1、1,第四章 扭 转,材料力学,2,41 概述 42 传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图 43 薄壁圆筒的扭转 44 等直圆杆在扭转时的应力 强度分析 45 等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件,第三章 扭 转,3,41 概 述,轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。,扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。,4,扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。 剪应变（）：直角的改变量。,5,42 传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图,一、传动轴的外力偶矩传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：,其中：P 功率，千瓦（kW）n
2、转速，转/分（rpm）,其中：P 功率，马力（PS）n 转速，转/分（rpm）,6,3 扭矩的符号规定：“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。,二、扭矩及扭矩图1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。2 截面法求扭矩,7,4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。,目 的,x,T,8,扭矩图,常用与轴线平行的x坐标表示横截面的位置，以与之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩，把计算结果按比例绘在图上，正值扭矩画在x轴上方，负值扭矩画在x轴下方。这种图 形称为扭矩图。,9,解：1、计算外力偶矩,10,T2、T3为负值说明实际方向与假设的相反。,2、分段
3、计算扭矩，分别为,（图c）,（图d）,（图e）,3、作扭矩图,11,12,例2已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。,解：计算外力偶矩,13,求扭矩（扭矩按正方向设）,14,绘制扭矩图,BC段为危险截面。,x,T,4.78,9.56,6.37,15,43 薄壁圆筒的扭转,一、实验：,1.实验前：,绘纵向线，圆周线； 施加一对外力偶 m。,16,2.实验后：,圆周线不变； 纵向线变成斜直线。,3.结论：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。各纵向线均倾
4、斜了同一微小角度 。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。,17,无正应力横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。,4. 与 的关系：,微小矩形单元体如图所示：,18,二、薄壁圆筒剪应力 大小：,A0：平均半径所作圆的面积。,19,三、剪应力互等定理：,上式称为剪应力互等定理。该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。,20,四、剪切虎克定律：,单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。,21,T=m,剪切虎
5、克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（ p)，剪应力与剪应变成正比关系。,22,式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。,剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：,可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。,23,44 等直圆杆在扭转时的应力 强度条件,等直圆杆横截面应力,变形几何方面 物理关系方面 静力学方面,1. 横截面变形后仍为平面；2. 轴向无伸缩；3. 纵向线变形后仍为平行
6、。,一、等直圆杆扭转实验观察：,24,二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：,1. 变形几何关系：,距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。, 扭转角沿长度方向变化率。,25,T,2. 物理关系：,虎克定律： 代入上式得：,26,3. 静力学关系：,令,代入物理关系式 得：,27,横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。,4. 公式讨论： 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。, 式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。,28,单位：mm4，m4。, 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不
7、同。,D,d,O,29,O,d,30, 应力分布,T,t,max,t,max,t,max,T,（实心截面）,（空心截面）,工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。,31, 确定最大剪应力：,Wt 抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。,32,三、圆轴扭转时的强度计算,强度条件：,对于等截面圆轴：,( 称为许用剪应力。),强度计算三方面：, 校核强度：, 设计截面尺寸：, 计算许可载荷：,33,例3功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图， 许用剪应力 =30M Pa, 试校核其强度。,T,m,解：求扭矩及扭矩图,计算并校核剪
8、应力强度,此轴满足强度要求。,x,34,例4汽车的主传动轴，由45号钢的无缝钢管 制成， 外径 ，壁厚 工作时的最大扭矩 ， 若材料的许用切应力 ， 试校核该轴的强度。,解：1、计算抗扭截面系数主传动轴的内外径之比,抗扭截面系数为,35,2、计算轴的最大切应力,3、强度校核,主传动轴安全,36,例5如把上题中的汽车主传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定实心轴的直径，并比较空心轴和实心轴的重量。,解：1、求实心轴的直径，要求强度相同， 即实心轴的最大切应力也为 ， 即,37,2、在两轴长度相等、材料相同的情况下，两轴 重量之比等于两轴横截面面积之比，即：,38,45 等直圆杆在扭转时的变形 刚度条件,一、扭转时的变形,由公式,知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角 为,39,二、单位扭转角 ：,或,三、刚度条件,或,GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。, 称为许用单位扭转角。,40,刚度计算的三方面：, 校核刚度：, 设计截面尺寸：, 计算许可载荷：,有时，还可依据此条件进行选材。,41,42,解：两端面之间扭转为角：,43,例7主传动钢轴，传递功率，传动轴的许用切应力 许用单位长度扭转角 切变模量 ，求传动轴所需的直径,解：1、计算轴的扭矩,2、根据强度条件求所需直径,44,3、根据圆轴扭转的刚度条件，求直径,故应按刚度条件确定传动轴直径，取,
