1、第二讲 逻辑代数基础知识本讲重点1.三种基本逻辑运算和几种常用逻辑运算；2.逻辑代数的基本公式、常用公式及定理；3.逻辑函数及其表示方法。本讲难点 1.常用逻辑公式的证明；2.逻辑真值表、逻辑式、逻辑图、波形图之间的相互转换。教学手段 本讲多数是基 础概念问题，宜于教师讲授为主，用多媒体演示为主、板 书为辅。教学步骤 教学内容 设计意图表达方式1回顾上一讲反码、补码和补码运算内容，导入逻辑代数基础知识。上一讲反码、补码和补码运算内容回 顾：原码：最高位为符号位，正数为 0，负数为 1。补码：最高位作为符号位，正数 为 0，负数为 1。正数的补码和它的原码相同；负数的补码需先将原码数值逐位求反，
2、然后在最低位加 1。（逐位求反也是基本逻辑 运算之一）1 0 补 =1 0例 ： N= 0， 反 计 算 9-5()B-()B补 码 运 算 例 ： 舍 去舍 去1 0- 0 1补 码补 码补 码补 码 01 + 减 法 变 加 法减 法 变 加 法为了与前次课内容衔接，需要进行简单回顾。之后，引入新教学内容，效果会好。为了节约课时采用课件 PPT演示方式组织教学。2提出问题，导入逻辑代数基础知识所要讲述的内容。1）数字电路、逻辑电路以及逻辑 代数之间是何种关系；2）基本逻辑运算和几种常用逻辑运算有哪些，都是如何定义的；3）逻辑代数有哪些公式和定理或规则；4）逻辑函数如何定义其表示方法有哪些；
3、5）如果有多种方式表示逻辑函数，它 们之间如何转换？用问题激发学生听课的兴趣。3对问题的逐一讲解、解答。3.1 讲解数字电路、逻辑电路以及逻辑代数之间是何种关系。3.2 讲解基本逻辑运算和常1数字电路的基本概念在数字电路中，主要研究的是 电路的输入输出之间的逻辑 关系，因此数字电路又称逻辑电路，其研究工具是 逻辑代数（布尔 代数或开关代数）。逻辑变量：用字母表示，取值只有 1 和 0。此 时，1 和 0 不再表示数量的大小，只代表两种不同的状态。表示事件的 发生与否、电平的高低、指示灯的亮灭、开关的通断等二值信息。2基本逻辑运算和几种常用逻辑 运算 三种基本逻辑运算（1）与逻辑（与运算）与逻辑
4、：仅当决定事件(Y) 发生的所有条件 (A，B，C，)均满足时，事件(Y)才能 发生。表达式为： 。例：开关 A，B 串联控制灯 Y 亮或灭。开关 闭合定义为控制事该部分主要是让学生们掌握数字电路研究工具逻辑代数基础知识。为了节约用逻辑运算概念和定义。3.2.1 讲解基本逻辑运算概念件发生，灯被点亮定义为被控事件 发生。EABY功 能 表 灭灭灭亮断 开 断 开断 开 闭 合闭 合 断 开闭 合 闭 合 灯 Y开 关 A 开 关 B灭灭灭亮断 开 断 开断 开 闭 合闭 合 断 开闭 合 闭 合 灯开 关 开 关真 值 表 010 1 YAB将开关接通记作 1，断开记作 0；灯亮记作 1，灯
5、灭记作 0。可以作出表格来描述与逻辑关系真值表方式描述。两个开关均接通时，灯才会亮。逻辑表达式为 ：。实现与逻辑的电路称为与门。与 门的逻辑符号如下。Y A B & ABY CABYC&（2）或逻辑（或运算）或逻辑：当决定事件（Y）发生的各种条件（ A，B，C，)中，只要有一个或多个条件具备，事件（ Y）就发生。表达式 为：= 。例：开关 A，B 并联控制灯 Y，只要任意有一个开关接通，灯就会亮。逻辑表达式为：= +。EABY功 能 表 灭亮亮亮断 开 断 开断 开 闭 合闭 合 断 开闭 合 闭 合 灯 Y开 关 A 开 关 B灭亮亮亮断 开 断 开断 开 闭 合闭 合 断 开闭 合 闭 合
6、 灯开 关 开 关真 值 表 010 1 YAB实现或逻辑的电路称为或门。或 门的逻辑符号：Y=A+BABY 1Y=A+BCABYC 1（3）非逻辑（非/反运算）非逻辑：当决定事件(Y) 发生的条件 (A)满足时，事件不发生；条件不满足，事件反而发生。表达式为： 。例：实现非逻辑功能的开关 A 控制灯 Y，如图所示。EAYR功 能 表 亮灭断 开闭 合 灯开 关 亮灭断 开闭 合 灯开 关 真 值 表 100 1YA实现非逻辑的电路称为非门。非 门的逻辑符号：课时采用课件 PPT演示方式组织教学。此处注意：要提醒学生，正负逻辑问题，课程主要针对正逻辑进行讨论。课堂设计：与逻辑运算可采用实例教学
7、，这易于学生理解和掌握。课堂设计：或逻辑运算可采用实例教学，这易于学生理解和掌握。课堂设计：非逻辑运算可采用实例教学，这易于学生理解和掌握。3.2.2 讲解几种常用逻辑运算概念YA1AYA 常用的逻辑运算与非运算逻辑表达式为： B100 1 YAB真 值 表真 值 表YAB&ABY或非运算逻辑表达式为： 100 1 YAB真 值 表真 值 表YAB 1ABY异或运算逻辑表达式为： B0100 1 YAB真 值 表真 值 表YAB=1ABY0 =； 0 1=；1 ； 。、A、A异 或 逻 辑 的 运 算 规 则 ：同或运算逻辑表达式为： AB101 YABY= 真 值 表AB=ABY同 或 逻
