1、1,弹性力学 (第10讲),武汉理工大学工程结构与力学系 翟鹏程 ,2,一、楔形体受重力和液体压力,3,问题,楔形体，下部可无限延伸。 侧面受水压作用： gg(N/m3)（水的溶重）； 自重作用：rg (N/m3)（楔形体的溶重） 求：楔形体应力分布规律,4,1. 应力函数及应力分量,(1) 分析：,(a), 的量纲为：,的量纲为：,(b),由 推理得：,应为 x、y 的三次函数。,应力函数可假设为：,5,(2) 应力分量,考虑到：X = 0，Y = （常体力）,(a),显然，上述应力函数满足相容方程。,2. 边界条件的利用,(1) x=0 （应力边界）：,代入式（a），则应力分量为：,6,
2、(b),(2) （应力边界）：,其中：,将(b)代入，有,代入，可求得：,7,代入式（b），有：,(3-7), 李维（Levy）解答,沿水平方向的应力分布,与材力结果比较：, 沿水平方向不变，在材力中无法求得。, 沿水平方向线性分布，与材力中偏心受压公式算得结果相同。, 沿水平方向线性分布，材力中为抛物线分布。,8,结果的适用性：,（1）,当坝的横截面变化时，不再为平面应变问题，其结果误差较大。,（2）,假定坝下端无限延伸，可自由变形。而实际坝高有限，底部与基础相连，有地基约束，故底部处结果误差较大。,（3）,实际坝顶非尖顶，坝顶处有其它载荷，故坝顶处结果误差较大。, 三角形重力坝的精确分析，
3、常借助于有限元数值方法求解。,工程应用：, 求使坝稳定时的角度 ，称为安息角 。,沿水平方向的应力分布,9,二、级数式解答,10,问题的提出,多项式解答：,只能求解载荷简单，且连续分布的问题。,不能求解载荷复杂，且间断分布的问题，但可由级数式解答解决。,级数式解答：,其基本思路是将应力函数 分解成关于 xy 的两个单变量函数的乘积。 分离变量法。,（属逆解法）,1. 级数形式的应力函数,假设：,(a),式中：,为任意常数，其量纲为 ,为 y 的任意（待定）函数。,将其代入 ：,11,有：,(b),解上述方程，得,其中：A、B、C、D 都是任意常数，,将其代入应力函数 ，得,(c),再取如下应力
4、函数：,式中：,也为任意常数 ,为 y 的任意（待定）函数。,类似于上面的运算，可得应力函数的另一解：,12,(d),显然，将式(c) 与(d)相加，仍为可作为应力函数：,(e),取 和 的一系列值，即取：,将由此构成的 加起来，有,(3-8),显然，式(3-8) 满足相容方程，可作为应力函数。且在其上再加若干个满足相容方程的应力函数，仍可作为应力函数。,13,2. 级数形式的应力分量,将上述应力函数 代入应力分量表达式（2-26），有,(3-9),式（3-9）满足相容方程、平衡方程，只要适当选取：,使其满足边界条件，即为某问题的解。,14,三、简支梁受任意横向载荷,15,边界条件,1. 边界
5、条件的级数表示,上下边界：,左右边界：,（a）,（b）,（c）,（d）,由边界条件（c），得,16,此时应力分量式（3-9）简化为,（3-10）,17,将此应力分量式（3-10）代入边界条件（b），有,(b),18,将此应力分量式（3-10）代入边界条件（a），有,(a),19,比较式（3-11）与式（g）和（h）两边的系数，有,由式 (i)、(j)、(k)、(l) 可求得全部和系数： ，代入式（3-10）求得应力分量。,说明：,（1）,边界条件（d）在求解中没有用到，但可以证明是自动满足的。,（2）,级数求解计算工作量很大，通常由有关计算软件求解，如：MathCAD、Matlab、Mathematica等。,（3）,结果在梁的端部误差较大；另外，当梁的跨度与高度相当时结果误差也较大。,20,小 结,三维问题基本方程及其推导 平面问题特征 两类平面问题基本控制方程及其推导 边界条件、圣维南原理及其应用 按应力求解基本方程及其推导相容方程 逆解法 半逆解法 位移分量求解,21,(1) 图示矩形板，长为 l ，高为 h ，体力不计，试证以下函数可作为应力函数，并指出能解决什么问题。式中k、q为常数。,作 业,习题：3 -4,(2) 图示矩形板，长为 l ，高为 h ，体力不计，试证以下函数是应力函数，并指出能解决什么问题。式中k、q为常数。,
