个元 先进行排列，然后把这几个元素捆绑在一起看成一个元素， 再与其它元素进行排列，这种方法叫捆绑法。,然后把三个方按钮“捆绑”在一起看成一个按钮，与其余5个按钮相当于6个按钮排成一排，有 种排法，,所以共有 种装法。,例4：空间十个点A1，A2，A3，A10，其中A1，A2A5在同一平面内，此外再无三点共线四点共面，以这些点
4、为顶点，一共可以构成几个四面体？,A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8,A9,A10,【图示】,解：因为四面体需四个顶点组成所以在十个点中取四个点共 有 种方法。,小结：在排列或组合问题中“含”与“不含”的问题，经常先 把所有元素进行排列或组合，然后再去掉含有不能含的元 素的取法数，这种方法叫排除法。,但四个点 在同一平面上不能组成四面体 ，所以排除同一平面上五个点 取四个点的情况共有 种 方法，,这样，一共可以构成个四面体。,例5：圆周上有n个点（n6），用线段将它们彼此相连，这些线段中任意三条在圆内没有公共点，问这些线段构成多少个顶点在圆内的三角形？,A1,B2,B1,C2,C1
5、,A2,所以，上述问题转化为在圆周上取6个点就能组成一圆内三角形，从圆周上n个点中选6个点的组合数 就是圆内三角形的个数。,解：圆内三角形ABC，AB，在A1B2上，ABC在A1B2的一侧，则BC所在的B1C2 ，AC所在的A2C1都被A1B2一截为二，即在A1B2的两侧各有两点A2，B1，和C1，C2 ，同理，在A2C1，B1C2 的两侧也各有两点，,因此每一个圆内的三角形 决定圆周上6个点，反之，如在圆周上任取6个点，也可用上述方法找出三对点，每对点之间连线段，这三线段相交成一个圆内三角形,例6：有一群孩子外出旅行，回来时准备包车回家，包车费20元，他们把每个人的钱凑合起来，其中有23人，
6、每人有 05元硬币一枚，另外10人，每人有1元硬币一枚，问有多 不同的凑合方法？,解：把所有人的硬币都凑合起来共有2305+101=215元，所以多15元，这样问题可转化为取多余钱的方法数即取3个05的硬币或取1个05硬币和1个1元硬币的方法数，则有 种取法。,小结：对于某些问题如果直接去考虑，就会比较复杂，若 能转化为与其等价的问题，就变得简单，容易解决，这种 方法叫转化法。,例7：在从2，3，5，7，11，13这六个数字中任选两个，分别作分子，分母的分数中，真分数有几个？,真分数,真分数,真分数,真分数,真分数,假分数,假分数,假分数,假分数,假分数,解：因为从六个数字中任选两个作为分子分
7、母的分数中，其中真分数出现的机会与出现假分数的机会是均等的，因此真分数的个数为 个。,5名运动员参加100米决赛，如果每人到达终点的顺序不相同,问甲比乙先到达终点的可能有几种?,小结：在排列或组合中若某两个元素出现的机会是相同的，在求解中我们只要求出它的全体，那么，所求种数为全体的二分之 一，这种方法叫机会均等法。（概率法）,例8：12个相同的球分给3个人，每人至少一个，而且必须全部分完，有多少种分法？,解：将12个球排成一排，一共有11个空隙，将两个隔板插入这些空隙中，规定两 隔板分成的左中右三部分球分别分给3个人，每一种隔法 对应一种分法，于是分法的总数为 种方法。,小结：将n个相同的元素
8、分成m份（n，m为正整数），可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有 的插法数就是分法数，这种方法叫隔板法。,=55,巩固练习分配5人担任5种不同的工作，如果甲不担任第一种工作，乙不担任第二种工作，那么共有多少种分配方法？由a，b，c，d，f六个字母中，每次取4个进行排列，若每个排列都包含a，b且a在b前的有多少个？在1，2，3，100这100个自然数中，每次取不等的两数相乘，使它们的积是7的倍数，这样的取法有多少种？求方程X+Y+Z+W=100的正整数解的组数是多少？某区有7条南北向街道5条东西向街道（如图）从A点走向B点，最短走法有多少种？,A,B,小结：在中学数学中，解答数学问题常用的数学思想方法很多如数形结合思想；分类讨论思想；化归的思想等等。而我们以上的：特殊元素（位置）分析法，插入法，捆绑法，排除法，转化法，机会均等法，隔板法都是运用这些思想在解排列组合应用题时所得到的各种解法，当然，这些 解法要灵活运用，而且有时要联合运用才能把问题解决。,再见,