8、辑 的 运 算 规 则 ：0 =1； 0 =； ； 1。A ； A； =1； =0。 ； ； ； ； 。 。与或非运算为了节约课时采用课件 PPT演示方式组织教学。此处强调：常用逻辑运算只是“与、或、非”三种基本逻辑运算的组合。为了节约课时采用课件 PPT演示方式组织教学。此处注意：需要详细解释异或运算概念和含义。此处注意：需要详细解释同或运算概念和含义，并提醒学生异或和同或运算关系互为反函数。3.3 讲解逻辑代数公式和定理与规则3.3.1 讲解逻辑代数的基本公式和常用公式DCBAYABCDYY 1&ABCD Y 1&ABCDEFABCDYEFY 1&ABCDEFABEFYCDFEDCBA3逻
9、辑代数有哪些公式和定理或 规则 逻辑代数的基本公式和常用公式公 理公 理交 换 律交 换 律结 合 律结 合 律分 配 律分 配 律 0=1 0+=11 AB= AB ()C() (+)C=(+) (B+)= B()()求证：A+BC=(A+B)(A+C)证明：右式=(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC=A+A(B+C)+BC=A(1+B+C)+BC=A1+BC=A+BC=左式注：也可以用真值表证明。公式推广：A+BCD=(A+B)(A+CD)=(A+B)(A+C)(A+D)0-1律律 A0= A+1=自 等 律自 等 律 10互 补 律互 补 律 0 1重 叠 律重 叠 律 A= A
10、+=反 演 律反 演 律 B+B求证反演律正确性的真值表证明法： A A+A+0111100100为了节约课时采用课件 PPT演示方式组织教学。此处注意：应该针对比较难理解的分配律进行证明，使学生能更好地掌握。此处注意：应该针对比较难理解的反演律进行证明，使学生能更好地掌握。3.3.2 讲解逻辑代数的基本定理和规则3.4 讲解逻辑函数定义其表示方法3.4.1 讲解逻辑函数定义3.4.2 讲解逻辑函数逻辑函数几种表示方法消 因 律消 因 律 A+B= A(+B)=包 含 律包 含 律 C+C()()()()(C)还 原 律还 原 律 A=合 并 律合 并 律 ()() 吸 收 律吸 收 律 BA
11、BA)(求 证 ： BA)()(1左 = =右包含律公式推广： CDE 逻辑代数的基本定理/规则代入定理 /规则在任一含有变量 A 的逻辑等式中，如果用另一个逻辑函数去代替所有的变量 A，则等式仍然成立。例：已知等式 ，若令 A=X+Y，则 。B BYX)()(对偶定理 /规则对偶式：逻辑函数式 Y 中， 进行乘加互换， 01 互换，得到的新逻辑式称为 Y 的对偶式。对偶规则：有一逻辑等式，对等号两 边进行对偶变换，得到的新逻辑函数式仍然相等。例：A(B+C)= AB+ACA+B C=(A+B)(A+C)。 反演定理 /规则逻辑函数式 Y 中，进行乘加互换， 01 互换，原变量反变量互换，得到
12、的新的 逻辑式为 Y。应用反演规则应注意两点： 保持原来的运算优先顺序不变，即如果在原函数表达式中，AB 之间先运算，再和其它变量进行运算，那么非函数的表达式中，仍然是 AB 之间先运算。 不属于单个变量上的反号应保留不变！例： ，则 。CDBAY)( CDBAY)(4逻辑函数定义及表示方法 逻辑函数定义如果以逻辑变量作为输入，以运算 结果作为输出，当 输入变 量的取值确定之后，输出的取值 便随之而定。 输出与输入之间 的函数关系称为逻辑函数。表示为：Y=F( A, B, C, )。 逻辑函数几种表示方法此处注意：对比较难理解的包含律进行证明，使学生能更好地掌握。为了节约课时采用课件 PPT演
13、示方式组织教学。此处强调：应用反演规则两个必须注意的问题。此处说明：卡诺图及硬件描述3.5 讲解逻辑函数表示方法之间的相互转换3.5.1 讲解函数表示方法之间的相互转换常用逻辑函数的表示方法有：逻辑真值表（真值表）、 逻辑函数式（逻辑式或函数式）、逻辑图 、波形 图。此外还有卡诺图及硬件描述语言，这两种方法留给后面章 节详细介绍。例：举重裁判逻辑电路。设 A 为主裁判 、B 和 C 为副裁判，裁判控制开关闭与断开，闭合用“1” 表示，断开用“0”表示；灯 Y 亮用“1”表示，灯灭用“0”表示。 EBCYA根据电路图得到函数式描述： 。)(CB用 真 值 表 描 述A B CY00 10 01
14、101 ABCY用 逻 辑 图 描 述 ABCtttt用 波 形 图 描 述真值 表：将输 入、输出的所有可能状态一一对应地列出。函数式：把 输 入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式，即逻辑代数式，又称为逻辑函数式，通常采用“ 与或”形式。逻辑图 ：把相 应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出来。波形 图：将输 入、输出的所有可能状态一一对应用波形描述出来。一般用高电平代表逻辑 “1”，用低电平代表逻辑“0”。5各种逻辑函数表示方法之间 的相互转换 函数表示方法之间的相互转换真值 表逻辑 函数式方法：将真值表中为 1 的项相加，写成 “与或式”。A B C Y0 0 1 0 0 1 0 1
15、 1 0 1 举 例 ：举 例 ： CABY逻辑 式真 值表语言需要专门研究，该讲暂不介绍。此处提醒：函数式描述可能有多种形式，以后要介绍标准与或逻辑表示形式。课堂设计：函数表示方法之间的相互转换易于采用给出方法并实例方式教学，这易于学生理解和掌握。为了节约课时采用课件 PPT演示方式组织教学。3.5.2 讲解逻辑函数的标准与或表示形式方法：将输入变量取值的所有组合状态逐一带入逻辑式求函数值，列成表即得真值表。举例：A B C Y0 10 1 0 1 0 1 0110CBAY逻辑 式逻辑图方法：用图形符号（门电路符号）代替逻辑式中的运算符号，就可以画出逻辑图。举例： ACBYY逻辑图 逻辑 式
16、方法：从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的逻辑式，即得到对应的逻辑函数式. ABABY举 例 ：举 例 ： BA波形 图真 值表ABCY tttt00001111000111 C Y0 1 0 1 0 1 0 1 001举 例 ： 逻辑函数的标准与或表示形式最小 项概念为了节约课时采用课件 PPT演示方式组织教学。此处提醒：在 n 变量逻辑函数中，若 m 为包含 n 个因子的乘积项，而且这 n 个变量都以原变量或反变量的形式在 m 中出现，且仅出现一次， 则这个乘积项 m 称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。三个变量 A、B、C 可组成 8(23)个最小项： ABCA、mm7654
17、 3210 、四个变量可组成 16(24)个最小项， 记作 m0m 15。逻辑 函数的最小 项表达式任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小 项表达式。对 于 不 是 最 小 项 表 达 式 的 与 或 表 达 式 ， 可 利 用 以 下 两 公 式来 配 项 展 开 成 最 小 项 表 达 式 。A+=1、 A(B+C)=AB+C对 于 不 是 最 小 项 表 达 式 的 与 或 表 达 式 ， 可 利 用 以 下 两 公 式来 配 项 展 开 成 最 小 项 表 达 式 。、例 ： DYB)() )15,40,973( )(154mmABCDD如果列
18、出了函数的真值表，则 只要将函数值为 1 的那些最小 项相加，便是函数的最小项表达式。 A B C Y 、 0 1 01 010 1 0 1 0m01 23 m45 67 CBA2135CBACBAmY),2(532通过不同方法得到函数式描述逻辑功能时，可能有多种形式且都是正确的，为便于统一需要采用标准与或表示。此处强调：逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和的标准与或表达式，但该表达式也是最繁琐的。4.小结逻辑代数基础知识内容1）基本逻辑运算与、或、非逻辑运算。2）常用逻辑运算与非、或非、与或非、异或和同或逻辑运算。3）逻辑函数定义及表示方法逻辑真值表（真值表）、 逻辑 函数式（逻辑式或函数式）、逻辑图、波形图。此外还有卡诺图及硬件描述语言。4）逻辑函数表示方法之间的相互转换。通过课堂总结，使学生加深对本节课逻辑代数基础知识内容的印象。5.课后讨 问题：设计三人表决电路（A、B、 C）。每人一个按键，如果同意则按 让学生思论与思考 下按键，用“1”表示，不同意则不按按键，用 “0”表示。表决结果用指示灯 Z 表示，多数同意时指示灯 Z 亮，用 “1”表示；否则指示灯 Z 不亮，用“0”表示。分别用真值表、 标准与或逻辑函数式、 逻辑图、波形图描述该逻辑电路功能。考，利于对该节课内容的掌握。
